2.3 Лабораториялық жұмыстың тапсырмасы

Түйықталмаған жағдайдағы жүйелердің беріліс функциялары мынандай болсын:

,.

Берілген вариант бойынша қосымшаның Қ2 – кестеден параметрлерін алыныз.

Әрі бір түйықталмаған жағдайдағы жүйенің беріліс функцияларын алып үшін келесіні орынданыз:

- түйықталған жағдайдағы жүйенің беріліс функцияларын, сипаттауыш теңдеулерін құрастырыныз,

- Михайлов критерийіне сүйеніп K күшейту коэффициентінің жүйенің орнықты жағдайға сәйкес өзгеру аралығын табыныз,

- жүйенің орнықты, орнықтылықтын шеқарасындағы, орнықты емес жағдайларға сәйкес MatLab ортасында Михайлов критерийы бойынша орнықтылығын зерттеп, нәтижелерін өтпелі процестің графиктерін құрастырып дәлелденіз,

- жүйенің орнықтылығы түралы тұжырымдарды жасаныз.

Бақылау сұрақтары.

1. Михайлов функциясы қалай құрастырылады?

2. Михайлов критерийының негізгі мағынасын айтыныз?

3. Михайлов годографтары жүйе орнықтылықтын шеқарасында болған жағдайда түрі қандай болады?

3. Зертханалық жұмыс №6. Найквист критерийы бойынша сызықты жүйелердің орнықтылығын зерттеу

Зертханалық жұмыстың мақсаты:

1) Түйықталмаған жүйенің АФС график түрінде құрастыруын қарастыру.

2) MatLab ортасында Найквист қолданып және өтпелі процестің түрі бойынша жүйенің орнықтылығын анықтау.

3) Табылған нәтижелер бойынша қорытындыларды жасау.

3.1 Негiзгi теориялық мәлiметтер

Найквист критерийы бойынша түйықталған жүйенің орнықтылығы, түйықталмаған жүйенің амплитуда фаза жиілік сипаттамасы (АФС) бойынша бағаланады.

Демек, түйықталмаған жүйенің беріліс функциясы келесі теңдеумен жазылсын

(9)

Жазылған (9) беріліс функцияда алмастырсақ, түйықталмаған жүйенің жиілік беріліс функциясын табамыз

(10)

Енді бұрыш жиілігінбастапөзгертейіқ, ондавекторының комплексті жазықтықта бағыты және ұзындығы өзгеріп, вектордың ұшы бір қисық сызықты, годографты сызып қөрсетеді. Бұл годограф түйықталмаған жүйенің амплитуда фаза жиілік сипаттамасы (АФС) болады (10 – сурет).

Түйықталған жүйенің беріліс функциясы келесі теңдемен жазылады:

.

Қарастыруға келесі көмекші функциясын енгізейік

(11)

мұндағы – түйықталған жүйенің сипаттауыш полиномы;

- түйықталмаған жүйенің сипаттауыш полиномы.

Енгізілген (11) көмекші функциясының теңдеуіне айырбастап, келесі комплексті полином табылады:

.

Демек, түйықталған жүйенің сипаттауыш теңдеуініңоң жақтағы түбірлері болса, онда сол жақтағы түбірлер санытең болады. Ал түйықталмаған жүйеніңсипаттауыш теңдеуініңоң жақтағы түбірлері болса, онда сол жақтағы түбірлер санытең болады.

Енді бұрыш жиілігінбастапөзгертейіқ, онда аргумент принципін қолданып,векторының бұрылу бұрышын келесі теңдеуден табуға болады:

. (12)

Түйықталған жүйе орнықты болу үшін сипаттауыш теңдеудің барлық түбірлері жорамал осінің сол жағында жату тиіс, онда тең шарт орындалу тиіс. Бұл шарт жүйе орнықтылығының қажетті және жеткіліқті шарттарын қөсетеді. Осыдан орнықты жүйеніңвекторының координат басын қамтып, бұрылу бұрышы келесі мәнге тең

(13)

мұндағы – түйықталмаған жүйенің сипаттауыш теңдеуінің оң жақтағы түбірлер саны.

Түйықталмаған жүйенің сипаттауыш теңдеуінің оң жақтағы түбірлер саны тең болып, ол орнықты емес болған жағдайда, түйықталған жүйе орнықты болу үшін, бұрыш жиілігінбастапөзгерткен кезде,қөмекші функционалдың АФС, координат басын оң бағытпен айналыпрет қамту тиіс. Айтылғаннаң келесі тұжырым жасауға болады,вектордың координат басын қамту санывектордыңнүктесін қамту санына тең.

Осыдан Найквист критерийының анықтамасын келесі түрде жасауға болады. Егер түйықталмаған жүйе орнықты емес болса, түйықталаған жүйе орнықты болу үшін, бұрыш жиілігін бастапөзгерткен кездетүйықталмаған жүйенің АФС,нүктесін оң бағытпен айналыпрет қамту тиіс, мұндағы– түйықталмаған жүйенің сипаттауыш теңдеуінің оң жақатғы түбірлер саны.

Демек, түйықталмаған жағдайда жүйе орнықты емес, ал оның оң жақтағы түбірлер саны, тең болсын. Түйықталған жүйе орнықты болу үшінқөмекші функцияның АФС түрі сурет 11а сияқты болу тиіс. Ал бұл жағдайға сәйкес келетінтүйықталмаған жүйенің АФС түрі сурет 11ә қөрсетілген. Жалпы жағдайда, бұрыш жиілігі шексіздікке ұмтылса,тең, ал көмекші функцияныңтең болады .

Егер жүйе түйықталмаған жағдайда орнықты болса, онда оң түбірлер саны тең болады, осыданвектордың аргументінің өсуі нөльге тең болады:

(14)

Онда түйықталған жүйенің орнықтылығын қамтамасыз ететің қажетті және жеткілікті шарт мынандай болады. Түйықталған жүйе орнықты болған жағдайда вектордың годографы координат басын, алвектордың годографынүктесін қамтымау тиіс.

Айтылған шартқа лайықвектордыңгодографы сурет 12а, ал вектордың годографы сурет 12ә қөрсетілген.

Осыдан, практикалық жағдайда кездесетің Найквист критерийының анықтамасын келесі түрде қөрсетуге болады. Егер түйықталмаған жүйе орнықты болса, онда түйықталған жүйе орнықты болу үшін, түйықталмаған жүенің годографынүктесін қамтымау тиіс.