1. Зертханалық жұмыс №4. Гурвиц критерийы бойынша сызықты жүйелердің орнықтылығын зерттеу

Зертханалық жұмыстың мақсаты:

1) Гурвиц матрицасын құрастыру және орнықтылық шарттарын табу.

2) Гурвиц матрицасының бас диоганалі бойынша анықтауыштарын MatLab ортасында программалап есептеу, нәтижелерді өтпелі процестің түрі бойынша талдау.

3) Беріліс функцияны MatLab ортасында программалап енгізіп, оның полюстерін тауып, жүйенің орнықтылығы бойынша тұжырымдарды жасау

4) Табылған нәтижелер бойынша қорытындыларды жасау.

1.1. Негiзгi теориялық мәлiметтер

Гурвиц критерийы бойынша сипаттауыш теңдеудің коэффициенттер мәндері арқылы жүйенің орнықтылығын анықтайды. Бұл критерийдің анықтамасы мынандай. Сызықты жүйенің сипаттауыш теңдеуінің барлық түбірлерінің нақты бөліктері теріс таңбалы болу үшін сипаттауыш теңдеуінің барлық коэффициенттері оң таңбалы болғанда, Гурвиц матрицасының диогональды минорларыда оң таңбалы болу тиіс.

Гурвиц матрицаның түрі мынандай болады:

(1)

Гурвиц матрицасының бас анықтаушының диогоналді минорлары пунктир сызығымен қөрсетілген.

Осы критерийді қолданып I және II ретті жүйе орнықты болу үшін сипаттауыш теңдеу коэффициенттерінің мәндері оң таңбалы болу тиісін қөрсетейік. Бірінші ретті жүйенің сипаттауыш теңдеуі мынандай болады

.

Егер екі коэффициентте онда осы түбіртеріс таңбалы. Екінші ретті жүйені алайық, оның сипаттауыш теңдеуі былай жазылады:

.

Жүйенің орнықтылық шартын мынандай түрде жазамыз

Үшінші ретті жүйенің сипаттауыш теңдеуі келесі түрде жазылады

.

Жүйенің орнықтылық шарттың түрі мынандай болады:

а)

б) .

1.2 Әдістемелік үлгі

Автоматтық реттеу жүйесінің түйықталмаған жағдайдағы беріліс функциясы тең:

,

мұндағы – түйықталмаған жағдайдағы жүйенің қүшейту коэффициенті.

Түйықталған автоматты реттеу жүйесінің беріліс функциясын былай табуға болады

. (2)

Осыдан (2) теңдеуден, түйықталған реттеу жүйенің сипаттауыш теңдеуінің түрі мынандай болады:

. (3)

Бұл жағдайда үшінші ретті сипаттауыш теңдеу табылды. Гурвиц критерийы бойынша жүйе орнықты болу үшін сипаттауыш теңдеудің барлық коэффициенттері оң таңбалы болу тиіс. Осыдан .

Осы шартақа қоса, сипаттауыш теңдеудің коэффициенттері келесі қосымша шартты қанағаттандыру тиіс . Сипаттауыш теңдеуге сүйеніп коэффиценттердің мәндерін анықтайық,,,, онда:

.

Осыдан:

.

Егер жүйенің қүшейту коэффициентінің мәні, аралықта жатса, онда түйықталған жүйе орнықты болады. Осы тұжырымдыMatLab ортасында модельдеп, дәлелдейік. Ол үшін орнықты,орнықтылықтын шеқарасындағы,орнықты емес жағдайларын қарастырайық.

Бірінші орнықты жағдайды алып, болғанда, сипаттауыш теңдеуді құрастырайық:

.

Сипаттауыш теңдеудін коэффициентерін тауып ,,,, олар арқылы (17) түрдегі Гурвиц матрицасын құрастырайық:

.

Гурвиц критерийы бойынша жүйе орнықты болу үшін, оның бас диогоналі бойынша барлық анықтауыштары нөльден үлкен болу тиіс.

Енді есептеуді MatLab ортасында өткізейік. Программалық жолға ең алдымен орнықты жағдайға сәйкес екінші ретті, одан кейін үшінші ретті матрицаларын енгізіп, олардың анықтауштар мәндерін табайық:

>>G2=[1.1 5;0.1 1]

>>det(G2)

>>G3=[1.1 5 0;0.1 1 0;0 1.1 5]

>>det(G3)

Тура осылайша, орнықты, орнықтылықтын шеқарасындағы және орнықты емес жағдайлардағы, анықтауыштардын мәндерін табуға болады. MatLab ортасындағы нәтижелер сурет 1 қөрсетілген.

Сурет 1. Гурвиц матрицасының анықтауыштарын табу нәтижелері

Екінші әдіс бойынша MatLab ортасында, программалық жолына беріліс функцияны енгізіп, оның сипаттауыш теңдеуінің түбірлерін тауып, жүйенің орнықтылығын анықтауға болады. Беріліс функцияны енгізгенсон, оның полюстерін табамыз. Беріліс функцияның полюстері сипаттауыш теңдеудің түбірлеріне тең. Сол себептен pole(w1) бұйырық арқылы сипаттауыш теңдеудің түбірлерін табуға болады. Жүйе орнықты жағдайында программалық жолға келесі бұйырықтарды енгізу қажет:

>>w1=tf([5],[0.1 1.1 1 5])

>>pole(w1)

>>step(w1)

Бұл жағдай сурет 2 қөрсетілген. Барлық үш түбірдің нақты бөліктері теріс таңбалы және өтпелі процестің графигі тербелмелі орнықты, жүенің орнықты екенің дәлелдейді.

Сурет 2. Орнықты жүйенің сипаттауыш теңдеудін түбірлері және өтпелі процестің графигі

Жүйенің орнықтылық шеқарасындағы жағдайын қарастырайық. Онда табылған нәтиже сурет 3 қөрсетілген.

Сурет 3. Орнықтықтылықтын шеқарасындағы жүйенің сипаттауыш теңдеудін түбірлері және өтпелі процестің графигі

Бұл жағдайда екі таза жорамал түбір болу тиіс. Сипаттауыш теңдеудің түбірлерін жуықтап есептеуіне байланысты, қате қөрініп түр. Оған қарамастан өтпелі процестің графигінде өшпейтін тербелістер пайда болып, жүйенің орнықтылық шеқарасындағы екенің дәлелдейді.

Орнықты емес жағдай нәтижелері сурет 4 қөрсетілген. Мұндағы екі түбірдің нақты бөліктері оң таңбалы сан және өтпелі процес тербелмелі орнықты емес.

Сурет 4. Орнықты емес жүйенің сипаттауыш теңдеудін түбірлері және өтпелі процестің графигі