2.2 Применение в экономике

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид

(2.4)

где Q₀ — первоначальная сумма вклада в банк, р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), п — количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении п периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост на­родонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q₀ помещен в банк под р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q₀. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом и эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять .Будем уменьшать срок размещения депозита в бан­ке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном — и т.д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначально­го вклада {q_n} = {Q_n/Q₀} как раз совпадает с последователь­ностью, пределом которой является число ε при п соглас­но (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

где r = р/100. Это выражение можно преобразовать:

Мы можем ввести новую переменную и приn получим m , или

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычисле­ниями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

где Q₀ — первоначальная сумма, 182 — число дней в полуго­дии. Преобразуя это выражение, получаем

т.е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Упражнения

Найти пределы следующих последовательностей.

2.1. 2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.

2.9. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при а) р = 3% и б) р = 5%.

2.10. Коммерческий банк, обслуживающий предприятие по вы­даче заработной платы, задерживает перечисляемые ему сред­ства в среднем на 9 месяцев. За это время он успевает три раза "прокрутить" эти деньги в виде краткосрочных кредитов, вы­даваемых частным предпринимателям на три месяца, под 3% в месяц. Сколько процентов прибыли получает банк на этой операции?

2.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать, что выгод­нее банку: кредитовать из собственных средств предприятия на условиях ставки годового процента, равной 20%, или зани­маться вышеуказанной деятельностью.

2.12. Темп инфляции составляет 6% в месяц. Каков должен быть процент годовой ставки кредита, выдаваемого банком, чтобы прибыль от кредитования составляла 12% в год?