9.3. Неполные уравнения

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется авто­номным. Такие уравнения часто употребимы в практике мате­матического моделирования и исследования природных и физи­ческих процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описываю­щие законы природы. В этом случае особый интерес представ­ляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения не­известной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

В общей теории дифференциальных уравнений развита те­ория качественного анализа, основанная на исследовании ха­рактера стационарных точек.

9.4. Линейные уравнения первого порядка

Определение 7. Уравнение вида

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет на­звание уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (9.7) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тож­дественно нулю, то уравнение (9.7) называется линейным не­однородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заме­нами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравне­ние Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение

Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

тогда

Поделим обе части уравнения (9.9) на уⁿ:

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n), с учетом выра­жений для новой функции z и ее производной получаем линей­ное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функ­ция z(x) связана с искомой функцией у(x) соотношением (9.10).

Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение перво­го порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.8) при р(х) = x² и q(x) = х² дает

(этот интеграл берется с помощью подстановки t = х³ в фор­мулу (9.8)). Получаем решение дифференциального уравнения:

Решение. Тот же прием, что и в предыдущем примере, при р(х) = 1/х и q(x) = e^х дает нам решение

Решение. Данное нелинейное уравнение представляет со­бой уравнение Бернулли при п = 3. Заменой искомой функции z = у^-2, согласно (9.10) и (9.11), получим линейное неоднород­ное уравнение относительно z(х)

По формуле (9.8) получаем общее решение этого уравнения:

Теперь, выполняя обратную замену у = ±1/, получаем ре­шение исходного нелинейного уравнения: