10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка.

1. Уравнение вида

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого яв­ляется функция z(х) = f(x) dx + С₁. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравне­ния (10.4):

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в преды­дущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее реше­ние этого уравнения z = φ(x, C₁), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное урав­нение первого порядка относительно функции z(y):

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С₁). Тогда об­ратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

из которого методом разделения переменных получаем функ­циональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

где С₁ и C₂ — произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не со­держит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка = -xz², откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные. В зависимости от вы­бора знака С₁ интеграл в правой части этого равенства (обо­значим его через I) может иметь разные выражения:

Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — по­стоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С₁e^y. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

Разделение переменных x и у приводит к общему решению ис­ходного уравнения: e^-ydy = C₁dx, откуда e^-y = С₁х + С₂, или окончательно

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С₁ = 0, С₂ ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математи­ческих приложениях вид дифференциальных уравнений второ­го порядка.

10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y – искомая функция, а р(х), q(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a, b).

Если f(x) ≡ 0, то уравнение (10.7) называется линейным однородным уравнением. Если f(x) ≠ 0, оно называется ли­нейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (10.7) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (10.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (10.3) при x₀ (а, b) это уравнение имеет единствен­ное решение задачи Коши.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распро­страненный случай, когда в уравнении вида (10.7) функции р(х) и q(x) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффи­циентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

где р и q — вещественные числа. Как и в общем случае линей­ных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.