Неоднородные уравнения второго порядка

Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение пол­ностью основывается на следующей фундаментальной теореме.

ТЕОРЕМА 4. Общее решение неоднородного уравнения (10.8) состоит из суммы его частного решения и общего ре­шения соответствующего однородного уравнения (10.9).

В ряде случаев удается "угадать" или подобрать частное решение неоднородного уравнения по виду его правой части. Рассмотрим несколько примеров решения таких уравнений.

Решение. Соответствующее однородное уравнение было рассмотрено в примере 1. Исходя из вида правой части, бу­дем искать частное решение данного неоднородного уравнения в виде константы: = С. Подставляя это решение в уравне­ние, получаем, что С = 2. Отсюда следует, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Решение. Для отыскания частного решения этого неодно­родного уравнения воспользуемся методом неопределенных ко­эффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Бу­дем искать это решение в виде многочлена той же степени, что и правая часть, т.е. = Ax + В, где А и В — неизвест­ные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя в исходное уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обе­их частях этого равенства, находим 9А = 9, -6А + 9В = 0. Отсюда А = 1, В = 2/3, т.е. = x + 2/3. Соединяя это реше­ние с общим решением соответствующего однородного урав­нения (см. пример 2), получаем общее решение неоднородного уравнения:

Решение. В этом случае частное решение (x) ищем в виде Се^2x. Подстановка в данное уравнение дает C = 1. Соединяя полученное частное решение с общим решением однородного уравнения (см. пример 3), окончательно имеем

Примечание 1. В общем случае, когда характеристи­ческое уравнение содержит нулевой корень кратности s, а пра­вая часть неоднородного уравнения представляет собой много­член Р_п(х) степени п, частное решение этого уравнения ищется в виде Q_n(x)x^s, где Q_n(x) — многочлен степени п с неизвестны­ми коэффициентами, которые определяются вышеуказанным методом.

Примечание 2. В общем случае, когда правая часть неоднородного уравнения имеет вид е^rx, его частное решение ищется в виде (х) = x^se^rx, где s — кратность корня k = r в характеристическом уравнении (10.12).

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

определена задача Коши, когда в точке х = x₀ заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (а, b) рассмотрим гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т.е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (x₁, y₁), (x₂, y₂). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C₁ и С₂

реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (x) — частное решение не­однородного уравнения, у₁(х) и у₂(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С₁ и С₂

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т.е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С₂, а затем из первого уравнения — С₁:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид