Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые назы­ваются асимптотами. Неограниченность приближения графи­ка функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизон­тальные и наклонные.

Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно + или -.

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам раз­рыва второго рода. Например, график функции у = е^1/x име­ет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) прих 0+.

Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ±, если f(x) можно представить в виде

где α(х) 0 прих ±.

Это определение относится как к наклонной, так и к гори­зонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравне­нии наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим

т.е. k = . Затем из равенства (5.9) находим:

Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функ­ций.

Пример 5. f(x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

Затем находим наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Пример 6. f(x) = х + e^-x.

Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и постро­ения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция f(x) называется чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (-, 0) (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел f(x) при х 0 бесконечен:f(x) +прих 0-,f(x) -прих 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.

6. f"(x) = —2/х³ — критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.