Техническая механика часть 1
.pdf
В соответствии с принципом Даламбера (параграф 3.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения.
3.11. Динамика простейших колебательных систем
Колебательные движения играют огромную роль при эксплуатации химического оборудования. Чаще всего инженер-технолог сталкивается с частным видом колебаний – вибрациями (колебания с малой амплитудой, но большой частотой). С точки зрения работоспособности технологических машин и аппаратов вибрации крайне нежелательны, поскольку оборудование при этом испытывает переменные во времени циклические нагрузки. Большинство конструкционных материалов сопротивляется таким нагрузкам гораздо хуже, чем статическим.
В параграфе 3.2. уже рассматривалось колебательное движение материальной точки, но проведенный анализ был неполным и привел к результату, противоречащему практике. Причина противоречия заключалась в том, что анализ не учитывал сил сопротивления. Любая реальная колебательная система состоит из нескольких обязательных составляющих: упругого элемента, источника вынуждающей силы, инерционного элемента (принципиальная схема простейшей колебательной системы приведена на рис. 3.6). Упругий элемент порождает появление упругой силы Fупр, которая, как уже отмечалось ранее, в любой момент времени направлена в сторону нейтрального недеформированного положения, и величина которой пропорциональна расстоянию до него. Вынуждающая сила F( ) является внешней причиной колебаний. Она, как правило, периодически меняется во времени. Инерционный элемент определяется массой колебательной системы m. Он вызывает появление сил инерции.
c
m F(τ)
k
Рисунок 3.6
81
В реальных колебательных системах, помимо перечисленных сил, всегда существуют силы, препятствующие поддержанию движения. Это силы трения и силы гидравлического сопротивления. Если колебания элементов оборудования особенно нежелательны, то в конструкции вводятся специальные устройства, предназначенные для демпфирования (подавления) колебаний. В любом случае сила сопротивления Fсопр пропорциональна скорости движения колеблющегося тела и направлена в сторону, противоположную направлению движения.
Приведенные предварительные замечания позволяют перейти к описанию поведения колебательных систем. Основой описания является уравнение движения (3.17), в котором за центр масс принят центр масс колеблющегося тела. Пусть движение происходит в горизонтальном направлении вдоль координатной оси Ох. Совместим начало координат с положением центра масс при нейтральном состоянии колебательной системы и спроектируем уравнение на координатную ось. При этом проекция силы тяжести инерционного элемента будет равна нулю. В результате получим:
d 2 x
m C F ( ) Fсопр Fупр
d 2
Сила сопротивления с учетом сделанных замечаний может быть
выражена соотношением: Fсопр = k V = k |
dxC |
(k – коэффициент |
|
d |
|||
|
|
сопротивления), а сила упругости пропорциональна координате х: Fупр = - с х (с – коэффициент упругости или жесткости). Вынуждающая сила при гармоническом характере внешних воздействий может быть аппроксимирована следующим выражением: F( ) = F0 sin ς , где ς – частота колебаний возмущающей силы. Подставляя все выражения для сил в предыдущее уравнение, получим дифференциальное уравнение, описывающее движение центра масс простейшей колебательной системы:
|
d 2 x |
k |
dx |
cx |
|
F sin |
|
|
m |
C |
C |
|
. |
(3.55) |
|||
d 2 |
d |
|
||||||
|
|
|
C |
0 |
Это уравнение сводится к уравнению свободных незатухающих колебаний (3.5) при отсутствии вынуждающей силы (F0 = 0) и сопротивления движению (k = 0). При этом инерционный элемент
будет совершать колебания (3.6) с частотой |
|
m |
, которая |
|
|
||||
c |
||||
|
82
называется собственной частотой колебаний колебательной системы.
Учет сил сопротивления в уравнении (3.55) в условиях отсутствия вынуждающей силы (k 0, F0 = 0) приведет к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами следующего вида:
|
d 2 x |
dx |
|
|
|
|
m |
C |
k |
C |
cx |
0 |
(3.56) |
|
|
|||||
|
d 2 |
d |
C |
|
||
|
|
|
|
|||
Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что общим решением этого уравнения является функция:
|
k |
|
xС ( ) e |
2m A1 cos 1 A2 sin 1 |
(3.57) |
где А1 и А2 – постоянные интегрирования, значения которых находятся
из начальных условий, 1 |
|
2 |
|
k |
2 |
- частота колебаний с учетом |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|
2m |
|
|
|
сил сопротивления. Функция (3.57) описывает затухающие колебания, поскольку сомножитель перед скобкой убывает с течением времени. Причем, при центр масс колеблющегося тела неограниченно приближается к началу координат, т. е. к положению равновесия. При этом чем большей инерционностью обладает колебательная система, тем медленнее происходит затухание колебаний. Таким образом, влияние сил сопротивления проявляется двояко: в смещении частоты колебаний и в их полном подавлении с течением времени.
Рассмотрим теперь наиболее важный для практики случай, когда колебания обусловлены действием вынуждающей силы. Для простоты будем пренебрегать силой сопротивления, поскольку их эффект уже проанализирован. В этом случае общее уравнение (3.55) примет вид:
|
d 2 x |
cx |
F sin |
|
m |
C |
(3.58) |
||
|
||||
|
d 2 |
C |
0 |
|
|
|
|
|
Из курса математики известно, что общим решением уравнений такого вида является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения получено ранее. Оно задается соотношением (3.6). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
83
xˆC B sin |
(3.59) |
Подставляя это выражение в уравнение (3.58), после несложных преобразований убеждаемся, что функция (3.59) будет удовлетворять уравнению, если величина коэффициента В равна:
B F0 . m( 2 2 )
Следовательно, общее решение уравнения (3.58), закон движения центра масс колебательной вынужденных колебаниях, будет иметь вид:
xC ( ) |
F0 |
sin A1 sin A2 cos |
||
m( 2 |
2 ) |
|||
|
|
|||
описывающее системы при
(3.60)
Из полученного решения видно, что вынужденные колебания складываются из двух движений: из чисто вынужденных колебаний
(первое слагаемое в (3.60)) и из сопровождающих колебаний
(второе и третье слагаемые). Чисто вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, в то время как частота сопровождающих колебаний определяется свойствами самой колебательной системы. При совпадении указанных частот сомножитель в первом слагаемом обращается в бесконечность. В реальности с учетом сил сопротивления это означает, что амплитуда колебаний становится значительно больше, чем при несовпадении частот вынужденных и собственных колебаний. Это явление называется резонансом.
Достижение резонанса, как правило, приводит к разрушению механической системы. Поэтому при эксплуатации химического оборудования, когда возникают колебания некоторых его элементов, резонанса пытаются всячески избежать. Это можно сделать с помощью ряда мер, которые непосредственно подсказывает вид решения (3.60). Например, можно снизить амплитуду вынуждающей силы, уменьшив величину F0, за счет улучшения балансировки движущихся узлов оборудования. Иногда удается избежать резонанса путем изменения собственной частоты системы. Поскольку
собственная частота равна 
mc , это можно сделать, изменив
массу колеблющихся элементов оборудования или жесткость упругих элементов. Еще один путь – установка специальных демпферов, гасящих колебания.
84
3.12. Контрольные вопросы
1.Что изучает динамика ?
2.В чем состоят первая и вторая задачи динамики ?
3.В чем смысл первой аксиомы динамики ?
4.Сформулируйте основной закон механики.
5.Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки.
6.Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественных осях.
7.Что такое сила инерции и от чего зависит ее величина ?
8.Сформулируйте принцип Даламбера. В чем состоит его смысл ?
9.Чему равны нормальная и касательная составляющие силы инерции для вращающегося тела ?
10.Что такое центр масс механической системы ?
11.Как вычисляется скорость и ускорение центра масс ?
12.Запишите дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела.
13.Что такое количество движения механической системы ?
14.Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы.
15.Как определяется импульс силы за некоторый промежуток времени ?
16.В чем состоит содержание теоремы импульсов ?
17.Могут ли внутренние силы, действующие в механической системе, изменить ее количество движения ?
18.Как определяется момент инерции механической системы и твердого тела относительно некоторой оси ?
19.Что такое момент количества движения механической системы ?
20.Существует ли аналогия между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения ?
21.За счет чего может измениться кинетический момент механической системы ?
22.Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела.
23.Запишите дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения твердого тела.
24.Как определяется мощность силы ? От чего она зависит ?
25.Как определяется работа силы за некоторый промежуток времени ?
26.Могут ли мощность и работа силы принимать отрицательные значения ?
27.Чему равна работа сил при вращении твердого тела ?
28.Чему равна работа силы тяжести ?
29.Что такое кинетическая энергия механической системы ?
85
30.Чему равна кинетическая энергия при поступательном движении твердого тела ?
31.Чему равна кинетическая энергия при вращательном движении ?
32.За счет чего может измениться кинетическая энергия механической системы ?
33.Чему равно изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени ?
34.Какие элементы включает простейшая колебательная система ?
35.Какие силы учитываются при анализе колебательных систем ?
36.Запишите дифференциальное уравнение движения центра масс колебательной системы.
37.Что такое резонанс, в чем он выражается ?
86
Теория механизмов и машин
Глава 4. Основные понятия теории механизмов и машин
4.1. Составные части механизмов
Важнейшей областью применения положений теоретической механики является теория механизмов и машин. В этой дисциплине изучаются кинематические и силовые свойства отдельных типовых механизмов, которые широко применяются в химическом машиностроении.
В общем случае конкретный механизм представляет собой совокупность связанных между собой тел, совершающих определенные движения. Таким образом, в отличие от теоретической механики здесь изучается движение не отдельного единичного абсолютно твердого тела, а системы взаимосвязанных тел. С другой стороны, цели этих дисциплин во многом одинаковы – определение кинематических и динамических характеристик в зависимости от геометрических параметров и действующих на механизмы внешних сил.
Большинство технических устройств включает в себя те или иные механизмы. В современном автомобилестроении, например, широко используются промышленные роботы для выполнения операций штамповки, сварки, окраски. Базовыми элементами таких роботов являются механизмы. Другим типичным примером работы механизмов могут служить манипуляторы – устройства, воспроизводящие движения человеческой руки. В химической аппаратуре механизмы также встречаются весьма часто.
Теория механизмов и машин – наука об общих методах исследования свойств механизмов и машин и проектирования их схем. Она является важнейшей составной частью общеинженерной подготовки студентов и служит необходимой ступенью к освоению курсов по деталям машин и основам расчета и конструирования химического оборудования. Сформулируем важнейшие определения и понятия теории механизмов и машин.
Механизмом называют систему тел, предназначенных для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел. Под требуемыми движениями понимаются движения с определенными траекториями, кинематическими и динамическими характеристиками, совокупность которых обеспечивает выполнение той или иной технологической операции. По своему функциональному назначению механизмы могут быть исполнительными, передаточными, транспортными для перемещения рабочих сред и питания технологических аппаратов и т. д.
87
Под твердыми телами, составляющими механизмы, чаще всего понимаются абсолютно твердые тела, так же как и в теоретической механике. Однако в некоторых случаях при анализе механизмов могут рассматриваться деформируемые и даже гибкие тела (например, ремни в ременных передачах). Более того, на практике широко используются механизмы, в которых участвуют жидкие или газообразные среды. Такие механизмы называются гидравлическими или пневматическими соответственно.
Машиной называют устройство, совершающее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации. В
зависимости от того, какой вид преобразования является основным, различают машины технологические, энергетические, транспортные, информационные. В технологических машинах исходные материалы (сырье) преобразуется в промежуточные или конечные продукты. При этом обрабатываемый материал (рабочая среда) может находиться в твердом, жидком или газообразном состоянии. В качестве примеров технологических машин в химической технологии можно указать сепараторы, центрифуги, экструдеры, компрессоры и т. п. В других областях промышленности под понятие технологической машины подпадают металлообрабатывающие станки, прокатные станы, фасовочные и упаковочные машины, ткацкие станки и т. д.
Энергетические машины преобразуют любой вид энергии в механическую энергию и наоборот. Примерами таких машин являются электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, электрогенераторы. К транспортным машинам следует отнести транспортеры, конвейеры, подъемники и другие устройства, которые служат для перемещения рабочих сред или некоторых объектов. Следовательно, к ним также относятся автомобили, тепловозы, самолеты, словом, любые транспортные средства.
Как правило, механизмы являются частью машин и служат для преобразования движения, источником которого служит двигатель. Кроме механизмов, в состав машин могут входить дополнительные устройства для контроля, блокировки и управления. В некоторых случаях в машинах могут отсутствовать механизмы, например, технологические машины, исполнительные органы которых соединены непосредственно с двигателем без промежуточного преобразования параметров его движения.
Механизмы, в свою очередь, также являются составными системами. Все они состоят из отдельных деталей, которые могут быть как подвижными, так и неподвижными. Звеном механизма
называют твердое тело, входящее в состав механизма. При этом звено может состоять из нескольких деталей, т.е. отдельно изготавливаемых частей, не имеющих между собой относительного движения. Например, шатун двигателя представляет собой одно звено, хотя состоит из нескольких деталей. Колесо автомобиля также
88
является одним звеном, поскольку взаимное расположение его деталей (обода, втулки, крышки, крепежа) не меняется при движении автомобиля.
Звено, принимаемое за неподвижное, называют стойкой. Так, все детали, жестко связанные с корпусом неподвижного технологического аппарата, образуют стойку. Если корпус аппарата перемещается в пространстве (например, барабанный вакуум-фильтр), то указанные детали относительно барабана останутся неподвижными и тоже могут быть приняты в качестве стойки.
Таким образом, любой механизм представляет собой совокупность одного неподвижного звена (стойки) и нескольких подвижных звеньев. Подвижные звенья соединены с неподвижным звеном и друг с другом так, что каждое звено может двигаться относительно других звеньев.
Входным звеном (или сокращенно «входом») называют звено,
которому сообщается первоначальное движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном (или сокращенно «выходом») называют звено,
совершающее движение, которое определяет назначение механизма. Все остальные звенья механизма именуют
соединительными или промежуточными.
Чаще всего механизм имеет один вход и один выход. Входному звену сообщается движение непосредственно от двигателя, выходное звено соединяется с исполнительным органом машины или аппарата. На практике иногда встречаются механизмы, имеющие несколько входов и выходов. К примеру, в механизме автомобильного дифференциала один вход, получающий вращательное движение от двигателя, и два выхода, по одному на каждое из двух ведущих колес.
Положение отдельного звена механизма в произвольный момент времени может быть задано значением некоторых параметров (координат). Часть этих параметров зависит от значения других, поскольку звенья механизма связаны между собой, и положение одного звена определяет положение соседних звеньев. Другую часть параметров можно рассматривать как независимую. Очевидно, что совокупность значений независимых координат будет определять положение всех звеньев механизма.
Каждая из независимых координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки, называется
обобщенной координатой механизма. Тогда число независимых обобщенных координат, которые необходимы для однозначного определения положения всех звеньев механизма относительно стойки, называют числом степеней свободы механизма или подвижностью механизма.
Звено, положение которого определяется одной или несколькими обобщенными координатами, носит название начального звена.
Если механизм обладает одной степенью свободы, то одному из
89
звеньев механизма (начальному звену) можно задать конкретный закон движения, т. е. зависимость обобщенной координаты от времени. Тогда все остальные звенья получат вполне определенные движения, зависящие от закона движения начального звена. Если механизм обладает двумя степенями свободы, то две обобщенные координаты будут полностью определять характер движения всех звеньев механизма и т. д.
Следующие понятия касаются не единичных, а двух соединенных между собой звеньев. Из сказанного выше следует, что способ их соединения допускает относительное движение, которое может носить различный характер. В любом случае подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев называют кинематической парой.
Относительное движение звеньев в кинематической паре может иметь поступательный, вращательный или более сложный характер. Звенья могут соприкасаться по поверхности, по линии, в одной или нескольких точках.
Элементом кинематической пары называют совокупность поверхностей, линий и отдельных точек звена, по которым оно может соприкасаться с другим звеном, образуя с ним кинематическую пару. При этом к низшим кинематическим парам
относят такие пары, в которых требуемое относительное движение звеньев может быть получено при постоянном соприкосновении их элементов по поверхности. Если требуемое относительное движение звеньев в паре происходит при постоянном соприкосновении ее элементов только по линии или в отдельных точках, то пару относят к разряду высших кинематических пар. Из приведенных определений с очевидностью вытекают несколько практически важных следствий. Во-первых, в низших кинематических парах износ деталей значительно меньше, чем в высших кинематических парах. Зато энергетические потери на трение у первых будут гораздо больше.
Работоспособность и надежность механизмов (а значит, и машин) во многом определяются выбором элементов кинематических пар, поскольку через них передаются усилия от входного звена посредством промежуточных звеньев к выходному звену. Кроме того, вследствие относительного движения звеньев в кинематических парах возникают силы трения. Следовательно, элементы кинематических пар при работе механизма постоянно находятся в напряженном состоянии и одновременно подвергаются износу. Отсюда становится понятным огромное значение правильного выбора геометрической формы и размера элементов кинематических пар, а также конструкционных материалов при изготовлении звеньев и подбора смазки при проектировании механизмов.
Кинематические пары принято классифицировать также по
характеру относительного движения звеньев, образующих пару.
Так, различают поступательные, вращательные, винтовые пары.
90