Техническая механика часть 1

механизму по важнейшим структурным, кинематическим и энергетическим параметрам в любой момент времени, а именно:

-число степеней свободы динамической модели wп такое же, как и

уисходного механизма (в нашем случае wп = w = 1);

-обобщенная координата динамической модели (звена приведения) φп и исследуемого механизма совпадают, т.е. φп = φ;

-угловая скорость звена приведения ωп и начального звена

механизма совпадают, т.е. ωп = ω;

-работа АП (мощность NП) внешних сил, приложенных к звену приведения, равна суммарной работе Σ А (мощности N) совершаемой всеми внешними силами, приложенными к звеньям механизма, т.е. АП

=Σ А или NП = N;

-кинетическая энергия звена приведения TП равна кинетической

энергии исследуемого механизма, т.е. TП = T.

Последние два условия, как это будет показано ниже, позволяют получить выражения для приведенных сил, приведенных моментов сил и приведенного момента инерции и приведенной массы.

Рассмотрим вначале случай, когда ведущее звено исходного механизма совершает вращательное движение, т.е. является кривошипом. Тогда в качестве динамической модели (звена приведения) такого механизма естественно выбрать вращающее звено. На рис. 8.2 представлены схемы рычажного механизма и его

Рисунок 8.2

динамической модели. Момент инерции звена приведения относительно оси его вращения обозначим через Iп. Он называется

приведенным моментом инерции и представляет собой момент инерции условной массы, сосредоточенной на звене приведения, относительно оси вращения этого звена.

171

Звено приведения в модели вращается под действием пары сил с моментом Мп, который называют приведенным моментом сил. Приведенный момент представляет собой в некотором роде эквивалент всех сил, действующих на звенья исходного механизма. Расчетная схема, содержащая звено приведения с одним параметром Iп, называется первой одномассовой динамической моделью механизма.

Покажем, что всегда возможно определить такие значения величин Iп и Мп, при которых уравнение движения звена приведения будет тождественно уравнению движения исходного механизма. Под тождественностью здесь понимается равенство обобщенной координаты звена приведения и исходного механизма в произвольный момент времени. Обозначим через 0, 0 и Iп0 значения обобщенной координаты, угловой скорости и приведенного момента инерции звена приведения в некоторый начальный момент времени t0. Значения этих же величин в момент времени t обозначим через , и Iп. Тогда работа приведенного момента сил за промежуток времени [t0, t] может быть выражена с помощью соотношения (3.42), а кинетическая энергия звена приведения в начале и конце рассматриваемого промежутка – с помощью соотношения (3.49). Таким образом, уравнение (8.2) применительно к звену приведения будет иметь вид:

Сравнивая это уравнение с уравнением движения механизма (8.2), видим, что для эквивалентности динамической модели исходному механизму необходимо и достаточно выполнение двух условий:

Эти условия позволяют найти численные значения параметров Iп и Мп, если известны массы и кинематические характеристики всех звеньев исходного механизма.

172

Кинетическая энергия Ti каждого звена, совершающего плоское движение, согласно (3.50), складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

где mi – масса звена i, Vsi – скорость центра масс звена i, ωi – угловая скорость звена i, Ii – момент инерции звена i относительно оси, проходящей через центр масс звена i перпендикулярно плоскости движения. Суммирование по всем звеньям механизма с учетом (8.7) позволяет получить следующее выражение для приведенного момента инерции:

Полученное выражение дает возможность рассчитать численное значение важнейшего параметра первой одномассовой динамической модели. При этом значении Iп кинетическая энергия звена приведения будет равняться сумме кинетических энергий всех подвижных звеньев механизма. Приведенный момент инерции и приведенная масса mП связаны простым соотношением IП =mП r2, где r – радиус звена приведения. Следует подчеркнуть, что приведенный момент инерции, согласно (8.9), изменяется в зависимости от изменения передаточных

отношений: Vsi / ω и ωi / ω.

Получим теперь аналогичное соотношение для приведенного момента сил Мп. Он представляет собой условный момент пары сил, приложенных к звену приведения, и определяется, согласно (8.6), исходя из равенства элементарной работы этой пары сумме элементарных работ сил и пар сил, воздействующих на подвижные звенья механизма. Для механизмов, имеющих стационарные геометрические связи, равенство указанных работ равносильно равенству соответствующих мощностей. При таком условии приведенный момент сил Мп можно определить как условный момент пары сил, приложенный к звену приведения, у которого развиваемая мощность равна сумме мощностей всех сил и моментов пар сил, действующих на все подвижные звенья механизма.

В символьной записи сформулированное определение приведенного момента означает, что выполняется равенство:

173

i 1

где NП – мощность, развиваемая приведенным моментом Мп , Ni – мощность сил и пар сил, приложенных к звену с номером i.

Обозначим через Fsi силу, приложенную к центру масс si этого звена, а через Mi – момент пары сил, действующей на него (рис. 8.3).

FSi

VSi

i

ωi Mi

Si

i

Рисунок 8.3

В плоских рычажных механизмах каждое подвижное звено в общем случае совершает сложное плоско-параллельное движение, которое характеризуется скоростью Vsi его центра масс и угловой скоростью i. Мощность, развиваемая силой Fsi , согласно (3.35), равна скалярному произведению вектора силы Fsi на вектор скорости Vsi. Мощность, развиваемая моментом пары сил Mi, согласно (3.41), равна произведению момента на угловую скорость. При этом их произведение берется со знаком «+», если момент и скорость направлены в одну сторону и со знаком «-» - в противном случае. Таким образом, для произвольного звена i полная мощность действующих на него сил и пар сил определяется с помощью соотношения:

С учетом общего количества звеньев и соотношения (8.10) для приведенного момента сил имеем:

174

175

Подстановка соотношения (8.13) в (8.10) с учетом (8.11) позволяет получить для приведенной силы следующее выражение:

Таким образом, приведенная сила в рамках второй одномассовой динамической модели представляет собой силу, условно приложенную в точке приведения П ведущего звена и определяемую из условия равенства мощности, развиваемой этой силой, сумме мощностей всех сил и моментов пар сил, приложенных ко всем подвижным звеньям механизма.

Подстановка соотношения (8.14) в (8.7) с учетом (8.8) позволяет получить аналогичное выражение для второго параметра второй одномассовой модели – приведенной массы:

Приведенная масса механизма определяется как точечная масса, сосредоточенная в точке приведения, и имеющая в любой момент времени кинетическую энергию, равную сумме кинетических энергий всех подвижных звеньев механизма.

В заключение этого подраздела еще раз отметим, что все параметры обеих одномассовых моделей (приведенный момент инерции, приведенный момент сил, приведенная сила и приведенная масса) не зависят от угловой скорости звена приведения ω и скорости точки приведения Vп , так как в любую из полученных формул для этих параметров входят только отношения соответствующих скоростей. Последние не меняются с изменением ω и Vп. Следовательно, определение приведенного момента инерции, приведенного момента сил, а также приведенной силы и приведенной массы можно проводить на ранней стадии исследования, еще не зная конкретных числовых значений угловой скорости звена приведения (первая модель) и скорости точки приведения (вторая модель), т.е. до решения уравнения движения.

176

должен совпадать по направлению с суммарным моментом приводимых сил и пар сил.

По найденному численному значению приведенной силы приведенный момент Мп определяется через длину ведущего звена:

Таким образом, применение теоремы Жуковского позволяет определить численные значения приведенной силы и приведенного момента, используя только одно уравнение моментов всех сил, действующих на звенья механизма, относительно полюса плана скоростей.

8.5.Дифференциальное уравнение движения механизма

Внекоторых случаях при анализе движения механизма удобно применять не уравнение движения в форме интеграла энергии (8.2), а уравнение движения в форме дифференциального уравнения. Для определенности будем сначала считать, что ведущим звеном исходного механизма является кривошип, и механизму соответствует первая одномассовая динамическая модель (рис. 8.2). Рассмотрим движение модели на некотором малом промежутке времени dt. Работа dA, совершаемая за этот промежуток времени приведенным

моментом Мп, равна изменению кинетической энергии dT звена приведения за этот же промежуток, т.е. dA = dT. Если φ – обобщенная координата, определяющая положение звена приведения, то совершаемая работа пропорциональна его элементарному угловому перемещению d φ:

Изменение кинетической энергии звена приведения при его вращении равно:

I 2

dT d п . (8.22)

2

Приравнивая величины dA и dT, получим уравнение для угловой скорости звена приведения:

178

dI2 2dId

M п п п 2

п . (8.23) d 2 2d2d

Здесь учтено, что приведенный момент инерции может зависеть от положения ведущего звена.

полученного соотношения, учитывая, что угловая скорость звена приведения является функцией времени:

d d dd d

2 2 2 2 2, d d ddtdt

где - угловое ускорение звена приведения. С учетом этого преобразования уравнение (8.23) примет вид:

2dI

M п I . (8.24)

п 2d п

Это уравнение позволяет определить истинное движение звена приведения, которое в силу требования эквивалентности исходного механизма и его модели означает, что таким же будет и движение начального звена рассматриваемого механизма.

Пусть теперь исходному механизму соответствует вторая одномассовая динамическая модель. В этой модели звено приведения совершает поступательное движение. Тогда работа приведенной силы за некоторый малый промежуток времени dt равна dA = Fп ds, а изменение кинетической энергии этого звена за тот же

должно выполняться равенство dA = dT, приходим к соотношению:

п ds

Скорость точки приведения Vп является функцией времени, а приведенная масса mп зависит от перемещения s звена приведения. С учетом этого преобразуем правую часть последнего соотношения:

179

mV2 dпп

.

2 V2dmV2dmdVds

п пmVп п пmп

пп п

ds2dsds2dsdsdt

Но произведение производных в последнем слагаемом представляет собой ускорение точки приведения, т.к.

dVdsdV

п п W.

dsdt dt п

Поэтому окончательно приходим к уравнению:

V2dm

F п п mW, (8.26)

п 2ds п п

которое позволяет определить истинное движение звена приведения, т.е. найти закон изменения во времени обобщенной координаты механизма.

8.6. Режимы движения механизмов

Решение уравнений (8.24) и (8.26) дает возможность точно установить закон движения входного звена механизма, т.е. зависимость обобщенной координаты механизма от времени. Такая зависимость в качественной форме описывается тахограммой, характерный вид которой представлен на рис. 8.1 для механизма с входным звеном в виде кривошипа. Полное время работы механизма состоит из времени разбега tраз, времени установившегося режима tуст и времени выбега tвыб. Для периода разбега характерно возрастание угловой скорости ведущего звена от нулевого значения до некоторого среднего значения ср. При этом энергия привносится к механизму, и, следовательно, А > 0 и T > 0. В периоде выбега угловая скорость ведущего звена убывает от значения ср до нуля. В этом периоде энергия забирается из механизма, и, следовательно, А < 0 и T < 0. Отбор энергии чаще всего осуществляется с помощью тормозного устройства.

В периоде установившегося движения угловая скорость не остается строго постоянной (рис. 8.1). Она, в большинстве случаев, колеблется вокруг некоторого среднего значения ср. Колебания носят периодический характер, так что мгновенное значение угловой скорости является периодической функцией времени: ω (t) = ω (t + T).

180