Техническая механика часть 1

декартовой системы координат равносильно двум скалярным уравнениям:

Здесь Fjx и Fjy – проекции на координатные оси внешних сил, действующих на тело, хС и уС – координаты центра масс (в поле сил тяжести – центра тяжести) тела.

Вращательная часть движения тела подчиняется векторному уравнению (3.31), проектируя которое на ось Оz, перпендикулярную плоскости движения тела и проходящую через его центр масс получим:

Здесь моменты инерции и моменты внешних сил вычисляются относительно оси Оz.

Уравнения (3.33) и (3.34) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

4.9. Работа и мощность механических сил

Эффект действия сил на механические системы не ограничивается изменением их количества движения или кинетического момента. Другие характеристики сил – мощность и работа. Мощность силы N при ее действии на механическую систему определяется скалярным произведением силы на скорость точки ее приложения:

Если известны проекции силы и скорости на оси декартовой системы координат, то выражение для мощности силы можно представить в виде:

Здесь x, y и z – координаты точки приложения силы.

Из предыдущих выражений следует, что мощность силы положительна, если угол между вектором силы и скорости острый. В этом случае сила оказывает разгоняющий эффект на твердое тело.

72

Наоборот, если угол между силой и скоростью тупой, то сила оказывает на тело замедляющее воздействие, и мощность силы отрицательна. Наконец, если сила перпендикулярна направлению скорости, то мощность силы равна нулю. Сила не имеет мощности и тогда, когда она приложена к неподвижной точке (V = 0). Размерностью мощностью, как это следует из ее определения, является ватт: Н м / с = Вт. Мощность является характеристикой силы в текущий момент времени.

Работа в отличие от мощности представляет собой интегральную характеристику силы, определяющую ее воздействие на тело в течение некоторого промежутка времени. Работой силы А за промежуток времени от 1 до 2 называется величина:

Если мощность в течение указанного промежутка времени остается постоянной, то работа силы равна произведению мощности на величину промежутка времени: А = N ( 2 - 1). Отсюда следует, что единицей измерения работы является джоуль: Вт с = Н м = Дж. Работа, как и мощность, может принимать положительные, отрицательные, а также нулевые значения.

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени d . За этот промежуток сила совершит работу, равную dA = N d . Используя соотношение (3.35) можем записать: dA = F V d . Заменим теперь вектор скорости с помощью соотношения (2.6). Тогда для элементарной работы dA получим выражение dA = F dr . Величина работы за промежуток времени от 1 до 2 может быть получена с помощью интегрирования элементарной работы:

Здесь r1 и r2 – радиусы-векторы точки приложения силы в моменты времени 1 и 2 соответственно.

Выражение (3.38) для вычисления величины работы удобно использовать тогда, когда характер движения тела не известен, и мощность силы в каждый момент времени не может быть подсчитана. При этом зависимость силы F от положения точки, к которой она приложена должна быть задана. В частности, если сила постоянна, а движение тела происходит по прямой, то работа определяется по следующей формуле, вытекающей из (3.38):

73

скоростью . Вектор скорости V точки приложения силы направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а по величине он равен h, где на сей раз h – расстояние от точки приложения силы до оси вращения. В определении мощности (3.35) произведение F cos (F,ˆ V) есть не что иное, как проекция силы F на направление касательной Fm. Следовательно, величину мощности при вращательном движении определяет только касательная составляющая силы. При этом мощность равна: N = Fm h. Но произведение Fm h равно моменту силы F относительно оси Оz. Поэтому мощность может быть вычислена с помощью формулы:

Знак в этом выражении выбирается в зависимости от того, является ли сила разгоняющей или замедляющей.

Если на тело действует не одиночная сила, а пара сил с моментом М, то выражение (3.41) сохранит свой вид, только вместо момента силы Mz(F) следует подставить момент пары М.

По известной мощности работу силы за промежуток времени от 1 до 2 можно найти по формуле (3.37):

Здесь 1 и 2 – значения угла поворота тела, соответствующие моментам времени 1 и 2. Если во время вращения момент силы остается постоянным, то предыдущая формула упрощается:

т. е. работа крутящего момента равна произведению его величины на угол поворота. Знак выбирается из тех же соображений, что и в соотношении (3.41).

Работа силы упругости. Как уже отмечалось, сила упругости пропорциональна расстоянию х до некоторой фиксированной точки О (обычно она соответствует положению упругого элемента в недеформированном состоянии): F = - cx. Пусть в момент времени 1 упругий элемент занимал положение х1, а в момент времени 2 – положение х2. Воспользуемся формулой (3.38). В рассматриваемом случае она примет вид:

75

Таким образом, работа силы упругости пропорциональна коэффициенту жесткости и разности квадратов координат начального и конечного положения упругого элемента. Если упругий элемент удаляется от нейтрального недеформированного положения ( х2х1 ), то работа силы упругости отрицательна. В противном случае – положительна.

3.10. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы

Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия.

Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей массой m и скоростью V, равна:

mV 2

T (3.45)

2

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N

материальных точек, равна сумме их кинетических энергий:

Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кг м2 /с2 = Н м = Дж. Кроме того, в отличие от работы она не может быть отрицательной.

Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D:

Здесь - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело.

76

Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (3.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле:

Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (3.45) для кинетической энергии материальной точки.

Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 3.3). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h =

где использовано выражение (3.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (3.48) и (3.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь.

При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (3.48) и (3.49):

77

– момент инерции твердого тела относительно оси перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс.

Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (3.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Домножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки:

mW V = F V.

Правая часть полученного равенства, согласно (3.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом:

Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей):

В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек:

Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (3.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе сил:

Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей

78

всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение.

Соотношение (3.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 1 до 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка:

В правой части этого соотношения, согласно (3.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени ( 1 , 2): Т = Т( 2) – Т( 1). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил:

Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела.

В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 3.5). Будем считать известными массу груза m,

М

W

Рисунок 3.5

mg

79

момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к подъемному барабану.

Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (3.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (3.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна:

Здесь использовано соотношение (2.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью .

Воспользуемся равенством (3.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна:

Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (3.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (3.41), имеет мощность N = M = MV / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна:

Приравнивая полученный результат и правую часть (3.54), для ускорения груза имеем:

80