Техническая механика часть 1

Различают силовые и кинематические передачи. Силовые передачи используются для передачи значительных мощностей. Их габариты определяются, как правило, прочностной надежностью. Размеры кинематических передач определяются конструктивными соображениями.

В настоящем пособии подробно рассмотрены передачи зацеплением, поскольку они применяются при разработке химикотехнологического оборудования наиболее широко. В таких передачах характер относительного движения подвижных звеньев зависит от формы кинематических элементов высшей пары механизма. В свою очередь требуемый характер относительного движения звеньев определяет форму элементов высшей пары механизма. Поэтому вопрос о связи формы элементов пары и вида их относительного движения является основным.

10.2. Воспроизведение движения между звеньями механизма передачи методом взаимного обкатывания центроид

Для определения вида относительного движения между подвижными звеньями передачи удобно использовать метод обращенного движения (метод инверсии). Существо метода состоит в следующем. Всему механизму мысленно придаѐтся угловая скорость, равная скорости одного из подвижных звеньев (например, звену 2) и обратно ей направленная. В таком случае звено 2 становится для наблюдателя неподвижным, а движение другого будет являться движением относительно первого.

Применим этот метод к передаче с параллельными осями О1 и О2 и передаточным отношением U12 = 1 2 (рис. 10.2). Всему механизму мысленно сообщим угловую скорость 2, равную угловой скорости 2 , но направленную в противоположную сторону. Тогда движение звена 1 относительно звена 2 будет складываться из вращения вокруг оси О2 вместе со стойкой с угловой скоростью 2 и вращения вокруг собственной оси с угловой скоростью 1. Таким образом, рассматриваемое относительное движение звена 1 будет сложным вращательным. Вектор скорости этого движения будет равен12 = 1 + 2. С такой скоростью звено 1 поворачивается вокруг некоторой точки Р – мгновенного центра скоростей относительного движения (см. рис. 10.2).

Так как рассматривается передача с параллельными осями вращения звеньев, то векторы всех угловых скоростей также будут параллельными и, следовательно, величина угловой скорости 12 равна:

221

Рисунок 10.2

Здесь знак «+» соответствует случаю, когда звенья 1 и 2 вращаются в различные стороны (внешнее зацепление звеньев), а знак «–» – в одну сторону (внутреннее зацепление звеньев).

Линейную скорость точки О1 можно выразить двумя способами. С

С другой стороны, скорость этой же точки при движении вокруг центра О2 может быть выражена через угловую скорость 2 :

Следовательно,

(ω1 ω2 ) О1Р ω2 О1О2. .

С учѐтом того, что О1О2 = О2Р О1Р, после несложных преобразований получим:

222

Точно такой же результат получится, если рассматривать движение звена 2 относительно звена 1, применяя обращѐнное движение механизма при условно остановленном звене 1.

Таким образом, относительное движение звеньев является сложным вращательным движением, которое в каждый момент времени может рассматриваться как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Этот мгновенный центр (точка Р) расположен на линии, соединяющей центры вращения звеньев, и делит расстояние между центрами вращения на части, обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев.

При относительном перемещении звеньев точка Р будет описывать некоторую кривую Ц1-2, называемую центроидой относительного движения. Центроида является геометрическим местом мгновенных центров скоростей относительного движения звеньев. Если рассматривать движение звена 2 относительно звена 1, то получится вторая центроида Ц2-1 (см. рис. 10.2). В процессе движения механизма эти центроиды будут перекатываться друг по другу без скольжения. Если через каждую точку центроид относительного движения звеньев, т.е. через каждое положение мгновенного центра скоростей, провести прямую перпендикулярную плоскости чертежа, то образуются две цилиндрические поверхности, которые являются геометрическим местом мгновенных осей относительного движения звеньев. Эти поверхности носят название аксоидов относительного движения. Очевидно, что аксоиды также перекатываются друг по другу без скольжения.

Если по форме аксоидов относительного движения выполнить элементы высшей кинематической пары и обеспечить относительное перекатывание этих элементов без проскальзывания, то между заданными осями будет осуществляться передача движения по требуемому закону. Такие передачи называют центроидными или фрикционными. Последнее название обусловлено тем, что исключение относительного проскальзывания обеспечивается за счѐт сил трения (от латинского frictionis – трение), создаваемых на рабочих поверхностях звеньев. Передачи с параллельными осями из-за

223

цилиндрической формы аксоидов относительного движения называют также цилиндрическими.

Из формул (10.7) следует, что при постоянном передаточном отношении U12 радиусы центроид будут постоянными, т. е. в этом случае центроиды будут представлять собой окружности. Соответственно аксоиды относительного движения и сами рабочие поверхности подвижных звеньев центроидного механизма будут круглыми цилиндрами.

Фрикционные передачи, несмотря на несомненные достоинства, связанные в первую очередь с простотой форм рабочих поверхностей звеньев, обладают весьма существенным недостатком: практически оказывается невозможным постоянно обеспечить чистое перекатывание аксоидных поверхностей друг по другу. В результате передаточное отношение оказывается непостоянным, что во многих случаях является недопустимым. Передачи зацеплением лишены этого недостатка.

10.3.Основная теорема зацепления

Впередачах зацеплением подвижные звенья снабжены профильными выступами (зубьями), взаимодействие которых приводит к передаче движения. Звенья, имеющие зубья, называют зубчатыми звеньями, а зубчатое звено с замкнутой системой зубьев, обеспечивающее непрерывную передачу движения другому зубчатому звену – зубчатым колесом. Для нормальной работы передачи зубья зацепляющихся зубчатых колес должны иметь взаимоогибаемые поверхности, т.е. иметь такие боковые поверхности, которые были бы касательными одна к другой при любом возможном относительном положении зубьев в процессе движения. Соответствующую форму должны иметь и кривые, очерчивающие, в частности, торцевые профили зубьев, т.е. кривые, определяющие форму зуба в плоскости, перпендикулярной оси колеса.

Но условие взаимоогибаемости профилей зубьев ещѐ не достаточно для того, чтобы с их помощью возможно было осуществление передачи движения с заданным передаточным отношением. Требования, которым должны удовлетворять в этом случае профили зубьев зубчатых колѐс формулируются так называемой основной теоремой зацепления (теоремой Виллиса):

профили, передающие вращение между параллельными осями в каждой точке своего касания должны иметь общую нормаль, проходящую через мгновенный центр относительного вращения звеньев, положение которого определяется заданным относительным движением звеньев.

Для доказательства теоремы рассмотрим зацепление двух профилей, передающих движение между двумя параллельными

224

осями О1 и О2 с заданным передаточным отношением (рис. 10.3). При этом профиль 1 вращается с угловой скоростью 1, а профиль 2

– с угловой скоростью 2. В рассматриваемый момент времени

Рисунок 10.3

Векторы окружных скоростей VA1 и VA2 перпендикулярны отрезкам О1A1 и О2A2 соответственно. Из рис. 10.3 следует, что

Скорости точек А1 и А2, принадлежащие звеньям, связаны условием

VA1 = VA2 + VA1 A2 ,

где VA1 A2 – скорость точки А1 относительно А2 . По величине векторы окружных скоростей VA1 и VA2 должны быть такими, чтобы их проекции на общую нормаль N-N были бы одинаковы:

225

В противном случае профиль 1 будет врезаться в профиль 2 или отставать от него, что невозможно т.к. кинематическая пара в этом случае разрушится или разомкнется. Проекции векторов окружных скоростей VtA1 и VtA2 на общую касательную Т-Т могут быть не равны

друг другу (как это показано на рис. 10.3), что свидетельствует о возможности скольжении в кинематической паре.

Поскольку треугольник О1М1А и векторный треугольник ВСА имеют взаимно перпендикулярные стороны, то они подобны. Следовательно, с учетом 10.8 справедливо соотношение:

Треугольники О2М2А и ВDА также подобны из-за перпендикулярности их сторон, из чего следует аналогичное соотношение:

Наконец, из подобия прямоугольных треугольников О1М1Р и О2М2 Р, с учетом (10.9 – 10.11) вытекают следующие пропорции:

Таким образом, точка Р делит межосевое расстояние в отношении пропорциональном передаточному отношению

1 O2 P .

2 O1 P

Сравнивая полученное соотношение с (10.6), видим, что они идентичны. Это является доказательством прохождения общей нормали N – N через мгновенный центр скоростей Р. В передачах с зацеплением мгновенный центр называют полюсом передачи.

При постоянном передаточном отношении, т.е. при 1 / 2 = const, полюс передачи находится всегда в одной и той же точке на линии, соединяющей центры вращения звеньев. Следовательно, в этом случае нормали, проведенные к различным точкам касания двух совместно работающих профилей должны всегда проходить через

226

одну и ту же точку. Этим свойством обладают кривые, относящиеся к семейству рулетт. Рулеттами называют кривые, которые описываются точками, скреплѐнными с некоторой кривой, катящейся без скольжения по некоторой другой, неподвижной кривой.

Из большого числа различных рулетт одной из самых простых кривых является эвольвента окружности, которая широко используется для образования профилей зубьев в передачах зацеплением. Предложение использовать эвольвенту окружности в этих целях высказал в 1764 году русский учѐный Л.Эйлер.

Ниже рассматриваются зубчатые эвольвентные передачи, обеспечивающие передачу движения между параллельными осями с постоянным передаточным отношением.

10.4. Эвольвентное зацепление и его свойства

Эвольвентной окружности называют кривую, которую описывает точка прямой линии при перекатывании еѐ без скольжения по окружности. Прямая линия носит название производящей прямой, а окружность – основной окружностью. На рис. 10.4 изображены основная окружность радиуса rb и производящая прямая в начальном (штриховая линия) и произвольном (KyNy) положениях. Точка К производящей прямой при еѐ перекатывании без скольжения описывает эвольвенту КbКу. Отрезок ОКу = ry является текущим

N

O

rb

основная

окружность

Рисунок 10.4

227

между касательной к эвольвенте Т-Т в точке Ку и еѐ радиусомвектором rу называется профильным углом эвольвенты. На схемах

эвольвенты ОКb и еѐ текущим радиусом rу, называется эвольвентным углом или инволютой у , т.е.

у = inv y .

Любая точка эвольвенты вполне определяется двумя параметрами: радиусом-вектором ry и эвольвентным углом у. Исходя из представлений о получении эвольвенты (дуга KbNy равна отрезку KyNy = у, где у – радиус кривизны эвольвенты в точке Ky), с учетом свойств центральных углов окружности справедливы

Формулы (10.12) и (10.13) задают уравнение эвольвенты в параметрической форме. Исключая из них параметр у, получают прямую связь между у и rу, выраженную через rb. Следовательно, эвольвента полностью определяется основной окружностью. Поэтому для аналитического определения координат эвольвентного профиля зуба или для графического его построения необходимо и достаточно знать лишь радиус основной окружности.

Эвольвента обладает следующими основными свойствами:

1.Начальная точка эвольвенты лежит на основной окружности. Внутри этой окружности эвольвента точек не имеет.

228

2.Точка Ny является мгновенным центром вращения производящей прямой, а, следовательно, и центром кривизны эвольвенты в

точке Ку. Отрезок КуNу производящей прямой является текущим радиусом кривизны у эвольвенты в точке Ку. Отсюда следует, что нормаль N-N в любой точке эвольвенты легко может быть построена, если провести из этой точки прямую, касательную к основной окружности.

3.Профильный угол у и радиус кривизны у в начальной точке Ко эвольвенты равны нулю. По мере удаления точек эвольвенты от основной окружности профильный угол и радиус кривизны эвольвенты увеличиваются.

Сувеличением радиуса основной окружности rb кривизна

эвольвенты уменьшается, и при rb = эвольвента вырождается в прямую линию. Рис. 10.5 иллюстрирует приближенный способ построения эвольвенты, которая является траекторией некоторой точки Ку производящей прямой. Отрезок КуNу разделѐн на пять равных частей (Ny - 1, 1 - 2, 2 - 3, 3 - 4, 4 - Ку). На основной окружности

O

Рисунок 10.5

Поскольку длины хорд дуг Ny - 1 , 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 4 и 4 - Кb равны соответствующим отрезкам производящей прямой (при

229

делении отрезка КуNу на достаточно большое число частей), то длины дуг будут мало отличаться от длины их хорд. Через точки 1 , 2 , 3 , 4 и Кb проведены касательные, представляющие собой ряд последовательных положений прямой КуNу при еѐ перекатывании по основной окружности. На каждой из касательных определено положение точки Кi : К1 - 1 = Ку -1 ; К2 - 2 и т.д.). Траектория точки К является эвольвентой.

Зацепление эвольвентных профилей обладают определенными

соприкасающиеся в этой точке, и эвольвенты Э 1 и Э 2 тех же основных

O2

Рисунок 10.6

окружностей, соприкасающихся в точке Р, являющейся полюсом передачи. Для обеих пар эвольвент прямая N-N является общей нормалью и проходят через полюс Р передачи. Обе пары эвольвент

230