Техническая механика часть 1

Период Т функции ω (t) принято называть продолжительностью цикла установившегося движения. За время равное продолжительности цикла положение, скорость и ускорение ведущего звена принимают свои первоначальные значения. Следовательно, приращение кинетической энергии ∆Т равно нулю за время кратное целому числу циклов. Из соотношения (8.2) вытекает, что и работа внешних сил за этот промежуток времени также равна нулю.

Приращение кинетической энергии за произвольный промежуток времени можно условно представить как работу сил инерции: ∆Т = Аи. Тогда соотношение (8.2) с учетом (8.1) можно записать в форме уравнения энергетического баланса:

Смысл составляющих в этом уравнении тот же, что и в уравнении (8.1). Работа сил инерции может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку кинетическая энергии механизма может быть как возрастающей, так и убывающей функцией времени. Для элементарного промежутка времени dt уравнение энергетического баланса примет вид:

dАдв - dАпс - dАтр dАв dАи = 0.

Разделив каждое слагаемое на промежуток времени dt, придем к уравнению энергетического баланса, связывающему между собой мощности, развиваемые различными силами:

(производственных) сопротивлений; Nтр – мощность, затрачиваемая на преодоление сил трения в кинематических парах и других вредных (непроизводственных) сопротивлений; Nв – мощность, затрачиваемая на преодоление силы веса звеньев (или развиваемая этими силами); Nи – мощность, затрачиваемая на изменение кинетической энергии звеньев механизма (или получаемая за счет изменения кинетической энергии звеньев). Два последние слагаемые обращаются в нуль, если уравнения (8.27) и (8.28) применяются к установившемуся режиму работы механизма за период времени кратный целому числу циклов.

В этом случае уравнение (8.27) может быть записано в простом виде:

181

т.е. за период времени кратный целому числу циклов (в частности, за один цикл) при установившемся режиме работа движущих сил равна сумме работ сил полезных и вредных сопротивлений. Отношение абсолютной величины работы сил полезных сопротивлений к работе движущих сил за цикл установившегося движения называют

коэффициентом полезного действия (цикловым) механизма :

Коэффициентом потерь ψ (цикловым) в механизме называется отношение абсолютной величины работы сил вредного сопротивления к работе движущих сил за цикл установившегося движения:

Поделив обе части равенства (8.29) на величину Адв, получим простую формулу, устанавливающую связь между коэффициентом полезного действия (к.п.д.) механизма η и коэффициентом потерь (к.п.) в механизме ψ:

Отсюда следует, что с уменьшением в механизме вредных сопротивлений коэффициент потерь убывает и одновременно увеличивается, стремясь к единице, коэффициент полезного действия механизма. Следовательно, чем выше значение к.п.д. механизма, тем совершеннее он в энергетическом смысле.

Очевидно, что к.п.д. механизма может быть определен и через отношение мощностей:

Очень часто удобно пользоваться именно такой оценкой эффективности механизмов.

182

8.7.Коэффициент полезного действия отдельных механизмов

Всилу особой важности понятия к.п.д. рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих возможность оценки энергетической эффективности некоторых простых механизмов. Вначале определим к.п.д. наклонной плоскости при подъеме по ней груза G за счет действия движущей силы F заданной величины (рис. 8.5, а). Пусть

известны угол наклона плоскости , угол между направлением движения и линией действия силы F, а также коэффициент трения скольжения f.

Найдем связь между величиной груза и движущей силой, считая движение груза равномерным (V = const). В силу последнего допущения система сил, действующих на груз, находится в равновесии. При этом, кроме сил F и G , на груз действуют сила трения Fтр и реакция опорной поверхности N. Эти две силы связаны между собой коэффициентном трения скольжения: Fтр = f N. Уравнение равновесия в проекциях на направление движения груза может быть записано в виде:

Рисунок 8.5

В проекциях на направление, перпендикулярное направлению движения, уравнение равновесия может быть записано следующим образом:

183

Если из последнего уравнения выразить величину реакции N и подставить полученное выражение в (8.34), то нетрудно получить следующую формулу, связывающую величину груза и движущую силу:

sin( )

F G . (8.36)

cos( )

Здесь φ = arctg f – угол трения скольжения.

Оценку к.п.д. проведем, исходя из формулы (8.33). Мощность, развиваемая движущей силой F, равна скалярному произведению вектора этой силы на вектор скорости точки приложения силы F:

При подъеме груза роль полезного сопротивления, очевидно, играет сила тяжести G. Поэтому величина мощности, развиваемой силой полезного сопротивления, равна скалярному произведению вектора силы тяжести на вектор скорости точки, к которой приложена сила тяжести:

С учетом соотношений (8.33) и (8.36) получим следующее выражение для к.п.д. наклонной плоскости:

NGVsinsincos()

пс (8.39)

NFVcoscossin()

дв

Рассмотрим теперь случай равномерного поступательного движения тела (ползуна) по наклонной плоскости вниз (рис. 8.5, б). В этом случае роль движущей силы играет сила тяжести G, а роль силы полезного сопротивления – сила F. При равномерном движении вниз связь между силами G и F определяется соотношением:

sin( )

F G , (8.40)

cos( )

которое может быть получено с помощью точно таких же выкладок как и соотношение (8.36). Тогда мощность, развиваемая движущей силой G, будет равна:

184

Nдв = G∙V = G V sin α.

Мощность, развиваемая силой полезного сопротивления F, выразится соотношением:

Nпс = F∙V = G V cos β,

а к.п.д. наклонной плоскости при движении ползуна вниз под действием силы тяжести будет следующим образом зависеть от углов

α, β и φ:

NFVcoscossin()

пс . (8.41)

NGVsinsincos()

дв

Движение по наклонной плоскости представляет собой простейший и достаточно идеализированный случай оценки энергетической эффективности технических устройств. На практике реальные машины составлены из нескольких механизмов, соединенных между собой тем или иным способом. Поэтому очень часто возникает необходимость оценки величины коэффициента полезного действия нескольких последовательно или параллельно соединенных механизмов.

Пусть имеется n последовательно соединенных механизмов (рис. 8.6, а) с известными значениями к.п.д. ηi. Первый механизм приводится в движение движущими силами (например, от электродвигателя), совершающими работу Адв. Силы полезного сопротивления первого механизма являются движущими силами для соединенного с ним второго механизма. Поэтому работа сил полезного сопротивления А1 первого механизма одновременно служит работой движущих сил для второго механизма. Следовательно, для первого механизма имеет место равенство:

Рассуждая аналогичным образом, для второго механизма можем записать:

а)

Рисунок 8.6

Соответственно для механизма с номером n получим:

– работа сил полезного сопротивления всей совокупности n механизмов. Используя полученные соотношения, для к.п.д. n последовательно соединенных механизмов имеем:

Таким образом, общий коэффициент полезного действия ряда последовательно соединенных механизмов равен произведению коэффициентов полезного действия всех составляющих механизмов. Из формулы (8.42) следует важный для практики вывод: коэффициент полезного действия ряда последовательно соединенных механизмов всегда меньше к.п.д. механизма с минимальным его значением.

186

Для иллюстрации применения формулы (8.42) рассмотрим три последовательно соединенных механизма (рис. 8.6, б): зубчатую передачу, состоящую из зубчатых колес 1 и 2, жестко закрепленных на валах; червячную передачу, состоящую из червяка 3 и червячного колеса 4; кривошипно-ползунный механизм, кривошип которого жестко связан с червячным колесом. Пусть коэффициенты полезного действия всех перечисленных механизмов известны и равны: к.п.д зубчатой передачи зп = 0.97; к.п.д. червячной передачи чп = 0.70; к.п.д. кривошипно-ползунного механизма кп = 0.95. Применяя формулу (8.42), для к.п.д. всего агрегата получим:

= зп чп кп = 0.97 0.70 0.95 = 0.645 0.70 = чп .

Выведем теперь аналогичное соотношение для коэффициента полезного действия n параллельно соединенных механизмов (рис. 8.7, а) с известными значениями к.п.д. каждого из них. Общая работа движущих сил Адв, подводимая к агрегату, распределяется между отдельными его механизмами. Обозначим через i долю общей работы движущих сил (подводимой к агрегату механической энергии),

а)

Ад

Рисунок 8.7

187

приходящуюся на механизм с номером i. Очевидно, что коэффициенты i удовлетворяют условию:

n

i 1.

i 1

Тогда для первого механизма работа движущих сил будет равна

1 Адв, для второго - 2 Адв и т.д., а для n – го - n Адв. Если обозначить работу сил полезного сопротивления i – го через Аi , то суммарная

работа сил полезного сопротивления равна их сумме:

i 1

а коэффициент полезного действия механизма с номером i выразится отношением: i = Аi / i Адв. Тогда суммарная работа сил полезного сопротивления может быть представлена в виде:

С учетом этого равенства для к.п.д. ряда параллельно соединенных механизмов окончательно получим:

Из полученной формулы видно, что в агрегате с параллельным соединением механизмов допустимо использовать механизмы с низким к.п.д. Однако их негативное влияние на общий коэффициент полезного действия можно снизить, если доля приходящейся на них энергии будет незначительна (т.е. соответствующие коэффициенты i малы).

Чтобы проиллюстрировать применение формулы (8.43), рассмотрим два параллельно соединенных технологических агрегата ТА1 и ТА2, схема которых приведена на рис. 8.7, б. Работа движущих сил от двигателя передается на вал , на котором жестко закреплены зубчатые колеса 1 и 3. Далее через зубчатую передачу, состоящую из зубчатых колес 1 и 2, часть механической энергии передается

188

первому агрегату, а другая часть энергии двигателя через зубчатую передачу, состоящую из зубчатых колес 3 и 4, передается на второй агрегат. Примем коэффициент полезного действия первой зубчатой передачи равным 0.96, а второй – 0.97. Пусть доля работы движущих сил, подаваемая на агрегат ТА1, составляет 0.4, а доля работы движущих сил, подаваемая на агрегат ТА2 – 0.6. Тогда в соответствии с формулой (8.43) коэффициент полезного действия всего комплекса будет равен:

η= ν1 η1 + ν2 η2 = 0.4 0.96 + 0.6 0.97 ≈ 0.966.

8.8.Законы передачи сил и моментов в механизмах

При анализе работы механизмов важно уметь находить связь между параметрами движения входного и выходного звеньев без детального рассмотрения движения всех промежуточных звеньев. Такую связь устанавливают соотношения, которые называют законами передачи. Выясним вначале, как связаны силы, действующие на указанные звенья. Пусть имеется некоторый механизм, состоящий из произвольного числа звеньев. Обозначим через Fдв движущую силу, приложенную в некоторой точке А первого (входного) звена. Скорость точки А характеризуется вектором VA. Сила полезного сопротивления Fпс приложена в некоторой точке В выходного звена, перемещающейся со скоростью VВ. Угол между векторами Fдв и VA обозначим через α, а угол между векторами Fпс и VВ

– через β. Ясно, что угол α будет острым, а угол β – тупым. В самом деле, мощность, развиваемая движущей силой Fдв, равна скалярному произведению вектора этой силы на вектор скорости точки ее

Поскольку мощность, развиваемая движущей силой, должна быть положительна, отсюда следует, что косинус должен принимать положительные значения. Это имеет место только тогда, когда угол α будет острым.

Аналогично, мощность, развиваемая силой полезного сопротивления Fпс, равна скалярному произведению этой силы на вектор скорости точки ее приложения:

189