Техническая механика часть 1
.pdfПод центром масс механической системы понимают геометрическую точку С, радиус-вектор которой находится с помощью соотношения:
|
1 |
N |
|
|
rC |
mi ri . |
(3.13) |
||
|
||||
|
m i 1 |
|
||
Полученное векторное равенство в проекциях на оси декартовой системы координат распадается на три скалярных соотношения для координат центра масс:
|
1 |
N |
|
1 |
N |
|
1 |
N |
|
|
xC |
mi xi |
yC |
mi yi |
zC |
mi zi . |
(3.14) |
||||
|
|
|
||||||||
|
m i 1 |
|
m i 1 |
|
m i 1 |
|
||||
Если механическая система (в частности, твердое тело) находится в поле силы тяжести, то ее центр масс совпадает с центром тяжести, и формулы (3.14) позволяют найти его местоположение. Однако для твердого тела суммирование в правых частях равенств должно быть заменено интегрированием по его объему.
Дифференцируя эти равенства по времени можно установить связь между скоростями Vi всех точек механической системы и скоростью ее центра масс VС:
|
1 |
N |
|
|
VC |
mi Vi |
(3.15) |
||
|
||||
|
m i 1 |
|
||
Повторное дифференцирование приведет к соотношению между ускорениями точек Wi и ускорением центра масс WС:
|
1 |
N |
|
|
WC |
mi Wi |
(3.16) |
||
|
||||
|
m i 1 |
|
||
Таким образом, движение центра масс механической системы зависит от характера движения каждой ее точки. В свою очередь, движение точек системы происходит под действием сил. При анализе сил отмечалось (глава 1), что часть сил является внешними по отношению к механической системе, другие силы действуют внутри системы между ее отдельными точками. С учетом этого запишем уравнение (3.1) для каждой точки механической системы:
mi Wi = Fi + Рi , |
i = 1, 2, …, N |
|
61 |
где Fi и Рi – равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на i - ю точку. Просуммируем левые и правые части всех N уравнений:
N |
N |
N |
|
mi Wi Fi Pi |
|
||
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
Из статики известно, |
что главный вектор |
внутренних сил |
|
N |
|
|
|
Pi любой механической системы равен нулю. |
Тогда с учетом |
||
i 1 |
|
|
|
(3.16) получим уравнение: |
|
|
|
|
N |
|
|
mWC |
Fi |
|
(3.17) |
i 1
Следовательно, произведение полной массы механической системы на ускорение центра ее масс равно главному вектору всех внешних сил, действующих на точки механической системы. Сравнение полученного уравнения с аксиомой 2 позволяет сделать вывод: центр масс механической системы движется как свободная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних, действующих на точки системы.
В проекциях на оси декартовой системы координат векторному уравнению (3.17) соответствуют три уравнения в скалярной форме:
2 |
|
N |
|
2 |
yC |
N |
|
2 |
|
N |
|
|
||||
m |
d |
xC |
Fix |
, |
m |
d |
Fiy |
, |
m |
d |
zC |
Fiz |
. |
(3.18) |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
d 2 |
d 2 |
d 2 |
||||||||||||||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|||||||||||
Здесь Fix, Fiy и Fiz – проекции на оси координат внешних сил, действующих на точку системы с номером i. Уравнения (3.18)
называются дифференциальными уравнениями движения центра масс. В случае поступательного движения твердого тела эти уравнения достаточны для его полного описания. В самом деле, в разделе, посвященном кинематике, отмечалось, что описание поступательного движения сводится к описанию движения одной его точки. В динамике в качестве такой точки выбирается центр масс. Поэтому уравнения (3.18) часто называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела. Из них, в
частности, следует, что если главный вектор внешних сил равен нулю
62
во все время движения, то центр масс механической системы будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно.
Еще один важный вывод, вытекающий из уравнений движения
(3.18) состоит в следующем: внутренние силы, действующие между отдельными элементами механической системы (твердого тела), не могут изменить движения центра масс.
3.5. Количество движения материальной точки и механической системы
Количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на ее скорость: mi Vi. Единицей измерения количества движения служит кг м / с. Количеством движения механической системы К называют векторную сумму количества движения всех точек, составляющих систему:
N |
|
K mi Vi |
(3.19) |
i 1
Правую часть этого равенства, согласно (3.15), можно заменить на произведение mVC. Следовательно, количество движения механической системы (в частности, твердого тела) равно произведению ее массы на скорость центра масс: К = m VC. Отсюда видно, что количество движения является мерой поступательной части движения тела. Мерой вращательной части движения являются другие характеристики, которые будут рассмотрены ниже.
Продифференцируем обе части равенства (3.19) по времени. С учетом (3.17) имеем:
dK |
|
d |
N |
d |
N |
|
|
|
mi Vi |
mVC mWC Fi |
(3.20) |
||||
d |
|
d |
|||||
|
d i 1 |
i 1 |
|
||||
Это равенство составляет содержание теоремы об изменении количества движения механической системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.
Сформулированная теорема широко применяется при анализе движения не только твердых тел, но и газообразных и жидких сред. Она остается справедливой при движении тел переменной массы (например, при реактивном движении).
Из теоремы об изменении количества движения вытекает, что измениться оно может только в результате действия сил. Способность силы воздействовать на тело характеризуется ее импульсом. В общем
63
случае импульс S силы F за промежуток времени от 0 до определяется соотношением:
S Fd
0
Если сила не меняется во времени, то импульс, который она передает телу, равен произведению силы на время воздействия: F . Размерность импульса силы [S] = Н с = кг м / с. Она совпадает с размерностью количества движения. Следовательно, эти физические величины взаимосвязаны. Конкретный вид такой связи вытекает из теоремы об изменении количества движения (3.20).
Проинтегрируем обе части указанного равенства по времени в пределах от 0 до :
|
dK |
|
N |
|
|
d |
Fi d |
||
|
||||
d |
||||
0 |
|
0 |
i 1 |
Свойства определенного интеграла после несложных преобразований позволяют записать:
N |
N |
|
K( ) K(0) Fi d Si , |
(3.21) |
|
i 1 0 |
i 1 |
|
т.е. приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. Поскольку сумма сил, входящая в соотношение (3.20), эквивалентна главному вектору, предыдущая формулировка может быть заменена следующей: приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно импульсу главного вектора внешних сил за тот же промежуток времени. Обе формулировки составляют содержание теоремы импульсов.
Из теоремы вытекает несколько важных следствий. Во-первых,
внутренние силы не могут изменить количества движения механической системы. Во-вторых, если главный вектор внешних сил равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то количество движения системы будет постоянным в течение этого промежутка. Наконец, в-третьих, если проекция главного вектора внешних сил на какое-нибудь направления равна нулю, то проекция количества движения на это направление будет оставаться
64
постоянной во все время движения системы. Приведенные следствия широко используются при решении задач механики.
3.6. Моменты инерции механической системы
Как уже отмечалось, количество движения является мерой поступательной составляющей движения и не может служить характеристикой движения для вращающихся тел. Действительно, рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Тогда VC = 0, и количество движения К
= 0 в силу К = m VC.
Точно так же обстоит дело с массой тела. Если для поступательного движения она служит мерой инертности тела, то для вращательного движения эту роль играют другие характеристики. Они носят название моментов инерции.
Пусть имеются материальная точка массой m и некоторая неподвижная ось. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Например, для материальной точки, изображенной на рис. 3.1, момент
у
l
h
m
О
х
Рисунок 3.1
инерции относительно оси Ох равен Jx = m у2, относительно оси Оу – Jу = m х2, относительно оси l - Jl = m h2 (х и у – координаты точки). Единицы измерения осевых моментов [J] = кг м2. Из определения момента инерции следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие момента инерции материальной точки несложно обобщить на общий случай механической системы, состоящей из N материальных точек. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее отдельных точек:
65
N |
|
Jl mi hi2 |
(3.22) |
i 1
где mi - масса точки с номером i , hi - расстояние этой точки до оси l. Свойство аддитивности момента инерции позволяет
распространить это понятие на твердое тело произвольной формы. Если разбить весь объем, занятый телом, на бесконечно малые элементы, то каждый такой элемент можно рассматривать как материальную точку массой dm. Момент инерции одного такого элемента, например, относительно оси Ох декартовой системы координат по определению равен (у2 + z2) dm. Тогда момент инерции всего тела может быть получен в результате интегрирования этой величины по всему объему V:
Jx (y 2 |
z2 )dm (y 2 z2 ) dV |
(3.23) |
V |
V |
|
Здесь масса элементарного объема тела выражена через плотность материала : dm = dV.
Аналогично могут быть записаны моменты инерции тела относительно осей Оу и Оz:
Jу (х2 |
z2 )dm (х2 |
z2 ) dV |
(3.24) |
V |
V |
|
|
Jz (y 2 |
x 2 )dm (y 2 |
x 2 ) dV |
(3.25) |
V |
V |
|
|
В качестве примера использования приведенных формул вычислим момент инерции прямоугольной пластины, изображенной на рис. 3.2. Пусть m – масса пластины, h - ее длина, в – ширина, а – толщина. Тогда объем пластины V = hва, а масса единицы объема равна m / hва. Определим сначала момент инерции Jz относительно
h
в |
|
|
|
x |
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
Рисунок 3.2
66
оси Оz, проходящей через центр тяжести пластины С (рис. 3.2). Воспользуемся формулой (3.25). Выделим бесконечно малый элемент пластины, ограниченный координатами x, x + dx и z, z + dz. Его объем равен аdxdz , а масса dm :
dm |
m |
аdxdz |
mdxdz |
|
|
hвв |
hв |
||||
|
|
||||
С учетом того, что координата у = 0, интегрирование в формуле (3.25) сведется к интегрированию по координатам х и z в пределах их изменения:
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
h |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
J |
|
(x 2 |
y 2 )dm |
m |
|
|
dz x 2dx |
mh |
|||||
z |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
hв |
|
|
12 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
V |
|
|
|
в |
|
h |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
Аналогично может быть получено выражение для момента инерции Jх относительно оси Ох. Оно равно Jх = mв2 / 12.
Из приведенного примера видно, что величина момента инерции относительно некоторой оси зависит от квадрата поперечного по отношению к данной оси размера тела. Кроме того, она зависит от положения оси, относительно которой вычисляется момент инерции. С помощью аналогичных вычислений можно показать, что момент инерции относительно оси Оz параллельной Оz и отстоящей от нее на расстоянии р равен: Jz = Jz + mp2. Отсюда следует, что, зная значение момента инерции тела относительно некоторой оси, нетрудно определить его значение относительно любой оси, параллельной данной. Другой вывод, который может быть сделан:
момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (или центр тяжести), является наименьшим из всех моментов инерции относительно осей, параллельных ей.
3.7. Момент количества движения материальной точки и механической системы
При анализе сил, действующих на твердое тело, отмечалось, что вращательный эффект силы определяется ее моментом относительно некоторой точки или оси. Величина момента силы в общем случае находится по формуле (1.10) как векторное произведение радиусвектора, проведенного в точку приложения силы, на вектор самой силы: M(F) = r x F. Точно так же для количественного описания вращательного движения служит особая характеристика - момент количества движения. Она определяется аналогично понятию
67
момента силы, а именно: моментом количества движения МО(mV) материальной точки относительно некоторой центра О называется векторное произведение:
МО(mV) = r x mV |
(3.26) |
Направление вектора МО(mV) определяется по обычным правилам для векторного произведения. Единицей измерения момента количества движения служит кг м2/с.
Моментом количества движения механической системы (или
кинетическим моментом) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек, составляющих систему:
N |
N |
|
LO MO (mi Vi ) r mi Vi |
(3.27) |
|
i 1 |
i 1 |
|
Здесь моменты количества движения всех материальных точек, составляющих систему, вычисляются относительно одного и того же центра О. В том случае, когда механическая система представляет собой твердое тело, суммирование в формуле (3.27) заменяется на интегрирование по всему объему тела.
z
dmv
h
ω
y
x
Рисунок 3.3
Рассмотрим, как связаны кинематические характеристики вращающегося тела и его момент количества движения. Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Оz (рис. 3.3). Выделим в теле бесконечно малый элемент массой
dm, находящийся на расстоянии h от оси вращения: h = 
x2 y2 , где
68
х и у – координаты выделенного элемента. Траекторией его движения является окружность с центром на оси вращения. Скорость движения элемента направлена по касательной к траектории, а ее величина равна h. Так что вектор количества движения направлен также по
касательной к траектории, и величина его равна dm 
x2 y2 .
Момент количества движения выделенного элемента относительно оси Оz равен его моменту количества движения относительно любой точки на этой оси (так же как в случае момента силы относительно оси). В качестве такой точки возьмем точку пересечения оси Оz и плоскости движения рассматриваемого элемента (рис. 3.3). Тогда плечом вектора количества движения служит величина h, а момент количества движения равен:
dLz dm h
x2 y2 dm x2 y2 .
Момент количества движения всего тела получим путем интегрирования этого выражения по его объему:
Lz x2 |
y2 dm x2 y2 dm J z |
(3.28) |
V |
V |
|
Здесь использовано соотношение (3.25) для момента инерции твердого тела. Таким образом, кинетический момент вращающегося тела равен произведению угловой скорости вращения на момент инерции тела относительно оси вращения.
Нетрудно увидеть аналогию между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения. При поступательном движении количество движения механической системы определяется по формуле: К = m VC. При вращательном движении аналогом этой формулы служит соотношение (3.28): Lz = Jzω. Следовательно, кинетический момент Lz является аналогом количества движения К, т. е. служит мерой вращательного движения. При этом мерой инерционности является момент инерции Jz.
Выясним, что может быть причиной изменения момента количества движения. Сначала рассмотрим движение одной материальной точки. Оно подчиняется уравнению (3.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим векторно левую и правую части уравнения движения на радиус-вектор точки относительно некоторого центра О:
r m W = r F |
(3.29) |
69
Справа от знака равенства стоит момент силы относительно точки О: MO(F) = r F. Левая часть равенства может быть преобразована следующим образом:
r mW r m |
dV |
r |
d(mV) |
|
d |
(r mV) |
dr |
mV |
d |
d |
d |
|
|||||
|
|
|
d |
|
||||
Здесь использованы свойства производной и векторного
произведения двух векторов. В последнем слагаемом |
dr |
V . |
|
d |
|||
|
|
Следовательно, векторно перемножаются два параллельных вектора. Такое произведение, как известно из курса математики, равно нулю. Произведение r mV, согласно (3.26), представляет собой момент количества движения материальной точки МО(mV) относительно центра О. В результате из предыдущего вытекает уравнение:
d |
MO (mV) MO (F) , |
(3.30) |
|
d |
|||
|
|
которое показывает, что причиной изменения момента количества движения материальной точки является вращательный эффект действующих на нее сил. Уравнение (3.30) устанавливает количественную сторону этой связи.
В механической системе, состоящей из N точек, для каждой из них можно составить уравнение (3.30):
d |
MO (mi Vi ) MO (Fi ) , i = 1, 2, …, N |
|
d |
||
|
Просуммируем левые и правые части всех этих уравнений. Сумма левых частей, согласно (3.27), может быть представлена в виде:
N |
d |
|
d N |
dL |
|
|
|
MO (mi Vi ) |
|
MO (mi Vi ) |
O |
d |
|
d |
|||
i 1 |
|
d i 1 |
|||
В правой части в результате суммирования уравнений получим сумму моментов всех сил (главный момент), действующих на точки механической системы. При этом сумма слагаемых, включающих внутренние силы, будет равна нулю. Действительно, каждой силе, действующей внутри механической системы, соответствует равная по величине и противоположная по направлению сила (аксиома 3). Поэтому моменты этих двух сил будут уравновешивать друг друга. В итоге получаем уравнение:
70