2. Размах вариации. Среднее линейное отклонение
Абсолютные и средние величины не могут дать всесторонней характеристики изучаемой совокупности, не позволяют судить о структуре совокупности, о внутреннем ее строении. Более полное представление об изучаемой совокупности может быть получено путем исследования различий между единицами совокупности с помощью измерения колеблемости изучаемого признака.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Хmax- Xmin). Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Зависимость от крайних значений признака придает размаху вариации неустойчивый, случайный характер.
Размах вариации не связан с частотами в вариационном ряду. т. е. с характером распределения. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних. Область применения этого показа-геля ограничена достаточно однородными совокупностями.
Для характеристики вариации признака нужно знать не только амплитуду (размах) его значений, но и уметь обобщить отклонения всех этих значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. В качестве такой величины используют среднюю арифметическую. Такие показатели вариации, пак среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. основаны на рассмотрении отклонений значений признака Отдельных единиц совокупности от средней арифметической.
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:
где d - среднее линейное отклонение;
|
|
- абсолютное значение (модуль) отклонения
варианта от средней арифметической;
f-частота.
Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами. Необходимость использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам средней арифметической. Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.
3. Дисперсия. Виды дисперсий
Дисперсия
(
) - средняя
из квадратов отклонений вариантов
значений признака от их средней величины:
Или 
для
не сгруппированных данных,
для
сгруппированных данных.
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не изменяет величину дисперсии:
3. Уменьшение
всех значений признака в к раз
уменьшает дисперсию в k2 раз: 
4. Средний
квадрат отклонений, исчисленный от
среднего арифметического, всегда будет
меньше среднего квадрата отклонений,
исчисляемого от любой другой
величины: 
> 
.Величина
различия между ними вполне определенная,
это квадрат разности между средней и
этой условной величиной А.
Дисперсия альтернативного признака, т. е. признака, имеющего два противоположных значения. В таких случаях наличие признака обозначается единицей, а его отсутствие - нулем. Доля единиц, обладающих признаком, обозначается через р, доля остальных единиц - q= 1 - р. Средняя величина альтернативного признака:
Дисперсия альтернативного признака:
Cреднее квадратическое отклонение альтернативного признака:
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности, возникающую под влиянием всех факторов. Исчисляется по формуле:
Групповые средние и дисперсии обозначим соответственно х. и о'. Внутригрупповые дисперсии показывают величину вариации, вызванную всеми признаками, кроме признака, положенного в основу группировки.
Межгрупповая дисперсия является мерой вариации признака между группами и характеризует колеблемость групповых средних (Т) около общей средней (Т) (среднее квадратическое отклонение групповых средних от общей средней):
