- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
1.8.1. Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности
.
Математическое ожидание есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х по ее закону распределения:
-
Х
3
5
2
р
0,1
0,6
0,3
Решение. .
Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.
Решение. Случайная величина Х – число появлений события А в одном испытании – может принимать два значения: х1 =1 (событие наступило) с вероятностью р и х2 = 0 (событие не наступило) с вероятностью 1–р=q.
Следовательно,
,
т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины.
1.8.2. Свойства математического ожидания
Приведем без доказательства основные свойства математического ожидания.
М(С)=С – математическое ожидание постоянной величины С равно значению самой постоянной.
М(СХ)=СМ(Х) – постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания.
М(ХY)=М(Х)М(Y) – для двух независимых случайных величин математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий.
М(Х+Y)=M(X)+M(Y) – для двух случайных величин (зависимых или независимых) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность появления события в каждом испытании р, т.е.
М(Х)=nр.
Доказательство свойств математического ожидания см., например, в учебниках [3,4].
1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
Две случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но разное рассеяние. Это значит, что математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Поэтому вводится еще одна числовая характеристика, которая называется дисперсией и характеризует рассеяние случайной величины относительно математического ожидания.
Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания
.
Пример. Случайная величина Х имеет распределение
Х |
1 |
2 |
5 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Требуется вычислить дисперсию.
Имеем:
.
На практике для вычисления дисперсии используют другую, более удобную формулу
.
Доказательство:
1.8.4. Свойства дисперсии
1. D(С)=0, т.е. дисперсия постоянной величины С равна нулю.
2. D(CX)=C2D(X) – постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
Доказательство:
.
3. D(X+Y)=D(X)+D(Y) – дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Доказательство:
Так как для независимых случайных величин
M(XY)=M(X)M(Y), то последнее равенство примет вид
,
откуда
.
Приведем без доказательства еще два свойства дисперсии.
4. D(C+X)=D(X).
5. D(X–Y)=D(X)+D(Y).
Отметим еще одно важное свойство дисперсии.
Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна
D(X)=npq,
где p - вероятность появления события А в одном испытании; q=1-p – вероятность его непоявления.
Доказательство:
Найдем дисперсию числа появлений события А в одном испытании
Тогда .
Всего n независимых испытаний, следовательно, D(X)=npq.
Дисперсия имеет размерность случайной величины в квадрате.