- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
Пусть требуется оценить качество изделий в некоторой партии объемом n. Для этого необходимо над каждым изделием провести наблюдение, т.е. осмотр, измерение, взвешивание и т.д. В теории вероятностей и математической статистике всем этим понятиям соответствует один термин – испытание.
В результате отдельного испытания изделие может быть признано либо годным, либо браком. Возможные исходы испытания в данном примере – это случайные события: А – годное изделие; В – брак. Эти события называются случайными, потому что заранее нельзя точно предсказать, какое из них наступит при следующем испытании.
Пусть после проверки всей партии изделий объемом n, т.е. после n испытаний, случайное событие А – число годных изделий – появилось nА раз. Это значит, что относительная частота случайного события А равна
.
Если провести несколько серий испытаний (проверить несколько партий изделий), то относительные частоты в разных сериях будут группироваться около определенного числа, которое называется вероятностью случайного события А и обозначается Р(А). Как показала практика, с ростом объема партии изделий n относительные частоты теснее группируются около вероятности, т.е. обнаруживают устойчивость.
Устойчивость относительной частоты случайного события является определяющим его свойством, позволяющим использовать относительную частоту как оценку вероятности в различных практических расчетах.
1.2. Виды случайных событий
События, которые непременно происходят при каждом испытании, называются достоверными.
События, которые не могут произойти ни при каком испытании, называются невозможными.
Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.
Если при осуществлении испытания может наступить хотя бы одно из двух событий А или В, то событие
С=А+В
называется суммой, или объединением событий А и В.
Два события А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе при одном испытании.
Случайные события образуют полную группу, если они попарно несовместны, и при любом отдельном испытании непременно должно наступить одно из них.
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Два случайных события называются противоположными, если в одном испытании появление одного из них (А) исключает появление другого () – читается «неА».
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице
.
Противоположные события образуют полную группу.
Если при осуществлении испытания может наступить и событие А, и событие В (совмещение событий А и В), то событие
называется произведением, или пересечением событий А и В.
Два случайных события называются независимыми, если при осуществлении испытаний появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.
1.3. Определения вероятности
Классическое определение вероятности события А – отношение числа m элементарных событий (исходов испытаний), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий
.
Статистическое определение вероятности
,
где – частота событияА при n испытаниях.
Геометрическая вероятность
,
где – площадь некоторого замкнутого контура, составляющая часть площадиS.