Показатели статистического распределения (snr2v08a)

К-во наблюдений 824

К-во интервалов 13

Ширина интервала 1

Среднее X, LOG(X) 5.287621 1.614266

Дисперсия X, LOG(X) 2.799556 .1067994

Ср. квадратич. отклонение X, LOG(X) 1.673187 .326802

Коэффициент вариации % X, LOG(X) 31.64347 20.24461

Показатель асимметрии B .026025

Показатель островершинности H 1.491061

Распределение 3-го типа с параметрами

AU = – 9.088928E-4 B = 3.820727 G = 5.17171 U = – .3448559 N= 1.263474E-3

Случайная величина X>0

P(X)=N*X^(G-1)/(1-AU*X^B)^(1–1/U)

X p(x) F(x) 1-F(x)

1 .001259 .000244 .999756

2 .021665 .008558 .991442

3 .098301 .062895 .937105

4 .214164 .219711 .780289

5 .261104 .467234 .532766

6 .200419 .704341 .295659

7 .11184 .859328 .140672

8 .052049 .938307 .061693

9 .022347 .973566 .026434

10 .009418 .988527 .011473

11 .004029 .99486 .00514

12 .001779 .997604 .002396

13 .000816 .998836 .001164

x p(x) F(x)

A 3.461031 .152336 .120441

C 4.88297 .261957 .436611

B 6.264426 .176104 .754139

Здесь уместно отметить, что использование обобщенных распределений позволяет вычислять закон распределения или наилучшее аппроксимирующее распределение, поэтому применение критериев согласия не обязательно.

5.2.4. Выравнивающее распределение суммы независимых случайных величин

Пусть распределение некоторой случайной величины Х задано таблицей (графы 1–3).

Таблица 5.2.7

Распределение случайной величины Х

Хi	mi	pi	р(х)
0 1 2 3 4 5 6	0 2 6 9 6 2 0	0 0,08 0,24 0,36 0,24 0,08 0	0,000074 0,076705 0,252557 0,342127 0,252557 0,076705 0,000074

Вычислим по методу моментов выравнивающее распределение.

По данным табл. 5.2.7 вычислим моменты случайной величины Х. Они равны: .

Поскольку распределение симметрично, показатель асимметрии β₁=0.

Показатель островершинности

.

Предполагая, что данное распределение описывается первой системой непрерывных распределений, по методу моментов находим, что выравнивающим является распределение I типа (бeта-распределение) с параметрами

и нормирующим множителем N = 0,107546.

Распределение случайной величины Х задается плотностью

(0,068538<x<6,068538).

В табл. 5.2.7 (графа 4) приведены расчетные значения плотности р(х) при найденных оценках параметров. Они очень близки к вероятностям p_i.

Пусть далее требуется найти выравнивающее распределение суммы двух независимых случайных величин Х и Y, распределения которых заданы приведенной выше табл. 5.2.7.

Эту задачу можно решить либо теоретически по правилам отыскания композиции распределений по известным плотностям слагаемых, либо эмпирически, вычислив предварительно моменты случайной величины Z=X+Y.

По формулам (4.4.33) для случайной величины Z=X+Y (здесь n=2) найдем:

Далее по формулам (4.4.34) имеем:

.

По известным моментам распределения случайной величины Z=X+Y нетрудно рассчитать параметры и нормирующий множитель выравнивающей кривой, которая тоже относится к I типу (бeта-распределение). Они равны:

.

Случайная величина Z=X+Y задана на интервале

–0,49182<Z<12,49182.

Распределение случайной величины Z=X+Y можно задать таблично. Для этого по данным табл. 5.2.7 необходимо найти все возможные значения суммы X + Y и их вероятности, которые равны произведениям вероятностей слагаемых. В табл. 5.2.8 в первых трех графах приведено распределение случайной величины Z=X+Y при условии, что Х = Y, причем случайные величины Х и Y имеют одно и то же распределение, заданное табл. 5.2.7.

Таблица 5.2.8

Распределение суммы двух независимых одинаково

распределенных случайных величин Z=X+Y

Z=X+Y	mz	pz	р(z)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	– 4 24 72 132 161 132 72 24 4 –	– 0,0064 0,0384 0,1152 0,2112 0,2576 0,2112 0,1152 0,0384 0,0064 –	0,000209 0,005864 0,038271 0,116246 0,211528 0,255760 0,211528 0,116246 0,038271 0,005864 0,000209

Естественно, что моменты, вычисленные по распределению случайной величины Z, совпадают с моментами, рассчитанными ранее теоретически с помощью формул (4.4.33) по моментам случайной величины Х.

Кроме того, теоретические моменты выравнивающей кривой по четвертый порядок включительно совпадают с эмпирическими моментами, поскольку на этом равенстве основано вычисление выравнивающей кривой распределения.

Центральные моменты более высоких порядков статистического и выравнивающего распределений могут не совпадать.

Так, момент 6-го порядка случайной величины Z, рассчитанный по данным табл. 5.2.8, равен , в то время как теоретический момент 6-го порядка равен (см. формулу (4.3.9) приr = 5, γ = k, γu = 1)

,

т.е. в 1,012 раза больше эмпирического момента.

Расчетные значения плотности р(z) при найденных оценках параметров приведены в табл. 5.2.8. Они близки к соответствующим вероятностям.

Таким же путем может быть найдено распределение суммы независимых случайных величин, имеющих различные типы распределений, например, гамма и бeта-распределения.