- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
Рассмотрим примеры на выравнивание статистических распределений обобщенными плотностями.
В табл. 5.2.1 приведена группировка колхозов и совхозов Республики Беларусь по урожайности основных сельскохозяйственных культур в 1992г. по данным Госкомстата Республики Беларусь: а) зерновые и зернобобовые культуры; б) картофель. К сожалению, группировка выполнена не совсем корректно: для анализа табличных данных желательна разбивка на интервалы равной ширины, причем не должно быть открытых интервалов, таких, как до 15ц/га, более 55 ц/га.
Пример 1. Рассмотрим статистическое распределение хозяйств Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992г. (см. табл. 5.2.2, графы 1 – 3).
Таблица 5.2.1
Группировка колхозов и совхозов
Республики Беларусь по урожайности основных
сельскохозяйственных культур в 1992 г.
а) зерновые и зернобобовые культуры
Сбор с 1 га ц |
РБ |
Число хозяйств по областям | |||||
Брест-ская |
Витебская |
Гомельская |
Гроднен-ская |
Минская |
Могилев-ская | ||
до 15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 >55 |
139 305 446 639 489 282 117 48 10 5 |
- 3 24 78 105 78 40 21 5 4 |
122 186 97 72 18 6 2 1 - - |
- 26 73 137 90 60 27 10 3 1 |
5 11 58 101 72 30 12 3 - - |
10 64 129 136 115 45 15 3 1 - |
2 15 65 115 89 63 21 10 1 - |
Итого: |
2480 |
358 |
504 |
427 |
292 |
518 |
381 |
б) картофель
Сбор с 1 га ц |
РБ |
Число хозяйств по областям | |||||
Брестская |
Витебская |
Гомель-ская |
Гродненская |
Минская |
Могилев-ская | ||
до 50 50-75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225 225-250 250-300 >300 |
391 480 483 433 271 156 79 48 21 12 2 |
6 34 45 80 60 46 31 19 7 8 2 |
211 109 63 36 16 14 5 1 2 1 - |
34 60 96 102 59 33 14 13 6 2 - |
2 19 57 85 67 28 14 6 1 1 - |
97 163 131 68 29 12 5 2 2 - - |
41 95 91 62 40 23 10 7 3 - - |
Итого: |
2376 |
338 |
458 |
419 |
280 |
509 |
372 |
Таблица 5.2.2
Распределение колхозов и совхозов Минской области
по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г.
Сбор с 1 га ц |
Середина интерв. ti |
Число хозяйств |
Теорет. плотность p(ti) |
Теорет. частота mi=p(ti)Mh | |
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 |
7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 |
- 10 64 129 136 115 45 15 |
0,00009 0,00410 0,02347 0,04984 0,05641 0,03978 0,01875 0,00604 0,00132 0,00019 |
60,79 129,09 146,10 103,03 48,56 15,64
|
0,067
0,170 0,000 0,698 1,391 0,261 0,026
0,002 |
|
Требуется: используя классический метод моментов, вычислить выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению.
Решение. Вычислим по данным табл.5.2.2. среднюю урожайность, дисперсию, центральные моменты 3-го и 4-го порядков и некоторые другие показатели.
Так как данные сгруппированы (в 9 интервалов равной ширины h=5), то моменты вычисляем по формулам
.
В результате найдем
.
Тогда среднее квадратическое отклонение S и коэффициент вариации V будут равны:
.
Приравнивая эмпирические моменты соответствующим теоретическим, вычислим показатели асимметрии и островершинности, а также критерий L
.
По рис. 4.3.1 находим, что выравнивающее распределение относится к I типу с параметром β = 1, поскольку L<3. В этом случае оценки параметров находятся по формулам (4.3.6):
где величины А,…,Е выражены через показатели и центральные моменты с помощью формул (4.3.8):
Подставляя в последние формулы оценки показателей и соответствующих центральных моментов, получим
А=–0,343314; В=12,17618; С=546,0952; Е=1,872575.
Решим далее квадратное уравнение Аа2+Ва+С=0.
Корни его равны:
а1=–25,91447; а2=61,38106.
Для одного из корней должно выполняться равенство а=–1 (хотя бы в первом приближении). Поэтому параметр а здесь равен (при )
а = –25,91447.
Тогда D = 2C + aB = 776,6512.
Теперь можно рассчитать оценки параметров по формулам (4.3.6):
.
Нормирующий множитель N равен
.
Выравнивающее распределение задается формулой (4.3.41)
,
где
Подставляя сюда оценки параметров и нормирующего множителяN, рассчитаем в серединах каждого интервала значения плотности вероятностей (см. табл. 5.2.2. графа 4).
Все приведенные здесь расчеты выполнялись по программе автора SNR1MM97.
Оценки параметров u, можно найти пономограмме (приложение 2). При заданных значениях с учетом неравенстваимеем:u = 0,10; k = 25. Тогда u = 1/k = 0,04; k = 1/u = 10.
Эти оценки близки к найденным оценкам по программе.
Оценим далее степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению по критерию “xu-квадрат” К.Пирсона:
,
где n – число интервалов.
Умножим значения плотности на произведение M· h = 518·5 = 2590. Получим теоретические частоты в каждом интервале (графа 5).
Объединим два первых и два последних интервала, что рекомендуется делать при частоте mi < 5, и вычислим для каждого интервала (всего 8 интервалов) значения величин (графа 6).
Критерий оказался равным 2,615. По таблице квантилей– распределения (приложение 4) при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободыr=8–4–1=3 (8 – число интервалов статистического распределения, 4 – число параметров выравнивающего распределения) найдем критическое значение . Оно равно 7,815. Поскольку, то нет оснований для отклонения гипотезы о том, что закон распределения хозяйств Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992г. относится к распределению I типа (бета-распределению) с найденными оценками параметров.
По таблице – распределения (приложение 4) при известном числе степеней свободыr = 3 и = 2,615 можно также найти вероятность того, что за счет чисто случайных причин мерарасхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем фактически наблюденное значение, т.е. = 2,615. В данном примере она равна 0,462. Поскольку эта вероятность достаточно высокая, т.е. значительно больше обычно принимаемого уровня значимости α = 0,05, то нет оснований для отклонения принятой гипотезы о выравнивающем распределении.
Теперь можно построить гистограмму и кривую распределения. Для построения гистограммы необходимо вычислить эмпирическую плотность в каждом интервале. Она рассчитывается по формуле
,
где – число хозяйств вi-ом интервале; h – ширина интервала.
Кривая распределения строится по значениям теоретической плотности в серединах интервалов.
Результаты представлены на рис. 5.2.1. На графике отмечена средняя урожайность ц/га, а также нижняяtн = 16,65 и верхняя tв=39,22 90%-ные границы.
Это значит, что 90% хозяйств имели урожайность зерновых и зернобобовых на интервале tн<t<tв.
Дальнейшие расчеты показывают, что из семи статистических распределений, заданных таблицей 5.2.1а, только одно (Гродненская область) описывается обобщенной плотностью
при u<0, т.е. кривой III типа. Остальные шесть распределений описываются плотностью (4.3.41)
с параметром u > 0, т.е. кривыми I типа. Это – известные бета-распределения.
Рис. 5.2.1. Распределение колхозов и совхозов Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г.
Кривые распределения несколько различаются как по расположению на горизонтальной оси, так и по форме. Так, кривая распределения хозяйств Брестской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур смещена вправо относительно аналогичной кривой для Республики в целом, а кривая по Витебской области – влево. Последняя кривая отличается сильной правосторонней асимметрией. Такая форма кривой может свидетельствовать о том, что меньшая урожайность уже вряд ли возможна, а также о наличии резервов повышения урожайности либо о неблагоприятных климатических и других условиях для данной культуры.
Пример 2. Рассмотрим распределение предела прочности на растяжение портландцементного раствора 28-дневного возраста. Данные позаимствованы из книги [9, с. 269].
В таблице 5.2.3 приведен интервальный ряд статистического распределения (графы 1–3). Объем выборки составляет 1000 значений случайной величины.
Используем первую систему непрерывных распределений.
Таблица 5.2.3
Интервальный ряд распределения предела прочности
на растяжение портландцементного раствора
28-дневного возраста [9, c.269]
Интервал, кг/см2 |
Середина интерв. ti |
Эмпирическая частота |
Теорет. плотность p(ti) |
Теорет. частота mi=p(ti)Mh | |
15,5-16,5 16,5-17,5 17,5-18,5 18,5-19,5 19,5-20,5 20,5-21,5 21,5-22,5 22,5-23,5 23,5-24,5 24,5-25,5 25,5-26,5 26,5-27,5 |
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
74 138 194 202 156 104 62 27
|
0,00404 0,02713 0,07837 0,14217 0,18810 0,19449 0,16208 0,10966 0,05952 0,02506 0,00766 0,00151 |
78,37 142,17 188,10 194,49 162,08 109,66 59,52 25,06
|
0,26 0,24 0,12 0,19 0,29 0,23 0,29 0,10 0,15
0 |
|
|
|
Требуется: по данным табл. 5.2.3 (графы 1 – 3) вычислить по классическому методу моментов выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению. Найти границы доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р = 0,9545.
Решение. Вычислим по статистическим данным с помощью программы SNR1MM97 среднее значение предела прочности, дисперсию, центральные моменты 3 и 4-го порядков и другие показатели.
В результате найдем:
.
Среднее квадратическое отклонение S и коэффициент вариации V равны:
.
Приравнивая эмпирические моменты соответствующим теоретическим, вычислим показатели асимметрии и островершинности, а также критерий L:
.
Поскольку L < 3, выравнивающее распределение относится к I типу с параметром =1 и задается плотностью
.
Вычислим значения величин А,…,Е:
Решим далее квадратное уравнение Аа2+Ва+С=0. Корни его равны: а1 = – 6,59544; а2 = 9,824492.
Поскольку , то параметра здесь равен а = – 6,59544.
Тогда D=2С+аВ=68,35499.
Теперь можно рассчитать оценки параметров:
Нормирующий множитель N = 5,314906·10–4.
Кривая распределения задана на интервале 14,27656<t<30,69649.
Рассчитаем при найденных оценках параметров и нормирующего множителяN значения плотности вероятностей (см. табл. 5.2.3, графа 4). Умножив значения плотности на М·h = 1000, получим теоретические частоты в каждом интервале (графа 5).
Вычислим критерий “xu-квадрат” К.Пирсона. Объединив частоты двух первых и двух последних интервалов, получим . Далее по таблице– распределения при числе степеней свободы(число интервалов после объединения стало равным 10; 4 – количество параметров обобщенного распределения) инайдем вероятность того, что за счет случайных причин мера расхождения между статистическим и выравнивающим распределениями будет не менее 1,87. Эта вероятность достаточно высокая –. Это значит, что нет оснований для отклонения принятой гипотезы о выравнивающем распределении.
Вычислим по программе нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при доверительной вероятности Р = 0.9545: tн = 17,25485; tв=24,88674. При этом значение функции распределения F(tн)=0,02275; F(tв)=0,97725. Ширина доверительного интервала равна 7,63189 кг/см2 и составляет 3,92874 средних квадратических отклонений.