12.2. Множественная регрессия

При исследовании зависимостей методами множественной (многофакторной) регрессии задача формулируется также, как и при использовании парной регрессии, только в этом случае требуется определить аналитическое выражение связи между результативным признаком и факторными признаками.

Выбор формы связи для множественной регрессии осложняется тем, что теоретически зависимость между признаками может быть выражена большим числом различных функций.

Поскольку уравнение регрессии строится главным образом для количественного выражения взаимосвязей, оно должно отражать реально сложившиеся между факторами связи с достаточной степенью точности, поэтому для определения типа исходного уравнения регрессии часто используется метод перебора различных уравнений и соответствующих им оценок соответствия фактическим данным по точности.

Практика построения многофакторных моделей связи показывает, что реально существующие зависимости между явлениями можно описать, используя следующие типы моделей:

линейная

степенная

показательная

параболическая

гиперболическая

Серьёзная сложность формирования уравнений множественной регрессии состоит в определении оптимального числа факторных признаков, а также в том, что почти все факторные признаки в реальных процессах и явлениях находятся в зависимости друг от друга.

Если аналитическая форма связи подобрана, выбраны все факторные признаки, то параметры многофакторного уравнения регрессии могут быть определены различными методами: графическим методом, методом наименьших квадратов и т.д.

12.3. Измерение тесноты связи

Проверка практической значимости построенных в корреляционно-регрессионном анализе математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между факторным и результативным признаками.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, предложенный немецким учёным Г.Фехнером. Этот показатель основан на оценке степени согласованности знаков (направлений) отклонений факторного и результативного признаков от их средних значений.

Коэффициент корреляции знаков определяется формулой

где - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величинот их средних;- число несовпадений знаков отклонений. Коэффициент Фехнера может принимать значение в пределах от -1 до +1. Если знаки большинства пар отклонений совпадут, то тогда показатель будет близок к 1, что свидетельствует о наличии прямой связи.

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции, впервые введённый английским математиком К.Пирсоном:

В этом показателе учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признаков от средних, но и сами величины таких отклонений.

Между линейным коэффициентом и коэффициентом регрессиив уравнении линейной парной регрессии существует зависимость, определяемая формулой

где и- средние квадратические отклонения факторного и результативного признаков, соответственно.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Поэтому на практике часто анализ начинают с расчёта этого коэффициента. Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной – знак минус. Условие является необходимым и достаточным, чтобы признакиибыли независимы. При этом условии соответствующие коэффициенты регрессии обращаются в нуль, а прямые регрессиипоипооказываются взаимно перпендикулярными в прямоугольной системе координат.

Линейный коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. При наличии же криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен нулю. В таких случаях зависимости между признаками применяют эмпирическое корреляционное отношение и теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции).

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным, получаемым в результате группировки

где - общая дисперсия результативного признака;

- межгрупповая дисперсия результативного признака;

- средняя внутригрупповых дисперсий результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле

где -факторная дисперсия или дисперсия выравненных значений результативного признака (т.е. рассчитанных по уравнению регрессии)

- остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме, факторов

Соотношение между факторной и общейдисперсиями

называется индексом детерминации и характеризует часть общей вариации результативного признака , описываемую факторомв регрессионной модели. Корень квадратный из индекса детерминации определяетиндекс корреляции .

Необходимо заметить, что правило сложения дисперсий в виде

выполняется всегда для определённой совокупности наблюдений. Заметим также, что по абсолютной величине линейный коэффициент корреляции равен индексу корреляциитолько при прямолинейной связи.

Представленные выше показатели тесноты связи, исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности (при ), могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки их существенности.

Для оценки значимости коэффициента корреляции (или коэффициентов регрессии) применяетсяt –критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия

сравнивается с критическим , которое берётся из таблицы значенийСтьюдента с учётом заданного уровня значимостии числа степеней свободы. Если величина, то величина коэффициента корреляции признаётся значимой.

Для оценки значимости индекса корреляции (или адекватности построенной регрессионной модели) применяетсяF-критерий Фишера. Фактическое значение критерия вычисляется по формуле

и сравнивается с критическим значением , которое определяется по таблицеF-критерия с учётом принятого уровня значимости и числа степеней свободыи- число параметров уравнения регрессии). Привеличина индекса корреляции признаётся значимой.

В случаях, если изучаются совокупности достаточно большого объёма, применяют другие методы оценки значимости описанных выше показателей (например, пользуются таблицей интеграла вероятностей Лапласа).

В заключение настоящей темы следует подчеркнуть, что интерпретация моделей регрессии должна осуществляться методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления и процессы. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель параметров.

При анализе адекватности уравнения регрессии описываемому процессу возможны следующие варианты:

1) построенная модель на основе её проверки по F-критерию в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и прогнозов;

2) модель по F-критерию адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для производства прогнозов;

3) модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. Такая модель непригодна для принятия решений и осуществления прогнозов.

ПРИЛОЖЕНИЯ

П1. Некоторые значения коэффициента доверия при заданных значениях

доверительной вероятности

0,4843 0,5161 0,5467 0,5763 0,6047 0,6319 0,6579 0,6827 0,7063 0,7287 0,7499 0,7699 0,7887 0,8064 0,8230 0,8385 0,8529 0,8664	0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50	0,8789 0,8904 0,9011 0,9109 0,9199 0,9281 0,9357 0,9426 0,9488 0,9545 0,9596 0,9643 0,9684 0,9722 0,9756 0,9786 0,9812 0,9836	1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40	0,9858 0,9876 0,9892 0,9907 0,9920 0,9931 0,9940 0,9949 0,9956 0,9963 0,9968 0,9973 0,9977 0,9980 0,9984 0,9989 0,9994 0,9999	2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 3,10 3,15 3,26 3,42 3,90

П2. Критические значения корреляционного отношения и индекса

детерминации при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	10	20
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 30 40 50 60 80 100 120 200	0,771 658 569 500 444 399 362 332 306 283 247 219 197 179 122 093 075 063 047 038 032 019	865 776 699 632 575 527 488 451 420 394 345 312 283 259 182 139 113 095 072 058 049 030	903 832 764 704 651 604 563 527 495 466 417 378 348 318 227 176 143 121 093 075 063 038	924 865 806 751 702 657 628 582 550 521 471 429 394 364 264 207 170 144 110 090 075 046	938 887 835 785 739 697 659 624 593 564 514 477 435 404 297 234 194 165 127 103 087 053	947 902 854 811 768 729 692 659 628 600 550 507 470 432 326 259 216 184 142 116 098 060	959 924 885 847 810 775 742 711 682 655 607 564 527 495 373 304 254 218 170 140 119 073	967 937 904 871 839 807 777 749 722 696 650 609 573 540 419 342 288 249 196 161 137 086	983 967 948 928 908 887 867 847 828 809 773 740 709 680 563 479 416 368 298 251 217 139

П3. Критические значения F-критерия при уровне значимости

	1	2	3	4	5	6	8	10	20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 30 40 60 120	161,4 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,82 4,75 4,60 4,49 4,41 4,35 4,17 4,08 4,00 3,92	199,5 19,00 9,45 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,74 3,63 3,55 3,49 3,32 3,23 3,15 3,07	215,7 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,34 3,24 3,16 3,10 2,92 2,84 2,76 2,68	224,6 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,11 3,01 2,93 2,87 2,69 2,61 2,52 2,45	230,2 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 2,96 2,85 2,77 2,71 2,53 2,45 2,37 2,29	234,0 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,85 2,74 2,66 2,60 2,42 2,34 2,25 2,17	238,9 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,70 2,59 2,51 2,45 2,27 2,18 2,10 2,02	242,0 19,39 8,78 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,60 2,49 2,41 2,35 2,16 2,12 2,04 1,90	248,0 19,44 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,93 2,77 2,65 2,54 2,39 2,28 2,19 2,12 1,93 1,84 1,75 1,65