введение в тфп

Приведем значения магнитной проницаемости некоторых магнетиков:

-диамагнетики: у водорода (1 − μ) = 0,063 10−6; висмута (1 − μ) = 176 10−6;

-парамагнетики: у воздуха (μ - 1) = 0,38 10−6; алюминия ( μ - 1) = 23 10−6;

-ферромагнетики: например, начальная магнитная проницаемость мар- ганец-цинковых ферритов имеют значения от μн = 1000 до μн = 4000.

Классификация сред по их электромагнитным свойствам.

Однородная среда – среда, в которой ε, μ, g не зависят от координат элементов среды.

Неоднородная среда – среда, в которой ε, μ, g являются функциями координат (значения констант разная в разных точках среды).

Линейная среда – среда, в которой ε, μ, g не зависят от свойств электромагнитного поля и материальные уравнения выражаются линейными уравнениями связи: D = εε0E, B = μμ0 H, j = gE.

Нелинейная среда – среда, в которой ε, μ, g изменяются в зависимости от свойств электромагнитной волны. Например, при достаточно высоких частотах электромагнитной волны наблюдается явление дисперсии сре-

ды – зависимости ε, μ, от частоты. Эта зависимость обусловлена запаздыванием в изменении вектора поляризованности P и вектора намагниченности J среды при изменении векторов E и B электромагнитного поля.

Изотропная среда – среда, в которой ε, μ, g не зависят от направления

векторов E и B. В изотропной среде ε, μ, g являются скалярными величинами.

Анизотропная среда – среда, в которой ε, μ, g зависят от направления

векторов E и B. В анизотропной среде ε, μ, g являются тензорными величинами.

В дальнейшем рассматриваются изотропные и, в основном, однородные среды.

4.4. Уравнение движения заряженных частиц

Во много задачах описания движения заряженных частиц в электромагнитном поле можно оставаться в рамках теории дальнодействия, а также явно не учитывать релятивистские эффекты. В этом приближении движение частиц в электромагнитном поле описывается законами Ньютона. На заряженную частицу в электромагнитном поле действует сила Лоренца F = qE + q[v, B], и динамическое уравнение движения (второй закон

где p – импульс заряженной частицы.

Приведем сводную таблицу уравнений. В таблице явный вид дифференциальных уравнений приведен относительно декартовой системы координат.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме, материальные константы, описывающие свойства среды, и динамическое уравнение движения заряженных частиц описывают все электромагнитные явления макромира.

4.5. Волновое уравнение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике

В природе наблюдается факт существования материального объекта – электромагнитного излучения ( электромагнитных волн). Экспериментальные исследования электромагнитных волн выявили ряд свойств этого излучения. Например, электромагнитные волны оказались поперечными волнами (вспомните явление поляризации света); в электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике , электрические и магнитные поля колеблются в фазе; электромагнитная волна обладает импульсом (опыты П.Н. Лебедева) и другие факты. Уравнения Максвелла как фундаментальные постулаты электродинамики согласуются с наблюдаемыми экспериментальными фактами. Отметим также, что разработка электро- и радиотехнические устройства также опирается на следствия из уравнений Максвелла. Соответствие экспериментальных результатов и выводов из уравнений Максвелла является подтверждением того, что эти уравнения адекватно описывают электромагнитные явления в макромире.

Предварительно, перед началом изучения следующих параграфов, рекомендуем вспомнить волновое уравнение в струне как предельно наглядного примера волнового уравнения. В приложении 1 рассмотрены: 1) волновое уравнение бегущей волны в струне; 2) стоячей волны в струне. Рекомендуем обратить внимание на математическую и содер-

жательную структуру волнового уравнения и его решения − уравнения волны.

4.5.1. Из уравнений Максвелла вытекает существование электромагнитного излучения (электромагнитной волны)

Утверждение, стоящее в заголовке параграфа, можно качественно интерпретировать уравнениями Максвелла в интегральной форме. Например, если в некоторой точке пространства создать переменное электриче-

процесс будет повторяться в пространстве и во времени, т.е. возникнет электромагнитное излучение.

Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме волновое уравнение электромагнитного излучения вытекает непосредственно. Покажем это. В качестве среды вначале возьмем идеальный диэлектрик,

т.е. непроводящую (плотность тока j = 0) и нейтральную среду (плотность

свободных зарядов ρ = 0). В этом случае имеем следующую систему уравнений (см. сводную таблицу § 4.4):

3)дивергенция вектора E: E = 0,

4)дивергенция вектора H: H = 0.

Возьмем ротор от первого уравнения системы уравнений (4.26):

ция дифференцирования по координатам. В правой части уравнения вначале осуществляется дифференцирование по времени, затем по координатам. Изменим порядок дифференцирования, имеем:

В левой части уравнения (4.28) стоит двойное векторное произведение. Напомним правило двойного векторного произведения на примере векторов a, b, c:

[а, [b, c]] = b(a c) − c(a b).

Вначале выполняются скалярные произведения стоящих в скобах векторов

(a c и a b), и затем векторы b и c умножаются на соответствующие результаты скалярного произведения.

называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа для краткости часто

Взяв теперь ротор от второго уравнения исходной системы уравнений (4.26), и произведя аналогичные преобразования, получим уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

Уравнения (4.30) и (4.31) − волновые уравнения, описывающие распространение электромагнитной волны в диэлектрике. Волновые уравнения получены с использованием системы уравнений Максвелла (4.26). Следова-

тельно, характеристики электромагнитной волны – векторы E и H − взаи-

мосвязаны между собой и взаимообусловливают друг друга.

Электромагнитное поле находится в состоянии движения и распространяется в виде электромагнитной волны с фазовой скоростью c.

нения электромагнитной волны в вакууме (скорость света в вакууме) – фазовая скорость волны. В среде фазовая скорость волны меньше скоро-

где ε − электрическая проницаемость среды, μ − магнитная проницаемость среды.

Представим уравнения (40) и (41) относительно декартовой системы координат в развернутом виде:

где E = Exi + Eyj + Ezk; H = Hxi + Hyj + Hzk.

Если волновая поверхность электромагнитной волны имеют произвольную форму, то, в общем случае, производные компонентов векторов по координатам в (4.32) и (4.33) могут принимать ненулевые значения.

Для анализа свойств электромагнитной волны рассмотрим случай, когда волновая поверхность (в том числе и волновой фронт), представляет собой плоскую поверхность. Такая волна называется плоской электромагнитной волной.

4.5.2. Волновое уравнение плоской электромагнитной волны в идеальном диэлектрике в отсутствии потерь.

Решение волнового уравнения, свойства волны

Волновое уравнение плоской электромагнитной волны.

Так как рассматриваемая электромагнитная волна является плоской волной, то, не теряя общности рассуждений, разумно совместить направление распространения волны с какой-либо осью декартовой системы, например, с осью 0Z. В этом случае плоская волновая поверхность будет параллельна координатной плоскости X0Y, а компоненты векторов E и H будут зависеть только от координаты z. Производные компонентов векторов E и H по координатам x и y примут ну-

вая скорость распространения электромагнитной волны.

Выпишем уравнения Максвелла относительно декартовой системы координат для непроводящей и нейтральной среды (в этих уравнениях i, j,

k − орты в направлении осей x, y, z соответственно):

3)εε0 ∂∂Еxx + ∂∂Еyy + ∂∂Еzz = 0;

Два вектора равны, если равны их компоненты, поэтому, с учетом равенства нулю производных по координатам x и y, получим следующую систему уравнений:

из первого уравнения вытекают соотношения

Из последнего уравнения (4.34) и уравнения (4.37) следует, что компонента напряженности магнитного поля не зависит ни от координаты z, ни от времени t, т.е. Hz = const. Аналогично, из последнего уравнения (4.35) и уравнения (4.36) следует, что компонента напряженности электрического поля Ez = const, т.к. Ez также не зависит ни от координаты z, ни от времени t. Ситуация, когда H z = const и Ez = const означает, что на электромагнитную волну накладывается стороннее постоянное однород-

ное магнитное и электрическое поле, а само электромагнитная волна не содержит компонентов Hz и Ez. Можно сказать по-другому: если компоненты электромагнитной волны Hz и Ez не изменяются ни во времени, ни в пространстве, то эти компоненты не существуют.

Условия, когда компоненты электромагнитной волны Hz = 0, Ez = 0 означают, что векторы H и E перпендикулярны оси 0Z и расположены в волновой поверхности, т.е. электромагнитная волна является попереч-

ной волной. Весьма убедительным экспериментальным подтверждением поперечности электромагнитных волн являются, например, опыты по по-

ляризации электромагнитных волн в видимом диапазоне частот − опыты по поляризации света.

Из двух первых уравнения (4.34) и двух первых уравнения (4.35) образуются две группы независимых уравнений.

Первая группа − уравнения

связывают между собой компоненты Ey и Hx.

Из первого уравнения (4.38) следует, что если создать переменное во времени магнитное поле Hx, направленное вдоль оси 0X, то поле Hx порождает переменное электрическое поле Ey, направленное вдоль оси 0Y. В свою очередь, из второго уравнения (4.38) следует, что переменное электрическое поле Ey, направленное вдоль оси 0Y, порождает переменное магнитное поле Hx, направленное вдоль оси 0X. Этот процесс периодически повторяется. Обратите внимание, в этом случае поля Ex и Hy не возникают. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль осей 0Y и 0X.

связывают между собой компоненты Ex и Hy.

Из первого уравнения (4.39) следует, что переменное магнитное поле Hy порождает переменное электрическое поле Ex. В свою очередь, из второго уравнения (4.39) следует, что переменное электрическое поле Ex порождает переменное магнитное поле Hy. Этот процесс периодически повторяется. Поля Ey и Hx в этом случае не возникают. Векторы E и H взаимно перпендикулярны и направлены, соответственно, вдоль взаимно осей 0X и 0Y.

Итак, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из независимых групп уравнений – или группу уравнений (4.38), или группу (4.39). При этом компоненты другой группы будут равны нулю.

Возьмем, например, группу уравнений (4.39). При этом выборе Ey = 0 и Hx = 0. Продифференцируем первое уравнение (4.39) по z, и, поменяв последовательность дифференцирования в правой части, получим:

Подставим в это уравнение второе уравнение из (4.39), получим:

скорость волны в среде. Уравнение (4.40) – волновое уравнение для Ex. Аналогично, продифференцировав второе уравнение (4.39) по z,

и подставив в полученный результат первое уравнение, получим волновое

Разумеется, полученные волновые уравнения (4.40) и (4.41) являются частным случаем уравнений (4.32) и (4.33), однако случай плоской волны позволяет существенно упростить анализ свойств электромагнитной волны.

Решение волнового уравнения. Свойства электромагнитной волны.

Часть свойств электромагнитной волны выяснены выше: электромагнитная волна является поперечной волной; векторы E и H волны взаимно перпендикулярны. Для обсуждения других свойств волны рассмотрим решение волновых уравнений (4.40) и (4.41).

70

70 4 Электродинамика

Напомним, решением дифференциальных уравнений вида (4.40) и (4.41) является любая непрерывная и дифференцируемая функция вида

F(vt – z),

когда волна распространяется в положительном направлении 0Z, или функция F(vt + z),

когда распространяется в отрицательном направлении 0Z.

Допустим, в источнике электромагнитных волн вектор напряженности электрического поля E совершает гармонические колебания в направлении 0Y и в пространство излучается плоская электромагнитная волна в направлении 0Z. В этом случае в качестве решения (4.40) и (4.41) естественно выбрать функцию косинуса (или синуса).

Однако аргумент функции F(vt – z) измеряется в метрах, а аргумент косинуса в радианах, поэтому необходимо умножить (vt – z) на постоян-

ную величину, измеряемую в единице радм , чтобы аргументом косинуса

стал угол. Введем постоянную величину k = 2λπ рад/м, где λ – некоторая длина. Умножим константу k на (vt – z), тогда аргументом функции косинуса становится величина 2λπ (vt – z), измеряемая в радианах. Итак, в качестве решения (4.40) выберем функцию

Проведем анализ уравнения волны (4.42), для чего раскроем скобки в аргументе (4.42): E0 cos [2λπ (vt – z) + ϕ] = E0 cos (2λπ vt – 2λπ z + ϕ).

Длина волны, волновое число, период колебаний.

В фиксированный момент времени t на расстоянии между двумя точками пространства, равном λ, фаза волны изменяется на полный угол

2π радиан ( 2λπ z = 2λπ λ = 2π). Из этого следует, что величина λ − это мини-

мальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых Ex колеблются в фазе. Величина λ называется длиной волны, а константа

k = 2λπ − волновым числом. Волновое число k в фиксированный момент

времени показывает изменение фаза волны в пространстве на единице длины, поэтому волновое число еще называют фазовым множителем.

За промежуток времени, в течение которого волна проходит рас-

стояние равное длине волны λ, электрическое поле E в фиксированной точке пространства совершает одно полное колебание. Этот промежуток