Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

введение в тфп

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

4 Электродинамика	131
	131

из которых зависит только от одного аргумента (здесь, от одной из координат). Запишем

	= X(x) Z(z).	(4.162)
H y

Подставим (4.162) в исходное уравнение (4.160), и, обозначив производные от одной координаты штрихами, получим:

X//(x) Z(z) + X(x) Z//(z) +k2 X(x) Z(z) = 0,

где введены обозначения: X//(x) ≡ dd2xX2 ; Z//(z) ≡ dd2zZ2 .

Разделим полученное уравнение на X(x) Z(z), получим:

X // (x)	+	Z //(z)	+ k	2	= 0.	(4.163)
X (x)		Z (z)

Уравнение (4.163) должно быть верным в любой точке поперечного сечения волновода (при любом значении координаты x в плоскости поперечного сечения с координатой z).

В частности, если, например, выбрать некоторое поперечное сечение волновода с координатой z = const, то в этом сечении слагаемое ZZ//((zz)) = 0.

Следовательно, в этом сечении XX//((xx)) = const, т.к. k2 = const и не зависит от

x и z. Аналогично при фиксированном x = const получим, что ZZ//((zz)) = const.

Итак, уравнение (4.163) удовлетворяется в любых поперечных сечениях волновода в том случае, если все слагаемые в этом уравнении являются постоянными величинами. Таким образом, уравнение (4.163) равносильно двум уравнениям:

	X // (x)	= − ξ 2 ;	Z //(z)	= γ 2 .	(4.164)
	X (x)
			Z (z)
Из уравнений (4.163) и (4.164) следует, что
	γ 2 = ξ 2 − k2,				(4.165)

где ξ будем называть поперечным коэффициентом волны по оси x. Урав-

нения (4.164) приведем к стандартному виду, раскрыв явный вид обозначений X//(x) и Z//(z):

	d2 X	+ξ 2 X = 0,	(4.166)
	d x2

d2 Z		− γ 2 Z = 0.	(4.166*)
d z2

132	132
	4 Электродинамика

Решение этих уравнений хорошо известно. Уравнение (4.166) по виду похоже на уравнение незатухающих колебаний (здесь у нас волна!). Общее решение (4.166) запишем в виде

X(x) = A1 sin ξx + B1 cos ξx.

Уравнения вида (4.166*) называются уравнениями Гельмгольца. С этим уравнением мы уже встречались, например, в § 4.9.5 (уравнения 4.117 и 4.118). Общее решение (4.166*) запишем в виде

Z(z) = C e−γz + D eγz .

Таким образом, поперечное магнитное поле выразится уравнением:

	= X(x) Z(z) = (A1 sin ξx + B1 cos ξx) (C e−γz + D eγz ).	(4.167)
H y

Полученное уравнение (4.167) совместно с уравнениями (4.159) позволяют определить все компоненты электромагнитного поля в волноводе,

ибо производные		по x и z определяют компоненты		и
	H y		E x		E z . Неизвест-

ные коэффициенты ξ и γ в (4.167) определим, исходя из граничных условий.

Производная H y по координате x


	∂ H y	=ξ (A1 cos ξx − B1 sin ξx) (C e−γz + D eγz ).	(4.168)
	∂x	=ξ (A1 cos ξx − B1 sin ξx) (C e−γz + D eγz ).	(4.168)
	∂x
Из граничных условий (4.161*) при x = 0 и x = a имеем:
		ξ (A1 cos ξx − B1 sin ξx) = 0.	(4.169)

Уравнение (4.169) выполняется при двух условиях: 1) или поперечный коэффициент ξ = 0; 2) или же ( A1 cos ξx − B1 sin ξx) = 0. Рассмотрим отдельно оба случая.

1.Если положить, что поперечный коэффициент ξ = 0, то в этом случае

из (4.168) следует, что при любых значениях x в волноводе ∂∂Hx y = 0, поэтому, при ξ = 0 компонента

E z = 0

во всех точках волновода [см. (4.159)], а не только на поверхности проводящих плоскостей. Итак, при ξ = 0 составляющая электрического поля в направлении распространения волны (в направлении оси z) отсутствует,

т.е. в волноводе распространяется			плоская волна с компонентами
				E x
	= ξ		− k2 получаем, что в этом случае по-
и H y . Из соотношения (4.165) γ 2		2

стоянная распространения γ = ik, т.е. при ξ = 0 постоянная γ в волноводе

4 Электродинамика	133
	133

соответствует постоянной распространения волны в свободном простран-

стве (k = 2λπ ).

Подставим ξ = 0 и γ = ik в (4.159) и (4.167), получим систему уравнений, описывающих волну при данных коэффициентах:

= 0;

(4.170)

E z

∂ H y

E x = −

(B Ce−ikz − B Deikz ) =

(Ae−ikz − B eikz );

(4.171)

iωεε0

∂z

ωεε0

=(A1 sinξx +B1 cosξx) (C e−γz

(4.172)

H y

+D eγz ) =B Ce−ikz +B Deikz = Ae−ikz

+B eikz .

Волновое сопротивление диэлектрической среды волновода

Z0 =

εε0μμ0 =

μμ0 .

(4.173)

vεε0

εε0

ωεε0

εε0

Еще раз подчеркнем, условие ξ = 0 приводит к системе уравнений (4.170), (4.171) и (4.172), которые описывают в волноводе плоскую электромагнитную волну. Такую волну в технической электродинамике обычно обозначаю как ТЭМ-волна ( поперечная электромагнитная волна).


Итак, при ξ = 0 в волноводе наблюдается сумма двух волн – ( Ae−ikz )
		и		комплекс-
и (B eikz ) – бегущих навстречу друг к другу по оси z, где	A	и	B	комплекс-

ные амплитуды встречных волн. Разумеется, существование встречных волн может быть обусловлено только ограниченностью пространства вол-

новода в направлении оси z, т.е. наличием преграды в направлениях z →

+ ∞ и z → − ∞. Преграды приводят к возникновению отраженной (встречной) волны, и, соответственно, интерференции встречных волн. Данное обстоятельство автоматически учитывается решениями (4.171)

и (4.172).

Реальные волноводы ограничены в размерах по длине волновода, что обусловливает существование в волноводе встречных волн. При резонансных частотах (резонансных длинах волн) в волноводе будет существовать

стоячая волна. Напомним, резонансные длины волн λ, при которых возни-

кает стоячая волна, определяются соотношением l = n λ	, где l − длина
2
волновода в направлении z, n = 1, 2, 3, …

Допустим, в направлении z → + ∞ преграда отсутствует (волновод

открыт), тогда встречная волна не возбуждается ( B = 0 ) , и уравнения

(4.170), (4.171) и (4.172) примут вид


							A0
E z = 0;	E x = Z0	Ae−ikz =	A e−ikz	;	H y	= Ae−ikz =		e−ikz .	(4.174)

			0				Z0

134	134
	4 Электродинамика

Система уравнений (4.174) описывают плоскую бегущую электромагнитную волну, аналогичную плоской волне в свободном пространстве.

Волновод как направляющая система характеризуется величиной Zc,

называемой характеристическим сопротивлением волновода. Zc определя-

ется отношением поперечной проекции вектора E к соответствующей поперечной проекции вектора H. Из (4.174) следует, что в E-волне при ξ = 0 характеристическое сопротивление


Zc =	E x	= Z0 =	μμ0	.	(4.175)
			εε0
	H y		εε0
	H y

Характеристическое сопротивление волновода при ξ = 0 совпадает с волновым сопротивлением диэлектрической среды Zc = Z0. Это аналогично ситуации, когда плоская волна распространяется в свободном пространстве (в волноводе при ξ = 0 реализована плоская волна).

2. Если положить, что (A1 cos ξx − B1 sin ξx ) = 0 при x = 0 и x = a , то при этих граничных значения x данное уравнение будет выполняться, если

A1 = 0;

sin ξa = 0.

Откуда поперечный коэффициент (поперечное волновое число)

ξ =	mπ	, m = 0, 1, 2, …	(4.176)
	a

Подставим (4.176) в соотношение (4.165), тогда в рассматриваемом случае постоянная распространения определится соотношением

γ m	= mπ	2	− k 2 .	(4.177)
	a

Подставим условие A1 = 0 в (4.167), получим уравнение компоненты

магнитного поля H y

H y = (A sin ξx + B cos ξx) (C e−γz + D eγz ) = (B C e−γ mz + B D eγ mz )cos mπ x =
				a
1	1	1	1	a
	= ( Am e−γ mz +Bm eγ mz )cos mπ		x .

		a

Далее будем рассматривать уравнения компонент электромагнитного поля

в волноводе в отсутствии отражения волны ( B = 0). В этом случае уравне-

ние Е-волны для компонентыH y

Уравнения для компонент

ние для компоненты E x

H y

E x и

	mπ			γ	m	z	.	(4.178)
=cos		x	Am e−		m		.	(4.178)
	a
	получим из уравнений (4.159). Уравне-
E z	получим из уравнений (4.159). Уравне-

135

4Электродинамика 135

mπ

∂ H y

E x = −

∂z

cos

Am e−

iωεε0

Уравнение для компоненты E z

mπ

∂ H y

E z =

−

sin

Am e−

iωεε0

∂x

iωεε0

(4.179)

(4.180)

Системе уравнений (4.178), (4.179), (4.180) описывает волну Е-типа (ТМтипа), т.е. поперечно-магнитную волну.

В системе уравнений (4.178), (4.179), (4.180) m = 0, 1, 2, … . В част-

ном случае m = 0 эта система уравнений переходит в систему уравнений (4.170), (4.171), (4.172), ибо в этом случае ξ = 0. Таким образом, рассматриваемая ситуация, когда (A1 cos ξx − B1 sin ξx ) = 0, включает в себя и рассмот-

ренную ранее первую ситуацию. Говорят, волна ТЭМ-типа (E z = 0) является вырожденным случаем волны поперечно-магнитного типа.

Уравнение (4.180) показывает, что в поперечном направлении по оси x в интервале от x = 0 до x = a электрическое поле имеет форму стоячей

волны. Число полуволн, укладываемых в интервале 0 ≤ x ≤ a, определяется натуральным рядом чисел m = 1, 2, 3, … На проводящих поверхностях, т.е. при x = 0 и x = a касательная составляющая электрического вектора, разу-


меется, всегда равна нулю: E z = 0. Это формально следует и из (4.180), т.к.
			mπ
при x = 0 и x = a функция			sin a x = 0 при любом m. Далее, допустим,
				mπ
число	m = 1. При x = a/2		имеем:	sin a x = 1. При m = 2	функция
mπ
sin a	x	= 1 (по модулю) в точках		с координатами x = a/4,	x = 3 a/4
mπ		x = 0 в точке с координатой
и sin	a	x = 0 в точке с координатой		x = a/2. Рассмотренные оценки при-

ведены на рис. 59 (на рисунке начальные фазы при разных m приняты одинаковыми, максимальные амплитуды Ez (x) как функции x взяты произвольно).

m =3	П

m =2	m =1	v
m =2			z, Ez
			z, Ez
	0

Рис. 59

136	4	Электродинамика		136


3.	Критическая частота и критическая длина волны волновода.
	Постоянная распространения (4.177) при k >			mπ	будет чисто мни-

мой величиной:			γ m = i km/ ,	a

где	km/ =	k 2 − mπ	2 − вещественное число. В этом случае система урав-
		a

нений (4.178), (4.179), (4.180) описывают поперечно-магнитную волну, распространяющуюся вдоль z. Действительно, например, уравнение для мгновенной комплексной магнитной составляющей примет вид:

Hy(к)(z,t) =

iωt

mπ

−γ

iωt

mπ

i (ωt −k /

H y e

=cos

Am e

= cos

Из этого уравнения видно, что вещественный коэффициент km/ имеет смысл волнового числа, характеризующей распространение волны в волноводе.

Назовем km/

продольным волновым числом.

Аналогичные уравнения с членом ei (ωt −km/ z)

запишутся для Ex(к)(z,t),

Ez(к)(z,t).

Эти уравнения являются уравнениями

синусоидальной

волны

в комплексной форме, распространяющейся с фазовой скоростью

v =

km/

вдоль оси z.

При k

mπ

постоянная распространения γ m =

mπ

− k

mπ

εε 0μμ0

является вещественной величиной. Множитель

−γ

− ω

уравнении для мгновенной комплексной магнитной составляющей

Hy(к)(z,t) = cos	mπ	x
	a		Am e−γ m z eiωt

определяет экспоненциальное убывание амплитуды около источника (генератора) электромагнитной волны, т.е. в этом случае затухание волны произойдет практически около генератора электромагнитной волны. При-

ведем оценку. При низких частотах γ	m	=	mπ 2		− ω2εε μμ	0	≈ mπ	. Посто-
	m			a	0	0	a
				a			a

янная распространения γ m здесь имеет смысл обратной величины расстоя-

ния l0 , на которой амплитуда уменьшается в e ≈ 2,7 раз, т.е. γ m = 1 . Следо- l0

вательно, при низких частотах l0 ≈ maπ . Например, при m = 1 и a = 1,6 см практическое расстояние, на которое проникает электромагнитная волна

4 Электродинамика	137
	137

от генератора в волновод, имеет значение l0 ≈ 0,5 см. При других m глубина проникновения будет еще меньше.

При любых значениях m и a можно подобрать частоты ωкр. = 2π fкр., когдаγ m = 0, что выполняется при условии

k = ξ или

εε0μμ0

mπ

кр

Отсюда

fкр =

m =

(4.181)

2 εε μμ

где v

- фазовая скорость волны. Критическая частота fкр является

εε μμ

собственной характеристикой волновода, определяемая геометрией волновода и свойствами среды, заполняющий волновод.

Например, для волновода при m = 1 и a = 1,6 см, в котором диэлек-

триком является воздух (ε ≈1, μ ≈ 1), fкр =3 108	1	≈ 9,4 (ГГц); при m =
	1,6 10−2
2

2 критическая частота fкр = 18,8 ГГц и т.д.

Критическая длина электромагнитной волны, соответствующая критической частоте fкр. волновода, определяется отношением скорости

электромагнитной волны в вакууме c =

к частоте fкр:

ε0μ0

λкр. =

2ac =

εε0

μμ0

εμ .

(4.182)

fкр.

ε0μ0

Например, в вакууме ε =1, μ =1 и λкр. = 2ma . Таким образом, в волноводе

распространяется бегущая волна с длиной волны λ, если λ < λкр, т.е λ < 2a.

В приведенном примере λ < 3,2 см.

Если частота волны выше критической частоты (f > fкр), то в этом случае в волноводе распространяется электромагнитная волна. Постоянная

распространения волны γ m с учетом (4.181) и соотношения k =

2πf

примет вид:

mπ

mπv 2

fкр. 2

γ m = i km = i

−

= ik

−

= ik

−

= ik

1−

. (4.183)

a2πf

Подставим в это соотношение формулу (4.182), тогда, с учетом соотношения c = v εμ , получим

γ m = ik = ik	1		mv	2	1−	λ	2	(4.184)
γ m = ik = ik	1	−		= ik	1−		.	(4.184)

		a2 f				λ кр

138	138
	4 Электродинамика

Из уравнений (4.179) и (4.180) следует, характеристическое сопротивление волновода определится соотношением:

ω εε

μμ

E x

кр.

Zc =

−

= Z0

1−

iωεε0

iωεε0 ωεε0

ωεε0

H y

Отсюда видно, что характеристическое сопротивление волновода в случае поперечно-магнитных волн (ТМm-волн) меньше волнового сопротивления среды, заполняющего волновод Z0.

4. Поперечно-электрическая волна (волна H- или ТE-типа).

Поперечно-электрическую волну описывает система уравнений (4.157). Решение этих уравнений аналогично решению E-волны. Из первого и второго уравнений системы (4.157) получим

	1			1
		∂ E z ,			∂ E y	(4.185)
H x =			H z = −
	iωμμ0			iωμμ0	∂x
		∂z

Подставив (4.184) в третье уравнение системы, получим уравнение дляE y

∂2			∂2
∂2	E y	+	∂2	E y	+ k	2		(4.186)
∂x2		+	∂z2		+ k		E y = 0.	(4.186)
∂x2			∂z2

Рассматриваем распространение волны в положительном направлении оси z. Применив метод разделения переменных и граничные условия

E y = 0 при x = 0 и x = a,

получаем уравнения для проекций

E y

, H x ,

H z :

mπ

−γ m z

E y

=sin

Am e

mπ

−γ m z

H x =

−

sin

Am e

iωμμ0

1 mπ

mπ

−γ m z

H z = −

cos

Am e

iωμμ0

(4.187)

(4.188)

(4.189)

Формулы для критической частоты и критической длины волны H-волны аналогичны формулам в случае E-волны [формулы (4.181), (4.182)].

Из уравнений (4.187) и (4.188) следует, характеристическое сопротивление

			1
волновода при H-волне определится соотношением: Zc =	E y	= Z0	1			.
волновода при H-волне определится соотношением: Zc =		= Z0				.
	H x	1		fкр.	2
			−
			−
				f
				f
При ТЕ-волне характеристическое сопротивление волновода больше Z0.

4 Электродинамика	139
	139

5.Волновые числа и соответствующие длины волн, описывающие волновые процессы в волноводе.

Итак, при расчете волновых процессов в волноводе следует разли-

чать длину волны λ0 в свободном пространстве, длину волны в волноводе λ

и критическую длину волны λкр. Соответствующие волновые числа определяются формулами:

- волновое число в свободном пространстве k =							2π		;	(4.189)
							λ
							0
- поперечное волновое число ξm =	mπ		=	2π	;					(4.190)
- поперечное волновое число ξm =	a		=		;					(4.190)
	a			λкр.
/	k	2	mπ			2	2π	.		(4.191)
- продольное волновое число k =	k		−			=	λ	.		(4.191)
				a			λ
Волновые числа связаны соотношением
(k / )2 = k2 − ξm2 .										(4.192)

4.11.3. Прямоугольный металлический волновод

На рис. 60 изображен прямоугольный металлический волновод. По ГОСТу размеры волновода обозначают (а×b), где a размер широкой стенки волновода, b − узкой стенки. Виды волн, которые реализуются в волно-

воде, определяется размерами (а×b), обусловленными числом поперечных стоячих волн (см. рис 59). Размеры волноводов, применяемых в различных диапазонах волн, берут в справочниках по волноводной технике. Как пра-

вило, внутри волновода находится воздух или вакуум (ε =1, μ = =1).

b	x	y	z
b	x		z
	a
	Рис. 60

В таких волноводах могут распространяться волны Е- и Н-типа. На практике наибольшее распространение получили волны Н-типа ( или ТЕ–типа) – поперечно-электрические волны и, в частности, основной тип волны – волна H10. Волна Н-типа для волновода прямоугольного сечения записывается в виде Hmn, где m, n – индексы, указывающие на количество полуволн вдоль оси x и y соответственно.

Как было уже отмечено, при расчете волнового процесса в волноводе необходимо различать длину волны λ0 в свободном пространстве,

140	140
	4 Электродинамика

соответствующей частоте генератора f, длину волны в волноводе λ

и критическую длину волны λкр. Напомним, критическая длина волны λкр как собственная характеристика волновода – это максимальная длина волны ( соответственно, минимальная частота) которая может распространяться в волноводе для данного типа колебаний. Связь между волновыми числами и соответствующими длинами волн выражаются формула-

ми (4.189), (4.190), (4.191), (4.192).

1. Составляющие векторов E и H бегущей электромагнитной волны в направлении распространения волны – в направлении оси z − обобщенно

выражаются уравнениями вида				A(к)
выражаются уравнениями вида				A(к)		= A0 (x,y) e−γz+iωt, где γ - постоянная рас-
пространения.
Дифференцирование любой проекции векторов E и H по координате z
умножению проекции на (−γ):
					−γz
		= ∂[E x0(x,			−γz			(4.193)
	∂ E x	= ∂[E x0(x,		y)e		]= − γEx0(x, y)e−γz = − γ E x .		(4.193)
	∂z		∂z

Аналогично								(4.193*)
Аналогично	∂ E y = − γ E y ;		∂ H x = − γ H x				∂ H y = − γ H y .	(4.193*)
	∂z			∂z			∂z

Подставив уравнения (4.193) и (4.193*) в соответствующие уравнения для компонент ротора E и H (см. § 4.5.2) в комплексной форме, получим (аналогичная операция проделана в § 4.11.2 п.1):

1)		+ γ H y =iωεε0	E x ; 2) − γ H x				E	у ;
1)	∂ H z	+ γ H y =iωεε0	E x ; 2) − γ H x		− ∂ H z = iωεε0		E	у ;

	∂y					∂x
3)			E z ,;4)
3)	∂ H у	− ∂ H х = iωεε0	E z ,;4)	∂ E z +γ E y =− iωμμ H x ;

	∂x	∂y		∂y		0
	∂x	∂y		∂y
5)					−
5)	− γ E x − ∂ E z = − iωμμ H y ; 6)∂ E у				−	∂ E х = − iωμμ H z .

		∂x	0	∂x		∂y		0
		∂x		∂x		∂y

Подставим в уравнения (1), (2) системы (4.194) значенияH x ,H y и далее поступая аналогично, получим уравнения для

E x , E y ,H x ,

H y :

∂ E z

∂ H z ),

∂ E z

∂ H z

Ex = −

(γ

+iωμμ0

E y =

(−γ

+iωμμ0

ξ 2

∂x

ξ 2

∂y

∂x

∂y

(4.194)

из (4) и (5),

проекций

∂ E z

∂ H z ),

∂ E z

∂ H z ),

H x =

(iωεε0

−γ

H y = −

(iωεε0

+γ

(4.195)

ξ 2

∂y

ξ 2

∂x

∂y

где ξ2 = γ2 + k2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.201927.79 Кб4Вариант 4-9.docx
#
17.02.2016108.54 Кб27Варианты на контрольную.doc
#
17.02.2016155.14 Кб20ВВЕДЕНИЕ В ПРОФЕССИОНАЛЬНУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ.doc
#
17.02.2016441.34 Кб15Введение в профессиональную деятельность121105.doc
#
18.11.201877.82 Кб5ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 111106.doc
#
17.02.20162.73 Mб27введение в тфп.pdf
#
17.02.2016275.46 Кб19Введение в управление персоналом.doc
#
13.09.2019770.56 Кб47Введение и исследовательская часть.doc
#
21.08.201954.27 Кб9Введение по курсуДМ иОК.doc
#
17.02.201642.19 Кб9ВВЕДЕНИЕ2.docx
#
17.02.20161.16 Mб31вводное-эл.doc