введение в тфп

где E(x, y, z) и H(x, y, z) – мгновенные значения соответственно напряженности электрического и магнитного полей в фиксированный момент времени t. Подчеркнем, формула (4.86) описывает плотность энергии электромагнитного поля в изотропной среде в отсутствии ферромагнетиков и сегнетоэлектриков.

Попутно заметим, в вакууме wэ = wм. Действительно, соотношение (4.46) E0 εε0 = H0 μμ0 (§ 4.5.2) для амплитудных значений E0 и H0 в идеальном

диэлектрике верно и для других мгновенных значений E и H. Например, мгновенные значения E(x, y, z) и H(x, y, z) в вакууме связаны соотношени-

ем E ε0 = H μ0 (вакууме ε = 1 и μ = 1). Из этого имеем:

Для сравнения вспомним, в проводящей среде wм ≈ 3 107 (оценка приведе- wэ

на в конце параграфа 4.8.2), что обусловлено незначительным волновым сопротивлением Z0 проводящей среды. Вследствие поглощения энергии в проводящей среде имеется также сдвиг между фазами колебаний E и H

(угол сдвига определяется выражением ϕ = arctg α ).

k

Энергия электромагнитного поля в выделенном объеме V определяется интегралом по этому объему:

Электромагнитная волна находится в движении, описываемая волновыми уравнениями (4.40) и (4.41). Решением уравнений является монохромати-

ческая волна с частотой ω, распространяющаяся в вакууме со скоростью

Разумеется, реальная электромагнитная волна не является монохроматической, т.к. она ограничена как по протяженности пространстве, так и по длительности во времени. Реальную волну можно рассматривать как совокупность монохроматических волн, частоты которых находятся в некотором диапазоне частот ω . Совокупность волн, образующих реальную электромагнитную волну, называется группой волн или волновым пакетом. В вакууме дисперсия (зависимость фазовой скорости волны от частоты) отсутствует, и все монохроматические составляющие реальной волны рас-

пространяются с одной и той же скоростью c ≈ 3 108 м/с. Профиль волнового пакета при распространении волны в вакууме не изменяется. Мгновенное значение напряженности электрического поля E и напряженности

магнитного поля H волнового пакета в данной точке пространства определяется векторной суммой векторов Ei и Hi всех монохроматических составляющих волнового пакета.

Плотность потока энергии; вектор Пойнтинга. Выражение для плотности энергии волнового пакета в вакууме можно, с учетом соотно-

шения E ε0 = H μ0 , представить в виде:

Произведение плотности энергии электромагнитного поля w на скорость распространения этого поля c есть модуль плотности потока электромагнитной энергии:

П = wс = EH.

Такое же выражение для модуля плотности потока энергии получается

Из самого понятия плотности потока энергии следует, что это векторная величина: П = wv. В электромагнитном поле вектор П образует с векторами E и H правовинтовую систему, и равен векторному произведению E и H:

Вектор П называется вектором Пойнтинга и направлен в сторону распространения электромагнитной энергии.

Определим смысл модуля вектора Пойтинга. Допустим, за время t волна прошла перпендикулярно поверхности S расстояние l. При этом передний фронт волны «заметает» объем V = Sl. Имеем:

П = wv = WV lt = SWt .

Итак, модуль вектора Пойнтинга равен энергии, переносимой электромаг-

нитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Единицу модуля вектора Пойнтинга можно получить из понятия плотности потока энергии П = wv: 1 Джм3 1 мс = Втм2 . Из определения вектора

Пойнтинга П = [E, H] получим, разумеется, тот же результат: 1 Вм 1 мА = Втм2 .

Поток электромагнитной энергии Ф, проходящий через произвольную поверхность S за единицу времени, определится интегралом вектора П по этой поверхности:

Рассмотрим замкнутую поверхность S, охватывающий объем V. Допустим, в этом объеме содержатся электромагнитное поле. Энергия электромагнитного поля W в объеме V с течением времени будет изменяться. Из самых общих соображений можно выделить две причины этого изменения:

1)если в выделенном объеме содержатся объекты, проводящие электрический токи, то электромагнитное поле будет возбуждать ток в проводящих объектах, что приводит к выделению джоулева тепла Q. Вследствие этой причины энергия электромагнитного поля поглощается в самом объеме V (тем самым убывает) и переходит во внутреннюю энергию проводящих объектов;

2)через замкнутую поверхность S, охватывающий объем V, может су-

ществовать поток электромагнитной энергии Ф = [E,H]dS. Эта

(S )

причина приводит или к убыли электромагнитного поля (при потоке из объема V), или к возрастанию энергии электромагнитного поля в выделенном объеме V (при потоке в объем V).

Таким образом, энергетический баланс в объеме V можно выразить

где левая часть ( − ddWt ) – это скорость убыли электромагнитной энергии

в объеме (скорость изменения энергии, взятая с обратным знаком). Уравнение (4.92) выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Закон сохранения (4.92) носит название теоремы Умова-Пойнтинга. Покажем, что (4.92) следует из уравнений Максвелла, тем самым уясним, что уравнения Максвелла опосредованно согласуются с законом сохранения энергии.

4.9.2. Теорема Умова-Пойнтинга

Энергия электромагнитного поля в объеме V складывается из энергии электрического и магнитного полей (§ 4.9.1):

W =(V ) εε02E2 + μμ02H 2 dV .

Изменение энергии электромагнитного поля выразится через изменение напряженности электрического поля ∂∂Et и изменение магнитного поля ∂∂Ht .

Запишем соответствующие динамические уравнения Максвелла (см. сводную таблицу в § 4.4) в удобном для нашей задачи виде:

Так как энергия электромагнитного поля определяется квадратом напряженностей E2 и H2, умножим первое уравнение скалярно на E, второе – на H. Сложим полученные результаты, получим:

иE[ , H] − H[ , E] = − [E, H] (или E rot H − H rot E = − div [E, H]).

Соотношение E [ , H] − H[ , E] = − [E, H] получено с учетом правила смешанного произведения и операции ротора векторных функций [ , H] и [ , E] (проверьте).

Напомним правило смешанного ( скалярно-векторного) произведение трех векторов а[b, c]. Смешанное произведение допускает циклическую ( стековую) перестановку векторов: а[b, c] =c [а, b] = b [c, а]. В результате смешанного произведения получаем скалярную величину.

Так как i[j, j] = 0, i[k, k] = 0, i[i, k]= 0, i[k, i] = 0 и т.д., то получим:

а[b, c] = axbycz − axbzcy + aybzcx − aybxcz + azbxcy − azbycx .

Геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и c. Действительно, скалярное произведение вектора а

на вектор [b, c] выражается соотношением а[b, c] = a [b, c] cosα , где модуль векторного произведение [b, c] численно равен площади параллелограмма со сторонами b и c, а высотапараллелепипеда определяется отношением h = a cosα (рис. 40).

[bc]

a

α h с

b

Рис. 40. Геометрический смысл смешанного произведения а[b, c]

Итак, уравнение (4.93) принимает вид:

Проинтегрируем полученное выражение по всему выделенному объему V, получим:

Выражение в левой части (4.94) – это скорость изменения энергии электромагнитной волны, взятая с обратным знаком, т.е. (− ddWt ).

Преобразуем первый объемный интеграл в правой части (4.94) в поверхностный интеграл по теореме Гаусса-Остроградского (1.9):

[E,H]dV = [E,H]dS,

(V ) (S )

где: S – поверхность, охватывающая объем V; П = [E, H] – плотность потока электромагнитной энергии через единичную поверхность – вектор Пойн-

тинга. Интеграл [E,H]dS ≡ ПdS – есть поток электромагнитной энергии

(S ) (S )

через поверхность S.

Интеграл Q = jEdV − теплота, выделенная в объеме V в проводящих

(V )

объектах, содержащихся в этом объеме. Теплота Q всегда положительная по знаку. Итак, приходим к уравнению закона сохранения энергии в электромагнитном поле (4.92):

Приведем две оценки потока энергии через замкнутую поверхность.

1.Пусть ddWt > 0, т.е. энергия электромагнитной волны в выделенном объеме

тинга отрицательный, т.е. в этом случае энергия втекает в объем V. Энергия втекающего электромагнитного поля частично компенсирует потери на нагревание проводников в объеме V, а остальная часть энергии идет на увеличение энергии электромагнитного поля в этом объеме.

2.ddWt < 0 – энергия электромагнитной волны в выделенном объеме V умень-

шается. Так как исходная энергия поля всегда больше поглощаемой энергии проводниками ( тепло выделяется за счет энергии поля), то ПdS=

(S )

− (ddWt + Q) > 0. таким образом, в этом случае из объема V происходит излучение электромагнитной волны во внешнюю среду.

4.9.3. Поток энергии электромагнитного поля вдоль подводящих проводов, поглощение энергии в проводах (постоянный ток)

Вначале в первых двух пунктах параграфа рассмотрим подробнее физику осуществления постоянного тока в проводнике.

1. Электрическое поле в объеме однородного проводника при существовании электрического тока в проводнике.

В объеме уединенного заряженного проводника электрическое поле отсутствует. Данный факт, как было отмечено ранее, является следствием закона Кулона – закона обратного квадрата.

Ясно, что постоянный электрический ток в проводнике может быть обусловлен существованием электрического поля E внутри проводника.

ляющая в объеме проводника отсутствует En, провод. постоянный ток j.

Источником поля Eτ, провод. внутри проводника не могут быть заряды на клеммах источника тока. Например, в случае длинных проводов на

больших расстояниях от клемм источника тока кулоновская сила становится ничтожно малой, однако ток существует. Таким образом, заряды на

клеммах не могут быть непосредственными источниками поля Eτ, провод. внутри проводника.

Так как единственным источником поля Eτ внутри проводника, по которому течет постоянный ток, могут быть заряды, то возникает вопрос: где эти заряды находятся? Эксперимент показывает, что после включения источника тока на поверхности проводника всей цепи возникают поверх-

ностные неподвижные заряды, которые и порождают поле Eτ в объеме проводника. В качестве экспериментальной установки можно вспомнить, например, известную установку (рис. 42-а): поместим в ванну слой диэлектрического порошка и на порошок уложим участки проводов а и б, расположенные достаточно близко друг к другу. При включении цепи (ключ К) крупинки диэлектрического порошка укладываются вдоль силовых линий электрического поля E, созданного поверхностными зарядами. Силовые линии E электрического поля в пространстве между участками а и б показаны на рис. 42-б. Вблизи поверхности проводника (вне объема проводника) напряженность поля E поверхностных зарядов направлена под углом к проводнику.

97

4 Электродинамика 97

Из граничного условия (4.57) следует, что тангенциальная составляющая поля вне проводника равна тангенциальной составляющей в объе-

ме проводника: Eτ, диэл. = Eτ, провод.. Поле внутри проводника имеет только тангенциальную (касательную) составляющую вдоль проводника E = Eτ

в направлении электрического тока, а нормальная к поверхности проводника компонента поля внутри проводника отсутствует En, провод. = 0.

Рис.42

Итак, роль зарядов на клеммах источника тока состоит в создании неподвижных зарядов на поверхности проводника ( поверхностных зарядов) по всей длине цепи. Именно эти поверхностные заряды и создают по-

ле Eτ в объеме проводника, которое, в свою очередь, порождает электрический ток плотностью j в замкнутой цепи.

2. Электрическое поле в объеме неоднородного проводника при существовании электрического тока в проводнике.

В однородных проводниках при включении источника постоянного тока в проводах возникают только поверхностные заряды, объемные заряды в проводнике отсутствуют. На практике, как правило, имеют дело с неоднородными проводниками, в которых проводимость g изменяется от точки к точке проводника, т.е. проводимость является функцией коорди-

нат − g(x, y, z). Неоднородности могут быть обусловлены разными факторами, например, упругими напряжениями в материале проводника при его деформации, микроскопическими посторонними включениями в материа-

ле проводника и т.п. В неоднородном проводнике кроме поверхностных зарядов на неоднородностях в объеме проводника образуются объемные за-

ряды. В общем случае этими объемными зарядами могут быть как связан-

ные заряды с плотностью ρ /, так и свободные заряды с плотностью ρсвоб..

Эти объемные заряды с объемной плотностью ρ = ρ / + ρсвоб совместно с поверхностными зарядами создают поле E в проводнике.

Покажем, что объемные заряды обеспечивают реализацию постоянного тока в неоднородном проводнике. Представим интегральный закон сохранения заряда (4.20) в дифференциальной форме.

Закон сохранения заряда (уравнение непрерывности) в интегральной форме (4.20) можно записать в виде:

(∂ρ + divj)dV = 0.

(V ) ∂t

Ясно, что подынтегральное выражение также равно нулю во всех точках объема V:

Уравнение (4.96) выражает закон сохранения заряда (уравнение непрерывности) в дифференциальной форме.

В случае постоянного тока ∂∂ρt = 0, т.к. в этом случае заряд в любом

выделенном объеме проводника не изменяется. Поэтому при постоянном токе div j = 0 или j = 0. (4.97)

Уравнение (4.97) означает, что линии вектора плотности тока j в цепи постоянного тока замкнуты, т.е. постоянный ток возможен только при замкнутой цепи.

Плотность объемных зарядов ρ выразим по теореме Гаусса в диф-

где вследствие неоднородности проводника проводимость проводника является функцией координат g(x, y, z).

По правилу дифференцирования произведения двух функций – в данном случае скалярной функции g1 и векторной функции j − имеем:

С учетом (4.97) уравнение (4.98) примет вид:

Возьмем прямолинейный участок цепи и направим ось 0X вдоль этого участка. Для простоты допустим, что проводимость изменяется только в направлении оси 0X, т.е. g = g(x). В этом случае градиент примет вид:

Из уравнения (4.100) получаем, что если, например, проводимость g(x) в положительном направлении оси 0X уменьшается (удельное сопротивле-

приводит к увеличению напряженности поля E за счет положительных объемных зарядов, что и обеспечивает поддержание постоянной плотности тока j. Аналогично, при увеличении проводимости возникают отрицательные объемные заряды.

3. Поток энергии электромагнитного поля вдоль подводящих проводов, поглощение энергии в проводах.

Рассмотрим участок проводника с электрическим током (рис. 42-а). Силовые линии магнитного поля тока образуют концентрические окружности (на рисунке показана одна силовая линия). Вектор напряженности H магнитного поля у поверхности проводника направлен по касательной к поверхности проводника. Напряженность электрического поля E у по-

верхности проводника имеет нормальную En и тангенциальную Eτ состав-

ляющие: E = En + Eτ. Составляющая Eτ направлена в ту же сторону, как и ток. Вектор Пойнтинга можно записать в виде:

П1 = [E, H] = [En, H] + [Eτ, H].

переносимой от источника тока вдоль проводника (рис. 43-б). Подчеркнем,

поток энергии, определяемый вектором П1, переносится не в объеме проводника, а вдоль проводника в диэлектрической среде, окружающий проводник. Проводник играет роль только направляющей оси потока электромагнитной энергии.

Вектор Пойнтинга П2 = [Eτ, H] направлен вглубь объема проводника. Вектор П2 определяет энергию, входящую в проводник. При постоянном токе энергия, определяемая потоком П2, полностью переходит во внут-

реннюю энергию материала проводника, приводящая к его нагреванию.

Итак, электромагнитная энергия переносится от источника тока к нагрузке вдоль проводов и определяется нормальной составляющей En у по-

верхности проводника. Тангенциальная составляющая Eτ ответственна за потери энергии электромагнитного поля в проводнике.

Как известно, мощность выделяемого тепла при нагревании проводника может быть рассчитана по закону Джоуля-Ленца: P = I2R. Покажем, что закон Джоуля-Ленца следует из выражения для вектора Пойнтинга

П2 = [Eτ, H], определяющий потери электромагнитной энергии в проводящих объектах. Тем самым опосредованно покажем, что и закон ДжоуляЛенца является следствием уравнениями Максвелла.

Выделим цилиндрический участок проводника диаметром 2b и длиной l (рис. 43-в). Поток мощности (поток энергии в единицу времени), втекающий в этот участок проводника через его внешнюю поверхность

площадью S = 2πbl, определится интегралом

P = [Eτ ,H]dS= Eτ H 2πbl,

формулу в последнее уравнение, получим:

P = I 2 gπlb2 = I2R.

Таким образом, поток электромагнитной энергии, вошедший в проводник, равен теплоте, выделенной в проводнике по закону Джоуля-Ленца.

4. Двухпроводная линия передачи электромагнитной энергии (постоянный ток)

На рис. 42-а приведена простая схема постоянного тока с источником

ЭДС ξ, соединительных проводов и нагрузки R как потребителя энергии, поступающей от ЭДС. У поверхности соединительных проводов напряженность поля поверхностных зарядов направлена под углом к проводам.