введение в тфп

Кольцо из проводника ( материализованный контур), находящийся в переменном магнитном поле, позволяет экспериментально обнаружить вихревое электрическое поле по индуцированному в этом кольце электрическому току.

Напомним следующее. Согласно закону Фарадея εi = − ddФt , ЭДС ин-

дукции εi в проводнике (например, в форме кольца) возникает при изменении во времени магнитного потока Ф = BS = B S cosα, пронизывающего кольцо. Как видно из выражения для потока, изменять магнитный поток Ф

стечением времени можно тремя способами:

1)используя переменное магнитное поле (изменяя во времени индукцию магнитного поля B); 2) изменяя площадь кольца S в постоянном магнитном поле, деформируя кольцо; 3) изменяя угол α между векторами B и S, вращая кольцо в постоянном магнитном поле.

Деформация кольца и изменение угла α означают, что соответст-

вующий контур подвижен. Возникновение ЭДС ξ в процессе деформации кольца или изменения угла α обусловлено действием силы Лоренца на заряды (электроны, ионы) в движущихся частях проводника.

В уравнении Максвелла (4.10) контур l и натянутая на контур поверхность S неподвижны ( взята частная производная ∂∂Bt ). Уравнение (4.10) отражает фундаментальный факт: переменное во времени магнитное поле ∂∂Bt порождает вихревое электрическое поле E

Итак, попутно заметим, источником электрического поля могут

быть:

1)неподвижные заряды, являющиеся источником электростатического поля; циркуляция электростатического поля равна нулю – уравнение (4.9);

2)переменное во времени магнитное поле, порождающее вихревое электрическое поле; циркуляция вихревого электрического поля не равна нулю

иопределяется уравнением (4.10). Силовые линии вихревого электриче-

ского поля охватывают вихри в виде переменного магнитного поля ∂∂Bt (вихри расположены на поверхности S).

3. Дифференциальная форма уравнения

о циркуляции вихревого электрического поля. Ротор вектора E.

Важным в понимании дифференциальной формы уравнения Максвелла о циркуляции электрического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора E порождается на поверхности S, натянутого на контур. Действительно, из уравнения (4.10) следует, что циркуляция по конту-

ру l равна интегралу всех ∂∂Bt на поверхности S, ограниченной контуром l.

Так как циркуляция порождается на поверхности, то можно говорить о плотности циркуляции в точке (x, y, z) на поверхности S и ввести соответствующую характеристику векторного поля. Эта характеристика называется ротором (вихрем) векторного поля.

Раскроем содержание понятия ротора (вихря) векторного поля E, характеризующего плотность циркуляции в выбранной точке поверхности S.

Введем понятие средней плотности порождения циркуляции на по-

верхности S как отношения циркуляции к площади S:

Edl

Рассмотрим на поверхности S некоторую точку M с координатами (x,y,z) и будем стягивать контур l к этой точке. При этом контур все время должен оставаться на поверхности S. Получаемая при стягивании контура бесконечно малая поверхность dS содержит точку M(x,y,z). Предел, к которому стремится средняя плотность циркуляции при стягивании контура к точке M(x,y,z), определяет плотность порождения циркуляции в этой точке M(x,y,z):

Edl

Плотность циркуляции (скалярная величина!) равна проекции некоторого вектора на направление нормали n к элементарной поверхности dS, содержащей данную точку M(x,y,z). Покажем это, воспользовавшись примером, приведенным в книге: Савельев И.В. Курс общей физики в 5 книгах. Кн.2. Электричество и магнетизм. – М.: Наука, 1998, с. 50-61.

Циркуляция однородного электрического поля, т.е. поля при E =

электрического поля.

Пусть электрическое поле направлено перпендикулярно плоскости Z0Y (на рис. 28-а ось 0Z направлена к нам). У такого неоднородного поля отлично от нуля только компонента Ex, следовательно, E = E xi. Допустим, неоднородность поля выражена тем, что компонента Ex линейно растет с координатой y, т.е. компоненту Ex можно представить линейной функцией

Ex = ky, где k = const (единица измерения k − 1В/м2). На рис. 8-а неоднородность E отображена изменением густоты силовых линий E с изменением y. Итак, имеем:

E = Exi = kyi.

Образуем вектор ke. Скалярное произведение ke n равно проекции вектора ke на нормаль n:

ke n = k cosα.

Из приведенного примера следует, что, плотность циркуляции на поверхности ведет себя как проекция вектора ke на нормаль n к поверхности, ограниченного контуром. В частности, при α = 0 проекция равна k. Вектор ke называется ротором (или вихрем) векторного поля. Ротор обозначается символом rot. В нашем примере

rot E = ke, а модуль ротора равен k. Проекция rot E на n в нашем примере:

(rot E)n = k cosα .

Edl

сти S, натянутой на контур, является проекцией ротора E на положительную нормаль n к поверхности:

Edl

Еще раз отметим, циркуляция порождается на поверхности контура.

Плотность циркуляции максимальна и равна модулю вектора rot E, когда направление ротора совпадает с направлением нормали n. Можно, соответственно, говорить о потоке вектора rot E через поверхность элементарного контура.

малого контура δl. Скалярное произведение (rotEdS)

является потоком вектора rot E через элементарную площадку dS. Просуммировав ( rotEdS) по всем dS, получим в пределе интеграл по всей поверхности S. Этот интеграл определяет поток ротора через конечную поверхность S:

rotEdS = rotEdS.

(S )

Сумма циркуляций Edl по элементарным контурам δl приводит к циркуляции

(δl )

по контуру l, охватывающему поверхность S (сумма циркуляций от внутренних контуров равна нулю, т.к. при суммировании они входят дважды с противоположными знаками):

Соотношение (4.13) называется теоремой Стокса. Теорема Стокса (4.13) утверждает: циркуляция вектора E по произвольному контуру l равна потоку rot E через произвольную поверхность S, ограниченную этим контуром. Теорема связывает поверхностный интеграл с интегралом по контуру. В этом смысле теорема Стокса аналогична теореме Гаусса-Остроградского (1.9), связывающего объемный интеграл с интегралом по поверхности.

В соответствии с интегральным уравнением Максвелла (4.10), вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Запишем уравнение Максвелла (4.10) еще раз здесь:

Сравнивая интегральное уравнение Максвелла (13) с теоремой Стокса (16), получаем дифференциальную форму этого уравнения Максвелла:

мальной плотности циркуляции электрического поля в данной точке. Мак-

симальная плотность циркуляции реализуется при условии, когда ротор перпендикулярен поверхности (параллелен нормали n к поверхности).

Явный вид ротора (4.14) в декартовой системе координат.

(Ez3 − Ez1) dz − (Ey4 − Ey2) dy.

Величина ( Ez3 - Ez1) – приращение Ez на отрезке dz при смещении этого отрезка на dy. Это приращение можно представить при стягивании контура в точку M(x,y,z) в виде

(Ez3 − Ez1) = ∂∂Eyz dy .

Аналогично, (Ey4 - Ey2) – приращение Ey на отрезке dy при смещении этого отрезка на dz. Это приращение принимает вид:

(Ey4 − Ey2) = ∂∂Ezy dz .

Подставив полученные выражения в (18), циркуляция запишется в виде:

где dS = dy dz – площадь элементарного контура.

Плотность циркуляции, т.е. (rot E)x, определяется деление циркуляции на площадь контура (см. 4.12). Разделив циркуляцию на площадь контура, получим выражение для компоненты (rot E)x относительно декартовой системы координат:

(rot E)x = ∂∂Eyz − ∂∂Ezy .

Аналогично получаются выражения для остальных двух компонент: (rot E)y = ∂∂Ezx − ∂∂Exz ,

(rot E)z = ∂∂Exy − ∂∂Eyx .

поверхности. Важно только, чтобы существовал источник циркуляции на поверхности: поверхность должна пронизываться электрическим током. На рисунке приведены две поверхности S и S/, натянутые на один и тот же контур l. Через поверхность S проходит электрический ток (мысленная поверхность S пересекает провод) и уравнение (4.19) выполняется. Через поверхность S/ ток проводимости отсутствует, и уравнение (4.19) не выполняется. Получается, что циркуляция зависит от субъективного выбора формы поверхности, что не должно быть. Возникшее противоречие может быть обусловлено только тем, что не учтены особен-

ности поверхности S/, точнее − не учтены особенности пространства между обкладками конденсатора.

Поверхность S/ пронизывается переменным электрическим полем, создаваемым зарядами на обкладках конденсатора (заряды на обкладках периодически

изменяются по величине и знаку, т.к. ток переменный). Поток вектора D = εε0E через замкнутую поверхность (S/ + S), охватывающую правую обкладку конденсатора, определяется теоремой Гаусса (1.5). Продифференцируем по времени (1.5), получим:

Полученное уравнение гласит, что изменение потока вектора D определяется изменением заряда внутри замкнутой поверхности (S/ + S). Поменяем последовательность операций дифференцирования и интегрирования, получим:

ется в амперах, ∂∂Dt имеет размерность плотности тока, измеряется в А/м2.

С другой стороны, из уравнения непрерывности (4.20) следует, что уменьшение заряда внутри (S/ + S) в единицу времени равняется потоку плотности тока проводимости j через (S/ + S), т.е. электрическому току из объема, ограниченного поверхностью (S/ + S). Сравнивая (4.20) и (4.21), получим:

Полученное уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока, выражающее закон сохранения заряда Переменный во времени вектор элек-

трического смещения ∂∂Dt имеет размерность плотности тока и получил название

плотности тока смещения: jсмещ. = ∂∂Dt .

Сумма плотности тока проводимости и плотности тока смещения определяет плотность полного тока:

jполн. = j + ∂∂Dt .

Всоответствии с уравнением (4.22) линии плотности полного тока непрерывны.

Втех ветвях цепи переменного тока, где находится конденсатор, линии плотности

тока проводимости обрываются, но замыкаются линиями плотности тока смещения. Циркуляция, порождаемая на поверхности S/, и где отсутствуют токи прово-

димости j, определяется токами смещения ∂∂Dt , т.е. переменным во времени электрическим полем

Итак, вклад в циркуляцию магнитного поля по произвольному контуру l вносят не только электрические токи проводимости, но и переменное электрическое поле, пронизывающие поверхность S,

поле порождается переменным электрическим полем в отсутствии токов проводимости. В этом случае (4.23) примет вид:

Запишем уравнение циркуляции индукции магнитного поля в вакууме в отсутствии токов проводимости, с учетом соотношений D = ε0E

и B = μ0H:

Теорема Стокса (4.13), записанная для напряженности магнитного поля Hdl= rotHdS, приводит к дифференциальной форме уравнения