введение в тфп

на две группы уравнений, описывающих отдельно поперечноэлектрическое поле, т.е. поле H-типа

Из системы уравнений (4.195) получаем уравнения, описывающие бегу-

щую волны в волноводе. Если подставить E x иE y из (4.195) в шестое

уравнение системы (4.194), то получим уравнение поперечноэлектрического поля в волноводе

2. Рассмотрим вкратце электромагнитную волну Е-типа (поперечно-

электрическое поле) в волноводе прямоугольного сечения (a×b). Этот тип волны наиболее часто используется в практике волновой техники. Решение уравнения (4.197) находим методом разделения переменных с использованием граничных условий:

Ранее, при рассмотрении волновода из параллельных проводящих пластин, метод решения нами рассмотрен. Из решения получим значение поперечного волнового числа:

ξ 2 = mπ 2 + nπ 2 ; m, n = 0, 1, 2, …

a b

Критическую длину волны в волноводе определяем по формуле:

По волноводу могут распространяться волны, которые удовлетворяют условию λ < λкр , или в нашем случае

вать волна типа ТЕ01 . Аналогично определяем, что по волноводу могут распро-

страняться также волны типа ТЕ10;20;30;11 и ТМ11 . Других типов волн в волноводе быть не может. Действительно, приm = 2 и n = 1 λ21 = 0,028 < 0,06.

Для волн типа ТЕ10 и ТЕ30 находим длину волны в волноводе, её фазовую и групповую скорости. Для волн типа ТЕ10 (или Н10) имеем:

υф = λв f = 3,15 108 мсек,

υгр = с2 /υф = 2,86108 мсек,

Для волны типа ТЕ30 находим: λкр = 0,067 м, λв = 0,134 , υφ = 6,7108 мсек,

υгр = 1,35 108 мсек.λкр = λ21 = 0,028 < 0,06.

3. Возбуждения волны в прямоугольном волноводе.

В волноводной технике используется термин «возбуждение волновода», под которым понимается создание в волноводе высокочастотного электромагнитного поля. Возбуждение волновода осуществляется введением в волновод от СВЧили КВЧ-генератора кабеля (или другим волноводом). Устройство, служащее для этой цели, называют элементом связи

или возбудителем (рис. 61).

• Петля

Штырь

Рис. 61

Если высокочастотный генератор имеет коаксиальный выход, то он заканчивается в волноводе штыревой антенной или петлей. Связь волновода с генератором может осуществляться также с помощью щелей и отверстий, прорезанных в их стенках.

При возбуждении в прямоугольном волноводе волны типа Н10 штырь расположен параллельно оси y на расстоянии z = λk в/ от закороченного конца волновода (т.е. от торцевой заглушки волновода).

ЛИТЕРАТУРА

1.Савельев, И. В. Курс общей физики [Текст]: учеб. пособие для вузов. Кн.4. Волны. Оптика – М.: Наука, 1998. – 256 с.

2.Семенов, Н.А. Техническая электродинамика [Текст]: учеб. пособие для ву-

зов. – М.: Связь, 1973. – 480 с.

3.Матвеев, А.Н. Электричество и магнетизм [ Текст]: учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1983. – 463 с.

4.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэнди М. Фейнмановские лекции по физике [Текст].

Вып.6, кн.4. – М.: Мир, 1977. – 347 с.

145

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Бегущая и стоячая волна в струне

1. На рис. 1 приведена принципиальная схема установки со струной, в которой можно реализовать стоячую волну.

Струна жестко закреплена в опоре B, проходит сквозь узкое отверстие в опоре A и перекинута через блок. В этом случае точки A и B струны практически не колеблются. Натяжение струны осуществляется грузом m, подвешиваемым к струне. Возбуждение колебаний струны осуществляется силой Ампера, действующей со стороны постоянного магнитного поля на металлическую струну, по которой протекает синусоидальный ток. Часто-

та ν колебания элементов струны равна частоте колебаний синусоидального тока в струне.

Колебания частиц струны возбуждаются в том месте, где находится магнит и вследствие упругой связи частиц струны, по ней побегут поперечные волны. Волны будут многократно отражаться от опор A и B. Интерференция этих многократно отраженных бегущих волн создадут на струне некоторую картину колебаний частиц струны в каждой ее точке. Эта картина, в общем случае, нерегулярна, однако при некоторых частотах в струне формируется стоячая волна. В дальнейшем нас будут интересовать условия формирования стоячей волны.

Ниже покажем, что фазовая скорость c бегущей волны в струне при малых колебаниях определяется натяжением струны и инертными свой-

плотность материала струны. Натяжение струны задается грузом (T = mg).

2. Волновое уравнение, описывающее бегущую волну на струне. Решение уравнения.

Волновое уравнение. Волна на струне является поперечной волной: смещение частиц струны происходит поперек направления распространения волны. Это показано на рис . 2-а. Волна распространяется в направлении

оси 0x со скоростью с, смещение частиц струны происходит в направлении оси 0y со скоростью смещения частиц u.

Рассмотрим динамику движения элемента колеблющейся струны длиной dl при малых амплитудах колебаний элемента струны (малых колебаниях). На рис. 2-б элемент dl представлен в крупном масштабе. Длина элемента определяется теоремой Пифагора:

Величина ddxy = tgα, но при малых колебаниях угол α представляет малую

величину, поэтому в (1) можно пренебречь ее квадратом. Таким образом, при малых колебаниях можно принять соотношение: dl = dx.

Выделенный элемент струны длиной dl и массой dm перемещается

Если проекция результирующей силы натяжения в направлении оси 0y равна Fy, то 2-й закон Ньютона для выделенного элемента имеет вид:

dm ay = Fy .

Выразим массу элемента через линейную ( погонную) плотность ρ материала струны:

На струну действует сила натяжения T. Эта сила при малых колебаниях практически постоянна по всей длине струны. Мы не будем учитывать незначительные изменения силы натяжения вследствие разной степени

растяжения струны в разных ее точках. Итак, составляющая результирующей силы Fy в положительном направлении оси 0y равна (рис. 2-б):

Индексы при производных указывают, в каких точках эти производные бе-

Итак, сила, действующая на элемент струны в направлении оси 0y, равна

Уравнение (6) и есть волновое уравнение, описывающее распространение бегущей волны в струне, где

фазовая скорость распространения волны. Обратим внимание на то, что фазовая скорость является функцией натяжения T и инертных (плотность

ρ) характеристик струны. Такая зависимость фазовой скорости присуща всем упругим волна – волнам в газе, жидкости, твердом теле. Например, скорость продольных акустических волн в тонких металлических

ρ - объемная плотность металла. Скорость звука в газе определяется

ρ - плотность газа. Во всех приведенных примерах фазовая скорость определяется упругими и инертными свойствами среды.

Уравнение бегущей волны как решение волнового уравнения. Решением уравнения (6) является любая функция вида y = f(ct – x)

или y = f(ct + x) [убедитесь в этом, подставив, например, функцию f(ct – x) в (6)]. Знак минус соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси 0x, знак плюс – в отрицательном направлении. Если генератор, возбуждающий волну, совершает гармонические колебания, то в качестве решения следует, естественно, выбрать функцию синуса или косинуса. Выберем функцию синуса, тогда уравнение бегущей волны примет вид:

го, чтобы аргумент синуса имел размерность угла. В содержательном отношении величина λ − это длина волны, k = 2λπ − волновое число, а – амплитуда волны, ϕ − начальная фаза.

Из произведения ( 2λπ x) следует смысл длины волны λ. При x = λ

фаза волны сдвигается на 2π, следовательно, длина волны λ – это минимальное расстояние между двумя частицами струны, которые колеблются

в фазе. Из соотношения 2λπc = ω = 2Tπ , где ω – круговая частота колебания частиц струны и T – период колебания частиц, следует, что фазовая скорость равна c = Tλ . Фазовая скорость c = Tλ указывает, с какой скоро-

стью распространяется бегущая волна по струне. Можно также сказать, что фазовая скорость c определяет скорость распространения некоторой фазы волны.

Обратим внимание на то обстоятельство, что в аргументе уравнения бегущей волны [записанного в любой форме (8), (9) или (10)] отражены как пространственные, так и временные факторы волнового процесса. Если фиксировать координату x, то уравнение (9) описывает гармонические колебание элементов (частиц) струны в точке с этой координатой. Если фиксировать время t, то уравнение волны описывает пространственные смещения частиц струны по всей ее длине в этот момент времени (струна имеет форму синусоиды). Оба фактора – пространственный фактор и временной – совместно описывают бегущую волну в пространстве и времени.

3. Стоячая волна на струне.

Определим частоты, при которых на струне формируется стоячая волна. Эти частоты получили название собственных ( резонансных) частот струны. Стоячая волна формируется в результате интерференции многократно отраженных бегущих волн от точек закрепления струны.

Предварительно определим характер изменения фазы бегущей волны

впроцессе двух последовательных отражений. На рис. 3 стрелками показаны направления движения соответствующих падающих и отраженных волн. Бегущая волна «1» падает на правую точку закрепления струны «B», отраженная волна «2» падает на левую точку закрепления «A» , и после отражения волна «3» движется к правому закреплению. Пренебрежем затуханием волны в струне и потерями энергии волны при отражении. Отсутствие затухания означает, что амплитуда бегущей волны в процессе распространения по струне остается постоянной. Отсутствие потери энергии при отражении означает, что амплитуды падающей и отраженной волн

вточке отражения одинаковы. Напомним, энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды.

Струна

Рис. 3

Бегущая волна «1», перемещающаяся в положительном направлении оси 0x, описывается уравнением волны (запишем это уравнение в форме (9)):

Отраженная бегущая волна «2», перемещающаяся в отрицательном направлении оси 0x, имеет вид:

Определим соотношение между начальными фазами ϕ1 и ϕ2 . В точке закрепления струны « B» (x = 0) колебания струны отсутствует. Этот

результат отразим с помощью уравнений (11) и (12) − их сумма в точке закрепления (x = 0) должна быть равна нулю:

y1 + y2 = a1 sin (ωt + ϕ 1) +a2 sin (ωt + ϕ 2) = 0.

Это уравнение справедливо при выполнении двух условий:

a1 = a2 и ϕ2 = ϕ 1 + π .

Условие a1 = a2 означает, что отсутствуют потери энергии волны при отра-

жении. Условие ϕ2 = ϕ 1 + π указывает, что при отражении от среды с большим волновым сопротивлением (точки закрепления струны), отра-

женная волна сдвинута по фазе от падающей волны на π радиан. Итак, уравнение бегущей волны «2» имеет вид:

Определим соотношение между начальными фазами ϕ1 и ϕ3. Рассмотрим точку закрепления струны «A», где колебание струны отсутствует. Отсутствие колебаний отразим с помощью уравнений (13) и (14). В точке закрепления их сумма должна быть равна нулю:

y2 + y3 = a2 sin (ωt + kx + ϕ 1 + π) + a3 sin [(ωt − kx + ϕ 3] = 0

Точка закрепления «A» имеет координату x = −L, и это уравнение справедливо при выполнении двух условий:

a2 = a3 и − k(−L) + ϕ 3 = [k(−L) + ϕ 1 + π)]+ π .

Из второго условия получим:

ϕ 3 = ϕ 1 − 2kL + 2π.

Учитывая соотношение k = ωс , и отбрасывая полный угол 2 π радиан,

Таким образом, уравнение волны «3» − уравнение (14) − принимает вид:

Волны «1» и «3» движутся в одну сторону − по рис. 3 слева направо, т.е. от опоры A к опоре B. Результат сложения этих волн зависит от разности фаз