введение в тфп

Решение. Уравнение Лапласа в этой задаче следует, естественно, записать в сферической системе координат. Связь декартовых координат (x, y, z) и сфери-

В данной задаче вследствие симметрии потенциал является функцией только радиуса r. Следовательно, уравнение Лапласа будет содержать только производные по r

ского поля, созданного заряженной сферой: 1) при r → ∞ потенциал ϕ = 0; 2) при r = a (на поверхности сферы) ϕ = ϕ0. Из этих условий следует, что C2 = 0

32

2.МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

2.1.Объекты магнитостатики

Напомним объекты, которыми оперирует магнитостатика:

1)электрический ток I точечных зарядов. Сила тока определяется за-

рядом, прошедшим через поперечное сечение проводника в единицу

времени I = ddqt . Единица силы электрического тока − ампер (А) − относится к группе основных единиц системы СИ и для этой единицы существует соответствующий материализованный эталон. Для детальной характеристики тока через поперечное сечение проводника вводят понятие плотности тока – вектор j. Модуль плотности тока численно равен отношению тока dI через элементарную площадку dS , расположенную перпендикулярно направлению распростране-

упорядоченного движения зарядов v и плотность зарядов ρ = ddVq :

2)магнитное поле. Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукции магнитного поля B. Источником магнитостатического поля является электрический ток. Магнитное поле действует с определенным механическим моментом силы M на виток с током. Под действием момента пары сил (пары сил Ампера) плоскость витка поворачивается перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Индукция магнитного поля B определяется моментом силы M, действующим на плоский виток с единичным магнитным моментом

pm: B = M , где pm = IS – магнитный момент витка с током, S – пло- pm

щадь, охватываемая витком, I – ток в витке. Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл): 1Тл =1 АН мм2 =1 АНм .

2.2.Поток вектора индукции магнитного поля B через замкнутую поверхность

Источником магнитного поля является электрический ток I или же движущиеся заряженные частицы (например, электроны, ионы). В природе не обнаружены частицы, обладающие магнитным зарядом (не обнаружены магнитные монополи). Силовые линии индукции B замкнуты сами

на себя − магнитное поле имеет вихревой характер. Вследствие вихревого характера магнитного поля поток вектора B через замкнутую поверхность всегда равен нулю (силовые линий индукции B, вошедшие в рассматриваемый объем, ограниченный поверхностью S, обязательно где-то выйдут из этого объема). Итак, имеем:

Соответствующая дифференциальная форма запишется в виде:

2.3.Закон Био–Савара–Лапласа

Магнитное поле движущегося заряда. Напомним, опыты Эрстеда и другие аналогичные опыты показали, что источником магнитного поля является электрический ток, т.е. движущиеся заряды. Силовые линии индукции магнитного поля B замкнуты сами на себя (магнитное поле вихревое). Направление силовых линий определяется правилом правого винта: поступательное движение винта должно совпадать с направлением движения положительного заряда, тогда вращение винта будет указывать направление силовых линий вектора B.

Заряд q, движущийся со скоростью v, порождает магнитное поле. Из обобщения опытов следует, что индукция B этого поля является функцией заряда q, скорости v и радиус-вектора r, проведенного от заряда к рассматриваемой точке поля: B = f (q, v, r). С формальной точки зрения из двух разноименных векторов v и r можно получить третий вектор B только операцией векторного произведения. Таким образом, в законе для вектора B должен присутствовать член [v, r]. Далее, из опыта также следует, что индукция подчиняется закону обратного квадрата расстояния рас-

где μ0 – магнитная постоянная; 4μπ0 = 10−7 Гнм .

Индукция B магнитного поля тока I может быть определена как векторная сумма магнитных полей d B, создаваемых элементарными

34

34 2 Магнитостатическое поле

участками электрического тока. Плотность тока j = ρv (§ 2.1); элемен-

Формула (2.5*) определяет индукцию магнитного поля dB, создаваемого элементом проводника длиной dl на расстоянии r от элемента про-

правило правого винта.

Интегрирование (2.5*) по всем элементам тока позволяет в принципе рассчитать индукцию магнитного поля. Однако интегрирование векторной функции в общем случае является довольно громоздкой операцией. В некоторых частных случаях интегрирование векторной функции можно свести к интегрированию скалярной функции. Примером является расчет магнитное поле прямого тока. В этом случае все элементарные dB в каждой точке пространства коллинеарны, поэтому интегрирование векторной функции в конечно счете сводится к интегрированию модуля

dB = d B. После интегрирования получаем, что на расстоянии a от тонкого провода, по которому течет ток I, индукция определяется

выражением B = 2μπ0 aI .

Связь электрического и магнитного молей движущегося заряда. Движу-

щийся заряд q порождает магнитное поле, индукция которого B определяется формулой (2.4). С этим же зарядом q связано электрическое поле. Напряженность электрического поля заряда определяется формулой (1.3):

2.4. Циркуляция индукции магнитного поля тока

Приведем без вывода теорему о циркуляции магнитного поля по контуру l (рис. 17-б), создаваемого постоянным электрическим током:

В качестве иллюстрации теоремы (2.6) на рис. 17-б показаны четыре провода с токами I1, I2, I3, I4. Токи I2, I3, I4 пронизывают поверхность, натянутую на контур. Результирующее магнитное поле B в любой точке пространства определяется векторной суммой полей от каждого из токов:

B= B1 + B2 + B3 + B4.

Однако циркуляция B по контуру l определяется алгебраической суммой электрических токов I = I k , которые охватываются контуром, т.е. толь-

k

ко токи I2, I3 и I4. В соответствии с направлением обхода контура и правилом правого винта, токи I2 и I4 берутся со знаком плюс, ток I3 – со знаком минус.

Пусть теперь произвольный контур l находится в объеме какогонибудь проводника, по которому течет ток I. Натянем на этот контур мысленную поверхность S. Ток, пронизывающий S, можно выразить через вектор плотности тока проводимости j (§ 2.1). Элементарный ток определяется скалярным произведением вектора плотности тока j и ориентированной площадки dS:

dI = jdS = jdScosα = jdS.

Ток через конечную площадку S выразится интегралом по площади: I = jdS. Подчеркнем, плотности тока в разных точках S могут различать-

Магнитный момент атома может быть равен нулю. Это возможно, если

ватоме имеется четное число электроны с противоположно направленными обращениями электронов вокруг ядра атома (такие магнетики называются диамаг-

нетиками). Если поместить диамагнетик во внешнее поле B0, то это поле индуцирует дополнительный магнитный момент атомов. Суммарный магнитный момент атомов порождает макроскопическое магнитное поле B/. В этом случае B/

направлено против B0. Уменьшение результирующего поля B относительно B0 получило название диамагнитного эффекта. Заметим, диамагнитный эффект присущ всем без исключения магнетикам (и диа-, и пара-, и ферромагнетикам), ибо этот эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электронные орбиты атомов и молекул. Чистый диамагнетик выталкивается из внешнего неоднородного поля

Атом может обладать собственным магнитным моментом, обусловленным наличием в атоме, например, нечетного числа электронов. Магнетики, атомы которых обладают собственным орбитальным магнитным моментом, называются парамагнетиками. В отсутствии внешнего поля моменты разных атомов парамагнетика направлены беспорядочно. Если поместить парамагне-

тик во внешнее поле B0, то магнитные моменты атомов поворачиваются в направлении внешнего поля, порождая макроскопическое магнитное поле B/, т.е. вещество намагничивается. Так как в парамагнетике B/ направлено в сторону внешнего магнитного поля B0, а диамагнитный эффект сравнительно мал, то

впарамагнетиках B > B0. Парамагнетик втягивается во внешнее неоднородное магнитное поле. Физика ферромагнетиков сложнее и обусловлена обменным взаимодействием электронов.

Степень намагничивания характеризуется вектором намагниченности J, определяемый как магнитный момент молекулярных токов единицы объема магнетика:

J = Vpm .

Алгебраическая сумма упорядоченных молекулярных токов в магнетике, находящемся во внешнем магнитном поле, образует макроскопический электрический ток в магнетике. Если магнетик однородный, то сумма молекулярных токов образует макроскопический поверхностный ток; если магнетик неоднородный, то возникает также и объемный макроскопический ток. Макроскопические токи в магнетике, формируемые внешним магнитным полем B0, обычно называют токами намагничивания. Обозначим ток намагничивания через I/. Можно показать, что циркуляция J по произвольному контуру l равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром l:

Единицей вектора J служит 1 А/м.

Источником магнитного поля является электрический ток и этими токами в магнетике могут быть как токи проводимости I, так и макроскопические токи намагничивания I/. Ток проводимости I обусловлен движением свободных зарядов в магнетике, ток намагничивания – алгебраической суммой молекулярных токов в атомах и молекулах магнетика.

Циркуляция магнитной индукции B по произвольному контуру l в магнетике будет, разумеется, определяться и токами проводимости I, и токами намагничивания I/, охватываемые контуром l:

пряженностью магнитного поля. Теперь уравнение (2.10) запишетсяв виде:

Циркуляция H по произвольному контуру l определяется только токами проводимости, которые в принципе могут быть измерены амперметром. Единица напряженности H магнитного поля совпадает с единицей намагниченности J: 1 А/м.

Намагниченность J определяется магнитным полем B в магнетике, однако принято намагниченность выражать не через индукцию B, а через напряженность H в магнетике. Для линейных магнетиков намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля:

где χм – магнитная восприимчивость магнетика. Напомним: в диамагнетиках χм < 0, в парамагнетиках χм > 0. В ферромагнетиках χм >> 1, однако, следует иметь в виду, что магнитная восприимчивость ферромагнетиков зависит от магнитного поля B.

Теперь можно выразить связь между B и H в другой форме. Подста-

где μ = (1+ χм) – магнитная проницаемость среды.

Подчеркнем, напряженность магнитного поля H зависит как от токов проводимости, так и токов намагничивания (это следует из определения

H = B − J, где J определяется токами намагничивания), однако циркуляция

μ0

вектора H определяется только токами проводимости, что и следует из уравнения (2.11). Вектор H во многих случаях упрощает описание магнитного поля в магнетике. Собственно, это и оправдывает введение в структуру теории магнетизма вспомогательного вектора H.

2.6. Сила Лоренца, сила Ампера

Опыт показывает, что в магнитном поле с индукцией B на движущийся заряд q действует сила, определяемая законом:

где v – скорость заряда.

Если в пространстве содержится еще и электрическое поле с напряженностью E, то на движущийся заряд действует сила

Сила (2.15) называется силой Лоренца ( часто силой Лоренца называют только магнитную составляющую (2.14)).

Сравним электрическую и магнитную составляющие силы Лоренца. Допустим, два одинаковых заряда q1 = q2 = q движутся параллельно друг другу относительно лаборатории с одинаковыми скоростями v1 = v 2 = v . В этом случае модуль магнитной силы, действующей, допустим, на второй заряд со стороны

скорости зарядов v = 30000 мс получаем соотношение

Fм = 10−8. Таким образом, при обычных скоростях зарядов (v << c) магнитная си-

Fэ

ла составляет ничтожную долю от полной силы Лоренца (2.15), т.к. Fм << Fэ.

Если в проводнике существует электрический ток, то на каждый заряд в этом проводнике действует магнитная сила Лоренца (2.14). Суммарная сила, действующая на заряды, передается всему проводу. Таким образом, на проводник с током в магнитном поле действует магнитная сила, называемая силой Ампера. Выразим закон силы Ампера.

где d l – длина элемента проводника. Формулы (2.16) определяют силу Ампера, действующую со стороны магнитного поля на элемент проводника с током.

В частности, из (2.16) следует, что модуль силы Ампера, действующей на прямой провод с током I, определится формулой F = IlB sinα. Здесь l = l – длина проводника, находящегося в магнитном поле (актив-

ная часть проводника), α – угол между векторами l и B. Направление вектора l совпадает с направлением тока (т.е. с направлением движения положительных зарядов). Направление силы Ампера удобно определять правилом левой руки (напомним, правило левой руки следует из правила векторного произведения).