введение в тфп

Подставим эти соотношения в (4.143), получим:

Из уравнения преломленной волны (4.146) следует, что волна зату-

хает строго в отрицательном направлении оси z (множитель ebz в отрица-

тельном направлении оси z убывает). Это означает, что независимо от угла

падения θ, плоскости равных амплитуд в проводящей среде параллельны плоскости раздела сред. Уравнение поверхности равных амплитуд можно представить уравнением z = const. На рис. 52 в качестве примера показана одна такая плоскость, параллельная плоскости раздела сред, и, следовательно, перпендикулярная оси z.

Обратите внимание, так как преломленная волна является плоской волной, то поверхность равных фаз (вектор Пойнтинга П2 перпендикулярен поверхности равных фаз волны) не совпадает с поверхностью равных амплитуд (рис. 52). Из уравнения (4.146) следует, что поверхность равных фаз определяется уравнением

cz − hy = const.

На поверхности равных фаз амплитуда волны не является постоянной величиной.

2. Допустим, второй средой является хороший проводник, например, металл (первая среда – диэлектрик). Это соответствует условию

(4.147) при любых углах падения θ модуль комплексного угла преломления φ → 0. Следовательно, в уравнении (4.143) при выполнении (4.147) можно использовать приближенные оценки:

sinφ ≈ 0 , cosφ ≈ 1.

При этих оценках уравнение для произвольной составляющей электромагнитного поля (4.143) запишется в виде:

Из (4.148) следует, что при любых углах падения θ волна электромагнитная волна во второй среде – проводнике – распространяется практически

внаправлении оси z [ перпендикулярно плоскости раздела сред ( φ ≈ 0)].

Вэтой связи можно считать, что плоскость равных фаз и плоскость равных амплитуд в проводнике совпадают. Такая волна называется однородной.

Таким образом, при произвольной ориентации плоскости поляризации электромагнитной волны, прошедшей из диэлектрика в проводник, векторы E и H будут обладать компонентами только по осям x и y (рис. 53):

Ex2 и Ey2; Hx2 и Hy2.

Расположение векторов E и H относительно осей координат может быть различной (в качестве примера на рис. 53 и рис. 54 показаны по две ситуации).

Если ось z направить в сторону диэлектрика (так же, как и на рис. 52), то по определению понятия волнового сопротивления и знаков компонент векторов E и H имеем соотношения (см. рис. 53):

Напомним, индекс «2» означает, что рассматривается волна в проводящей среде.

Если ось z направить в сторону проводника, то в соответствии со знаками компонент (см. рис. 54) имеем соотношения (см. также рис. 55):

Коэффициент затухания в проводящей среде α2 имеет смысл обратной величины расстояния l0 , на которой амплитуда электромагнитной вол-

и магнитной проницаемости μ проводника глубина проникновения l0 уменьшается. Например, при частоте f = 1 МГц глубина проникновения

электромагнитной волны в медь и серебро l0 ≈ 6,5 10−5 м = 6,5 10−2 мм,

а при частоте f = 1,6 ГГц l0 ≈ 6,5 10−4 мм.

Плотность тока на поверхности проводника направлена по оси x и определяется законом Ома:

jx = g2 E x02 e−α2z e−i k 2z .

Таким образом, амплитуда тока убывает с глубиной проникновения электромагнитного поля по закону

jx0 = g2 E x02 e−α2z .

Это явление убывания тока называется поверхностным эффектом в проводниках в поле электромагнитной волны.

2.Идеальный проводник.

Идеальным проводником считается среда, проводимость которой

g = ∞ (удельное сопротивление r = 0). В соответствии с (4.153) глубина проникновения l0 = 0, и в объеме идеального проводника электромагнитная волна отсутствует (E2 = 0, H2 = 0).

Граничные условия для переменного магнитного поля на поверхности S проводника (см. § 4.7.3, пункт 1):

H 01τ = j0S (т.к. H2 = 0),

где j0S − поверхностная плотность тока на единице x = 1м.

Граничные условия для переменного электрического поля на поверхности S проводника:

D01n = σ или ε1ε0 E01n = σ;

где σ − плотность заряда на поверхности проводника.

Из граничных условий непосредственно следует, что на поверхности проводника E01τ = 0; H01n = 0,

так как в идеальном проводнике электромагнитное поле отсутствует

(E2τ = 0, H2n = 0).

3.Приближенное граничные условия Леонтовича.

кнулю (φ = 0). В этой связи, приближенно можно считать, что векторы E

иH в этой среде имеют компоненты только по осям x и y:

Ex2 и Ey2; Hx2 и Hy2.

Компоненты векторов E и H в реальном проводнике на границе раздела сред определяются соотношениями

Приравнивая касательные составляющие, получим:

Соотношения (4.154) и (4.155) есть граничные условия Леонтовича, связывающие касательные составляющие векторов E и H в первой среде (диэлектрике) с волновым сопротивлением второй среды ( проводника). Условия Леонтовича позволяют , не определяя поле внутри проводника, приближенно учесть его влияние на поле в диэлектрике с помощью соот-

ношений (4.154) и (4.155).

В случае идеального проводника H 01τ = j0S. Приближенно считая, что реальная проводящая среда близка к идеальному проводнику, можно привести еще одну форму записи приближенного условия Леонтовича на границе раздела диэлектрик-проводник:

проводнике глубина проникновения волны l0 = 0.

4.11. Волновод как линия передачи электромагнитной волны

Линии передачи – устройства, предназначенные для передачи энергии от генератора к потребителю.

На большие расстояния электромагнитная энергия передается с помощью излучающих систем (антенн). В этом случае энергия распространяется в окружающей среде.

На малые расстояния передачу электромагнитной энергии осуществляют с помощью направляющих систем: двухпроводной, коаксиальной, полосковой линий и волноводов разных типов. В основе направляющей системы лежит способность металлической поверхности направлять движение электромагнитной волны. Ранее нами рассмотрена физика двухпроводной линии передачи электромагнитной энергии низкой частоты (§§ 4.8.3 – 4.9.6), где соединительные провода как линия передачи служат направляющими потока электромагнитной энергии от источника тока (генератора) к нагрузке.

В СВЧ-диапазоне (длины волн λ = (1 ÷100) мм) в качестве направляющей системы используются металлические волноводы. В оптическом диапазоне электромагнитных волн применяют диэлектрические (стеклян-

ные) волноводы-световоды − при полном внутреннем отражении от стенок световода.

Металлический волновод представляет собой две пары параллельных металлических поверхностей, соединенных в виде трубы прямоугольного сечения. Электромагнитная волна распространяется внутри этого волновода.

Вначале на качественном уровне рассмотрим направляющую систему, состоящую из одной металлической плоскости.

4.11.1. Идеально проводящая плоскость как волновод

Пусть из диэлектрика на идеально проводящую плоскость под углом

θ падает плоская монохроматическая электромагнитная волна. Допустим для определенности, что волна имеет вертикальную (параллельную) поляризацию, т.е. вектор E расположен в плоскости падения, а вектор H, соответственно, перпендикулярен плоскости падения. Расположение осей координат относительно векторов E и H показано на рис. 56: плоскость падения волны параллельна координатной плоскости x0z; ось z параллельна проводящей плоскости; ось y направлена по рисунку к нам. След волновых поверхностей падающей волны отмечены полужирными сплошными линиями, отраженной волны – штрихованными линиями. На рисунке показаны мгновенные положения волновых поверхностей, отстающих друг от

друга на расстояние половины длины волны − λ2 , следовательно, фазы

вектора E (также и вектора H) соседних волновых поверхностей отлича-

ются на π радиан.

Так как проводящая поверхность является идеальной, и электромагнитная волна не проникает в эту поверхность, то модуль коэффициента отражения равен 1. Амплитуды падающей и отраженной волны одинаковы по величине

Eпад.0 = Eотр.0 ; Hпад.0 = Hотр.0 .

Рис. 56. Ось y направлена к нам. Ось z совпадает с проводящей поверхностью. В области пространства (1) силовые линии напряженности электрического поля вращаются по часовой стрелке,

в области (2) – против часовой стрелки. Силовые линии магнитного поля образуют нити, перпендикулярные плоскости падения

На границе идеального проводника выполняются граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей вектора напряженности

электрического поля волны Eτ = Ez = 0:

Eτ = Eпад.τ + Eотр.τ = 0.

Результирующий вектор Пойнтинга ( През.= Ппад.+ Потр.) направлен параллельно проводящей плоскости (параллельно оси z). Таким образом, проводящая поверхность служит направляющей переноса электромагнитной энергии.

Результат сложения векторов E и векторов H в пространстве падающей и отраженной волн показан в узлах волновых поверхностей соответствующими стрелками:

1)силовые линии магнитного поля имеют вид бесконечных нитей, направленных параллельно оси y;

2)векторы напряженности электрического поля лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости x0y, причем ориентация этих векторов непрерывно меняется от точки к точке.

Силовые линии напряженности суммарного поля имеют определенную закономерность в пространстве. На рис. 56 проведено сложение вол-

новых фронтов, отличающихся по фазе на π радиан. Детальное сложение при вертикальной поляризации приводит к картине силовых линий, изображенных на рис. 57.

Силовые линии напряженности электрического поля E перпендику-

лярны металлической поверхности (Eτ = 0). В силовых линиях вектора E можно выделить участки, где 1) E перпендикулярен направлению распространения волны ( направлению оси z); 2) участки, где совпадает

с направлением распространения; 3) участки с промежуточным направлением. Рассмотренная волна называется волной Е-типа. Вектор напряженности магнитного поля волны H имеет только перпендикулярную составляющую к плоскости падения (т.е. составляющую Hy). Вектор H поперечен направлению распространения волны. В этой связи, волну Е-типа называют также волной ТМ-типа (поперечной магнитной волной).

E

x

•×

Рис. 57. Ось y направлена к нам. Ось z совпадает с проводящей поверхностью. Поле Е-типа (ТМ-типа)

Аналогичным образом можно качественно описать падение плоской электромагнитной волны с горизонтальной (перпендикулярной) поляризацией из диэлектрика на плоскую проводящую поверхность. В этом случае силовые линии H замкнуты и лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости x0z, силовые линии E образуют нити вдоль оси y. Такое поле называется полем H-типа или ТЕ-типа ( поперечно-электри- ческая волна).

Итак, в E-волне вектор напряженности электрического поля E волны может иметь ненулевые проекции Ex и Ez, а вектор напряженности магнитного поля H имеет только проекцию Hy. В H-волне вектор напряженности магнитного поля H может иметь ненулевые проекции Hx и Hz, а вектор напряженности электрического поля E имеет только проекцию Ey.

Заметим, волна, распространяющаяся вдоль проводящей плоскости, и которая является результатом сложения ( интерференции) плоской падающей и плоской отраженной волны, уже не является плоской волной. Данное обстоятельство обусловлено тем, что, например, в E-волне вектор напряженности E в разных точках имеет разное направление и соответствующие проекции Ex и Ez (рис. 57), тогда как H колеблется только в направлении оси y. Аналогично, волна H- типа также не является плоской волной.

Если теперь поместить вторую проводящую плоскость, расположенную параллельно первой на некотором расстоянии a от нее, то получим устройство уже похожее на металлический волновод. В этом устройстве будет осуществляться переотражение волны от верхней и нижней проводящей поверхности. Разумеется, в реальном волноводе имеются «боковые»

металлические стенки, образующие вместе трубу – волновод. Однако мы несколько упростим задачу, когда в направляющей системе из двух проводящих параллельных плоскостей боковые стенки отсутствуют.

4.11.2. Распространение электромагнитной волны между параллельными идеально проводящими поверхностями

1. Задача – найти характеристики электромагнитного поля, которое существует в диэлектрической среде в пространстве между идеально про-

ны ε и μ. Диэлектрическая среда, в которой распространяется волна, является непроводящей и нейтральной.

Допустим, волна распространяется в направлении оси z и векторы E и H волны не зависят от координаты y. В этом случае в уравнениях Максвелла для ротора векторов E и H производные по координате y равны нулю. Приняв во внимание, что два вектора равны, если равны их компоненты, запишем уравнения для компонент роторов E и H относительно декартовой системы (см. § 4.5.2).

Из уравнения [ , E] = − μμ0 ∂∂Ht имеем:

Волна распространяется вдоль оси z, поэтому полученные шесть уравнений распадаются на две системы независимых уравнений:

-уравнения (1), (3) и (5) содержат компоненты Ey, Hx, Hz, которые описывают волну H-типа ( ТЕ-типа), т.е. поперечно-электрическую волну − вектор E имеет только поперечную компоненту Ey;

-уравнения (2), (4) и (6) содержат компоненты Ex, Ez, Hy, которые описывают волну E-типа (ТМ-типа), т.е. поперечно-магнитную волну − вектор H имеет только поперечную компоненту Hy.

Запишем эти системы уравнений в комплексной форме:

-уравнения, описывающие поперечно-электрическую волну −

волну H-типа

-уравнения, описывающие поперечно-магнитную волну−

волну E-типа

Подставим уравнения (4.159) в третье уравнение системы (4.158), получим:

где k2 = ω2εε0μμ0 – квадрат волнового числа в свободном пространстве.

Уравнение (4.160) описывает поперечно-магнитное поле в направляющей системе – в волноводе из двух проводящих плоскостей. Граничные условия в этом волноводе выражаются в равенстве нулю тангенциальных составляющих вектора E электромагнитного поля на проводящих поверхностях

Будем искать решение уравнения (4.160), описывающее поперечномагнитное поле в волноводе. Замечаем, что в уравнении (4.160) попереч-

ное магнитное поле H y зависит от координат x и z (см. также рис. 57). Уравнения такого типа решаются методом разделения переменных. Иско-

мая функция H y представляется в виде произведения функций, каждая