Вывод закона Ома на основе электронной теории

Постановка задачи: необходимо получить выражение для плотности тока, возникающего в металле под действием электрического поля напряженностью E.

В качестве исходной возьмем формулу, связывающую плотность электрического тока со средней скорость дрейфа электронов:

j=ne<u>. (3.31)

Найдем среднюю скорость дрейфа <u>. Ускорение электрона в электрическом поле определится из второго закона Ньютона:

. (3.32)

Обозначим λ - среднюю длину свободного пробега электронов между столкновениями; средний промежуток времени между столкновениями будет равен:

. (3.33)

Максимальная скорость дрейфа

. (3.34)

Средняя скорость дрейфа равна:

<u>=.(3.35)

Формула (3.35) позволяет получить выражение для подвижности носителей заряда:

. (3.36)

Подставим выражение (3.35) в (3.31), получим:

. (3.37)

Сравним полученное выражение с законом Ома в дифференциальной форме:

. (3.38)

Формулы (3.37) и (3.38) идентичны, если удельное электрическое сопротивление равно:

. (3.39)

Таким образом, по электронной теории сопротивление металлов обусловлено потерями энергии при соударениях электронов с ионами кристаллической решетки.

Так как средняя скорость теплового движения электронов пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры

υ~,

то из формулы (3.39) следует, что удельное электрическое сопротивление также пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры

ρ ~.

Забегая вперед, отметим, что данный вывод не соответствует экспериментальным результатам.

Вывод закона Джоуля-Ленца на основе электронной теории

Постановка задачи: необходимо получить выражение для удельной тепловой мощности тока.

К концу свободного пробега каждый электрон приобретает под действием поля дополнительную кинетическую энергию

. (3.40)

При столкновении вся эта энергия передается решетке и переходит в теплоту.

Обозначим -количество соударений, которое каждый электрон испытывает в единицу времени.

. (3.41)

В единицу времени в единице объема проводника выделяется теплота

=. (3.42)

Подставим в (3.42) выражение для и , произведём сокращения и получим:

. (3.43)

Сравним полученное выражение с законом Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

. (3.44)

Формулы (3.43) и (3.44) совпадают, если удельное электрическое сопротивление равно .

Вывод закона Видемана-Франца на основе электронной теории

Полученный экспериментально закон Видемана-Франца состоит в следующем. Отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной электропроводности не зависит от природы металла и пропорционально абсолютной температуре:

. (3.45)

В электронной теории предполагается, что теплопроводность металлов осуществляется электронами проводимости (электронным газом). Коэффициент теплопроводности частиц идеального газа определяется формулой:

, (3.46)

где - плотность электронного газа,- его удельная теплоемкость. Эти величины определяются выражениями:

, (3.47)

. (3.48)

Здесь R – универсальная газовая постоянная, k – постоянная Больцмана, - концентрация электронов,- масса электрона.

Подставим выражения (3.47) и (3.48) в формулу (3.46); после сокращения получим выражение для теплопроводности металла:

. (3.49)

Электропроводность металла определяется формулой:

. (3.50)

Отношение этих величин равно:

. (3.51)

Так как средняя квадратичная скорость теплового движения равна , то

. (3.52)