Разность потенциалов на концах цилиндра равна

, (3.14)

где E - напряженность электрического поля.

Сопротивление цилиндра выражается формулой

. (3.15)

Подставим соотношения (3.13) (3.14) (3.15) в закон Ома (3.11), произведем сокращения и получим:

, (3.16)

где величина называется удельной электропроводностью вещества.

Так как положительные носители заряда движутся в направлении вектора , то это соотношение можно записать в векторной форме

. (3.17)

Соотношение (3.17) называется законом Ома в дифференциальной форме.

При протекании тока по проводнику в нём выделяется теплота. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за промежуток времени dt выражается экспериментально установленной формулой:

. (3.18)

Формула (3.18) отражает интегральную форму закона Джоуля-Ленца. Получим этот закон в дифференциальной форме.

Выделим в проводящей среде элементарный цилиндрический объем длиной dl и площадью поперечного сечения dS (рис.3.2). Подставим соотношения (3.13) и (3.15) в закон Джоуля-Ленца (3.18), произведём сокращения и получим выражение для количества теплоты, выделившейся в этом объеме за время dt.

. (3.19)

Рассмотрим величину . (3.20)

Её физический смысл – тепловая энергия, выделяющаяся в единицу времени в единице объёма. Эта величина называется удельной тепловой мощностью тока. Подставим выражение (3.19) в формулу (3.20), для удельной тепловой мощности тока получим:

. (3.21)

Или, подставляя в формулу (3.21) j из закона Ома (3.16), получим:

. (3.22)

Формулы (3.21) и (3.22) выражают закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

3.3.Сторонние силы. Э.Д.С. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Возьмем проводник и создадим в нем электрическое поле, например, присоединив его к обкладкам конденсатора (рис.3.3). В проводнике возникнет кратковременный импульс тока, конденсатор разрядится, и ток перестанет течь.Электрический ток нейтрализует помещенные на концах проводника заряды.

Для поддержания постоянного тока в электрической цепи необходимы силы неэлектрической природы, осуществляющие разделение зарядов. Эти силы называются сторонними силами. Природа сторонних сил может быть различна. Например, в гальванических источниках тока сторонние силы имеют химическую природу, в генераторах электрического тока – магнитную. Сторонние силы могут действовать на отдельных участках цепи.

Введем их количественную характеристику: напряжённость поля сторонних сил

. (3.23)

Закон Ома в дифференциальной форме при наличии сторонних сил запишется в виде:

. (3.24)

Рассмотрим неоднородный участок цепи – участок, на котором кроме электрических, действуют сторонние силы. Пусть ток течёт по тонкому проводнику. Тогда плотность тока будет постоянна по сечению проводника, а её направление совпадает с направлением оси проводника.

Обозначим элемент длины проводника; вектори. Преобразуем уравнение следующим образом:

• умножим обе его части на ρ;

• умножим скалярно на ;

• проинтегрируем по длине проводника от сечения 1 до сечения 2.

Получим

. (3.25)

Рассмотрим каждый из интегралов, входящих в выражение (3.25). Первый интеграл

(3.26)

В этом выражении- длина участка,- его сопротивление. Величинаназываетсяпадением напряжения на участке цепи.