2. Системы координат

Координатами (от лат. со – приставка, означающая совместность, и ordinatus – упорядоченный, определённый) называют величины, заданием которых определяется положение точки на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве.

2.1. Прямоугольные декартовы координаты

Для одномерного случая хорошей иллюстрацией координат является термометр. Некоторой точке ставится в соответствие число 0, задаётся единица измерения, определяющая точки 1, 2, 3… - положительные значения координат, которые располагаются на равных расстояниях друг от друга и с одной стороны от точки 0. Отрицательные целые числа -1, -2, -3… определяются симметрично с противоположной стороны от положительных чисел, а дробные вставляются между ними. Произвольной точке А ставится в соответствие одно из этих чисел.

В двумерном случае положение точки на плоскости может быть определено её расстоянием до двух фиксированных перпендикулярных прямых – осей. Эти понятия встречаются уже у Архимеда Сиракузского (его знаменитая фраза «дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир» говорит об этом) и Аполлония Пергского, живших более двух тысяч лет назад, и даже у древних египтян.

Впервые идея о прямоугольных координатах (рис. 21, а) была систематизирована французами Пьером Ферма (1601 – 1665) и Рене Декартом (1596 – 1650). Однако в их формулировках расстояния могли быть только положительными. Значительную роль в математике сыграла важная идея, которая принадлежала сэру Исааку Ньютону (1642 – 1727), о том, что эти расстояния можно считать и отрицательными, Г. В. Лейбниц (1646 – 1716) первым назвал эти расстояния «координатами».

Д

а б

Рис. 21.

Рис. 22.

ля некоторых целей можно использовать неперпендикулярные оси, расстояния от точки0 представляют собой параллелограмм (рис.21, б). Отрезки АМ = 0В = x – абсцисса; ВМ = 0А = y – ордината точки М от двух осей координат 0x и 0y. Ось x выражается уравнением y =0, так как каждая точка оси x удовлетворяет этому уравнению. По аналогии для оси y: x=0.

Систему координат в пространстве определяют три взаимно перпендикулярные плоскости, которые в своём пересечении дают три взаимно перпендикулярные оси x, y, z (z_M– аппликата) (рис. 22). Точка 0 во всех случаях называется началом координат.

2.2. Полярные координаты точки на плоскости

П

Рис. 23.

олярные координаты на плоскости есть расстояние0А = r от фиксированной точки 0 (полюса) и угол =  между прямой 0А и полярной осью 0Р, где r - радиус-вектор,  - полярный угол (рис. 23).

Ось 0Р можно отождествить с осью x прямоугольных декартовых координат. Тогда точка А имеет две координаты (r; ). Иногда можно использовать и отрицательные значения r, считая, что точка (r; ) совпадает с точкой (-r;+180⁰).

Если даны декартовы координаты, то можно перейти к полярным координатам, используя тригонометрические функции, а именно: координаты точек

x = r cos , y = r sin .

П

Рис. 24.

олярные координаты особенно удобны для описания тех движений и преобразований подобия (центральная симметрия, симметрия относительно прямой, гомотетия и т. д.), которые имеют неподвижную точку. Начало координат в этом случае выбирают именно в этой точке. В пространстве аналогом полярных координат служат цилиндрические и сферические координаты.