1.7. Параметрический подход к решению задач начертательной геометрии

При решении любой задачи важнейшим значением является задание необходимого и достаточного числа условий (параметров), которое необходимо при корректной постановке задачи. Если задача поставлена корректно, то у нее конечное число решений. Мы будем рассматривать только геометрические задачи, хотя в общем случае эту методику можно использовать при решении любых задач (экономических, технологических, экологических и т. д.).

Н

Рис. 19.

а интуитивном уровне мы иногда понимаем, что задача составлена некорректно, то есть условий для выделения конечного числа решений недостаточно. Иногда встречаются такие задачи, где условий слишком много, то есть если убрать одно условие, то задача будет иметь конечное число решений. О таких задачах говорят, что условие поставлено слишком «жестко». Разрешить эти сомнения позволяет подсчет параметров. Рассмотрим конкретные задачи начертательной геометрии, начиная с самых простых.

ПРИМЕР 1. В плоскости хОу построить окружность, касающуюся оси х и имеющую центр на прямой а (рис. 19).

Условие задачи «неоднозначно», так как таких окружностей будет столько, сколько точек на прямой, то есть . Действительно, параметрическое число окружности в пространствеЕ₂ равно трем (два параметра тратится на центр и один на радиус), а в задаче – только два условия (условие касания и принадлежность центра прямой). Поэтому необходимо задать еще одно условие, чтобы выделить конечное число решений, например, фиксированную точку на прямой – центр окружности или радиус окружности.

П

Рис. 20.

РИМЕР 2. Через точку В провести прямую, параллельную плоскостям α и β и пересекающую горизонтальную плоскость Н в точке А (рис. 20).

Условие задачи поставлено некорректно, «перезадано», так как параметрическое число прямой в пространстве Е₃ равно четырем, а в задаче связывается пять условий (условие прохождения через точку связывает два параметра - 2+2, так как две точки – А и В; условие параллельности линии пересечения двух плоскостей – один). Действительно, если одну из точек переместить, то задача не будет иметь решения.

ПРИМЕР 3.

1. Через точку А провести прямую, пересекающую две скрещивающиеся прямые а и b.

Известно, что прямых в 3-пространстве четырехпараметрическое множество. Поэтому для того, чтобы построить эту прямую, необходимо «связать» четыре параметра. Условие прохождения прямых через фиксированную точку связывает у последней два параметра. В самом деле, возьмем произвольную (фиксированную) точку и установим взаимно однозначное соответствие (биекцию) между прямыми связки и точками плоскости (каждой точке плоскости соответствует единственная прямая связки, и наоборот). Точек на плоскости , поэтому и множество прямых связки составляет двупараметрическое множество -(или по формулеР=(n-m)(m-r)=(3-1)(1-0)=2). Очевидно, что связали два параметра D=4-2=2, что соответствует формуле D=(n-m)(r+1)=(3-1)(0+1)=2.

В случае прохождения прямых через две скрещивающиеся прямые (в данной задаче две прямые) связывает еще два параметра, так как в пучке прямых, пересекающих прямую b, – , но и на прямойа точек также . Поэтому мы выделяем двупараметрическое множество прямых:, то есть конгруэнцию. Таким образом, связали все четыре параметра:D=4-2-2=0. Задача поставлена корректно.

2. Если условие задачи изменить на следующее: построить прямую, проходящую через точку А и пересекающую три скрещивающиеся прямые.

В данной задаче число условий (как говорят) перезадано для выделения конечного числа решений. Условие прохождения через прямую связывает один параметр, так как в связке прямых , а точек на прямой, поэтому мы выделяем трехпараметрическое множество прямых, то есть линейный комплекс. Комплекс определяется заданием всех прямых, проходящих через фиксированную прямую.

Прямых в 3-пространстве, как известно, , то есть связали один параметрD=4-3=1. Условие прохождения всех прямых через две фиксированные прямые, как было сказано выше, «связывает» два параметра. Таким образом, условие прохождения прямых через три скрещивающиеся «связывает» три параметра. Следовательно, D=4-3=1, то есть выделили однопараметрическое множество прямых, которое называется линейчатой поверхностью, или регулюс. Поэтому условие задачи поставлено некорректно, так как нет конечного числа решений. Однако на примере этой задачи показано, как выделяется линейчатая поверхность.