6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны плоскости:

, где ,

, где .

6.1. Если

–условие параллельности плоскостей.

6.2. Если

–условие

перпендикулярности

плоскостей.

6.3. Если , то

.

7. Расстояние от точки до плоскости

находим по формуле

Типовой пример. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 2; 1), В(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости .

►Пусть – нормальный вектор данной плоскости. Поскольку искомая плоскость проходит через точкиА и В и перпендикулярна данной плоскости, то векторы ипараллельны искомой плоскости. Значит, нормальный векторискомой плоскости можно найти как векторное произведение векторови.

, ,

.

Уравнение искомой плоскости запишется в виде

, или .◄

Типовой пример. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку, параллельно плоскости:.

►, значит, нормаль плоскости будет нормалью плоскости. Нормаль плоскости, значит. Пусть- текущая точка плоскости. Тогда вектор., следовательно, их скалярное произведение,т.е., или, или.◄

§ 4. Прямая в пространстве

1. Общие уравнения прямой

Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.

(1) – общие уравнения прямой .

2. Канонические уравнения прямой

Пусть заданы прямая , точка и вектор.

Произвольная точка лежит на прямой , если

(2) – канонические уравнения прямой .

3десь: – текущие координаты,- координаты точки,– координаты вектора.

Типовой пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

.

► 1-й способ.1) Найдем точку , принадлежащую прямой .

Предположим, что и решим систему

, .

2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и, то заможно принять векторное произведение векторови.

, где .

Искомая прямая определяется уравнениями . ◄

► 2-й способ.Найдем две точки иискомой прямой.

Предположим, что и решим систему

, .

( см. 1 способ решения).

Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и

. ◄

Типовой пример. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку, параллельной оси ОУ.

►Так как искомая прямая параллельна оси ОУ, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор(здесь этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор оси ОУ).

Получаем уравнения прямой :

–канонические;

–параметрические.◄

3. Параметрические уравнения прямой

Пусть , где -параметр, .

Тогда				(3) – параметрические уравнения прямой .

4. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Пусть точки илежат на прямой .Произвольная точка также принадлежит прямой , если векторы ибудут параллельны. Из условия параллельности векторов получаем

(4)	– уравнения прямой, проходящей через две точки

Типовой пример. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и.

►Воспользуемся уравнением (4) -канонические уравнения искомой прямой, где .◄