- •Глава 4 векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •§1. Векторная алгебра
- •§ 2. Системы координат на плоскости
- •§ 3. Прямая на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.
- •3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой
- •4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5. Каноническое уравнение прямой
- •6. Параметрическое уравнение
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)
- •0 1 2 3 4 5
- •§ 3. Плоскость
- •2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5. Пучок плоскостей
- •6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •1. Общие уравнения прямой
- •3. Параметрические уравнения прямой
- •4. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •5. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- •§5. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости
- •§ 6. Линии второго порядка на плоскости
- •§7. Поверхности второго порядка
8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
Пример. Даны прямые и. Требуется найти уголмежду ними.
►.
Обозначения и их смысл смотри на рисунке.
Следствие 1 (условие совпадения прямых). Две прямые исовпадают тогда и только тогда, когдаи.
Следствие 2 (условие параллельности прямых). Две прямые ипараллельны тогда и только тогда, когдаи.
Следствие 3 (условие перпендикулярности прямых). Две прямые иперпендикулярны тогда и только тогда, когда.
Действительно, прямые перпендикулярны не существует. ◄
Пусть прямые изаданы общими уравнениями
|
|
1.
|
2.
|
3.
|
Заметим, что если две прямые заданы своими общими уравнениями и, то могут представиться три случая:
1) – прямые имеют одну общую точку;
2) – прямые параллельны;
3) – прямые совпадают.
Пример. Найти точку равновесия, если функции спроса и предложения заданы следующими соотношениями: и
Типовой пример (расстояние от точки до прямой на плоскости).
Если задана точка , то расстояние до прямойопределяется как
.
►Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точкина заданную прямую. Тогда расстояние между точкамии:
(1)
Координаты имогут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
то, решая, получим:
.
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
.◄
Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)
Пусть дана прямая : , где – ее нормальный вектор, и пусть точка , т. е. . Требуется определить расстояние от точки до прямой .
Пусть — ортогональная проекция точки на прямую . Тогда
.
Очевидно, = {,}. Отсюда
или .
Напомним, что (,) = , где— угол между векторамии ;здесь
=
Отсюда
(,) = и |(,)| = .
Следовательно,
= ==
= .
Таким образом, расстояние от точки до прямой находится по формуле
= =.
Найдем теперь расстояние от начала координат до прямой :
= .
Типовой пример. Найти расстояние от точки до прямой.
►Расстояние от точки до прямой равно:
.◄
Типовой пример. Даны вершины треугольника . Найти: 1) длину стороны; 2) уравнение высотыи ее длину; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины; 4) написать уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно стороне.
► 1) Расстояние между точкамииопределяется по формуле
. (1)
Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим
.
2) Уравнение прямой, проходящей через точки и, имеет вид
(2)
Подставив в формулу (2) координаты точек и, получим уравнение прямой:
Для нахождения углового коэффициента прямойразрешим полученное уравнение относительно : .
Отсюда . Т.к. высота перпендикулярна, то угловой коэффициентбудет равен,.
Искомая высота проходит через точку . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:
. (3)
Имеем ()
Для нахождения длины определим координаты точки, решив систему уравнений () и () :
,
откуда , т.е..
Подставив в формулу (1) координаты точек и, находим
3) Обозначим основание искомой медианы через . По определению, медианаделит сторонупополам. Координаты точкинайдем по формуле
(4)
Чтобы записать уравнение медианы , воспользуемся формулой (2): , , , ()
4) Обозначим искомую прямую . Угловой коэффициент, т.к.и параллельны, то искомая прямая проходит через точку. Воспользуемся уравнением (3):
, ,() ◄
Типовой пример. Даны вершины треугольника ,,. Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины, и медианы, проведенной из вершины, а также острый угол, заключенный между ними
►Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, найдем сначала уравнение стороны треугольника. Получим:
или
Угловой коэффициент этой прямой равен . Так как высота, ее угловой коэффициент можно найти по формуле. Поскольку нам известна точка, то уравнение высотынаходим так:. Получаем:или.
Найдем теперь уравнение медианы . Координаты точки(середины отрезка) находим по формулам:
. Имеем: . Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим уравнение медианы:
или
Координаты точки пересечения высотыи медианынаходим теперь как решение системы уравнений
Имеем: . Наконец, используя формулу , находим острый угол междуи:
◄
Пример. Определить линейную зависимость между полными издержками производства предприятия, изготавливающего однородную продукцию, и объемом производства, если:
постоянные издержки (например, затраты на содержание административных зданий, их отопление и т.д.), не зависящие от объема продукции, составляют (денежных единиц);
переменные издержки (например, материальные затраты) пропорциональны с коэффициентом объемуизготавливаемой продукции. Записать эту функцию для(млн.руб.) и(млн.руб. на одну единицу продукции).
►В данном случае между полными издержками некоторого производства и количествомпроизведенной продукции имеет место линейная зависимость вида:, где– удельные переменные издержки (издержки на одну условную единицу продукции), а– постоянные издержки производства. В случае(млн. руб.) и(млн. на одну условную единицу продукции) имеем уравнение.◄
Пример. Весь объем основных фондов предприятия в 1991 году вырос на 6% по сравнению с объемом 1990 года. Начиная с 1992 года, в течение последующих пяти лет прирост основных фондов составлял 7% ежегодно. Записать формулу роста основных фондов в течение пятилетки.
►Пусть – время в годах, – соответствующий объем основных фондов в процентах. Значение объема основных фондов = 106% соответствует моменту= 1 (1991-му – первому году пятилетки). Ежегодный прирост составляет 7%. К моменту времени этот прирост будет равен , а с другой стороны эта величина равна разности. Следовательно, имеем формулу:или. Здесь принимает значения: 1, 2, 3, 4, 5. График функции на отрезке [1, 5] изображен на рис.◄
у
134
y - 106
106
x