§ 2. Системы координат на плоскости

1. Прямоугольная система координат на плоскости определяется заданием масштабной единицы измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей (ось абсцисс), (ось ординат), пересекающихся в одной точке ,называемой началом координат.

Возьмем произвольную точку плоскости и проведем через нее прямые, перпендикулярные осям координат.

Эти прямые пересекают оси координат соответственно в точках , . Первой координатой точки ,ее абсциссой, называется длина отрезка , взятая со знаком плюс, если отрезокнаправлен в ту же сторону, что и ось, и со знаком минус – если в противоположную. Аналогично, ординатой точки называется длина отрезка , взятая со знаком плюс или минус.

Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называются четвертями. Например, в первой четверти .

2. Полярная система координат определяется заданием масштабной единицы измерения длин, точкой , называемойполюсом, и лучом , называемымполярной осью.

Пусть задана полярная система координат и произвольная точка на плоскости. Полярными координатами точкиназываются числаи.– расстояние от точкидо полюса, называетсяполярным радиусом. – угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом, называетсяполярным углом. Точка с полярными координатами обозначается:. Пределы изменения полярных координат:,. Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы больше, а также отрицательные углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Типовой пример. Построить точку .

►1. Проведем из полюса луч под углом к полярной оси.

2. На этом луче отложим 4 единичных отрезка. Получим точку . ◄

3. Связь между прямоугольными и полярными координатами. Совместим прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось совпала с положительным направлением оси.

Пусть точка имеет прямоугольные координатыи полярные. То

гда получим

	а) формулы перехода от прямоугольных ко- ординат к полярным;
, ,		б) формулы перехода от полярных координат к прямоугольным.

Типовой пример. Уравнение окружности в прямоугольной системе координат имеет вид . Записать уравнение в полярной системе координат.

►Перейдем к полярным координатам ,.

Следовательно, –это уравнение данной окружности в полярной системе координат. ◄

Типовой пример. Пусть задана кривая уравнением в полярных координатах

.

Найти уравнение кривой в декартовых координатах.

►Имеем

, ,,,,.

Итак, – уравнение кривой в декартовых координатах (эллипс).◄

4. Преобразование прямоугольных координат. Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два вида преобразований.

4.1. Параллельный перенос осей координат. Подпараллельным переносом понимают такое преобразование координат, при котором меняется положение осей координат, а направление и масштаб остаются неизменными.

Пусть – координаты произвольной точкив системе координат. Перенесем начало координат из точкив точку. Тогда в новой системе координаткоординаты точкибудут:

.	- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым и наоборот.

4.2. Поворот осей координат. Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Повернем систему координатна угол. Пусть– – произвольная точка плоскости.– координаты точкив системе координат,– координаты точкив системе координат.

Введем полярные координаты точки :– координаты точкив системе координат,– координаты точкив системе координат.

По формулам перехода от прямоугольных координат к полярным имеем:

Но ,.

Поэтому

- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым.

Или . Здесь–матрица поворота.

Найдем значения ис помощью полученных формул. Для этого решим систему уравнений по формулам Крамера:,

,

- формулы, по которым можно найти старые координаты по известным новым.

Типовой пример. Определить координаты точки в новой системе координат, если начало координат перенесли в точку, а затем оси координат повернули на угол.

►Определим координаты точки .

1) в системе координат :
2) в системе координат :

. Ответ: . ◄