- •Глава 4 векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •§1. Векторная алгебра
- •§ 2. Системы координат на плоскости
- •§ 3. Прямая на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.
- •3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой
- •4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5. Каноническое уравнение прямой
- •6. Параметрическое уравнение
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)
- •0 1 2 3 4 5
- •§ 3. Плоскость
- •2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5. Пучок плоскостей
- •6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •1. Общие уравнения прямой
- •3. Параметрические уравнения прямой
- •4. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •5. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- •§5. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости
- •§ 6. Линии второго порядка на плоскости
- •§7. Поверхности второго порядка
§ 3. Плоскость
1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: система координат , плоскость, точкаи вектор. Произвольная точкапринадлежит плоскоститогда и только тогда, когда векторыибудут перпендикулярны, т.е.. Координаты векторов:,. Следовательно,
(1) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору, где – текущие координаты;- координаты точки;– координаты вектора. Преобразуем уравнение(1).
. Получим (2) – общее уравнение плоскости .
Из общего уравнения получаем вектор , называемыйнормальным вектором плоскости .
Типовой пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярной вектору.
►Применяя уравнение (1), получим: ;
или – это и есть общее уравнение плоскости. ◄
2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости , определяемой общим уравнением:.
1. Если ,то.
, то .
Если , то.
Если , топроходит через начало координат.
2. Если , то.
Если , то.
Если , то.
3. Если , топроходит через ось.
Если , топроходит через ось.
Если , топроходит через ось.
4. Если – это уравнение плоскости.
Если – это уравнение плоскости.
Если – это уравнение плоскости.
5. Если, то уравнение плоскостиможно привести к виду:или. Обозначив,
получим (3) –уравнение плоскости в отрезках на осях,
где ,,– точки пересечения с осями координат.
Типовые примеры. Построить плоскости, заданные общими уравнениями:
1.
.
2. .
|
3. .
|
4. .
|
5. .
|
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть даны точки ,,принадлежащие плоскости.
Точка - произвольная точка плоскости. Построим векторы:,
,
.
Так как точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.
(4) |
- уравнение плоскости, проходящей через три точки.
|
Типовой пример. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки,,.
►Пусть - текущая точка плоскости, следовательно,, векторы, а значит их смешанное произведение равно нулю:.
, ,.
Смешанное произведение этих векторов в координатной форме
.
, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем уравнение плоскости :- общее уравнение плоскости, – уравнение плоскости в отрезках на осях.◄
Типовой пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,,.
► Используем уравнение (4):
. ◄
5. Пучок плоскостей
Пусть плоскости ипересекаются по прямойa.
Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей. Уравнение пучка плоскостей: .
Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.
Типовой пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостейи, и через точку.
►Запишем уравнение пучка плоскостей: .
Значениеопределяем из условия, что плоскость проходит через точку:, или.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
или . ◄