§7. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

По заданному уравнению поверхности будем определять ее внешний вид методом сечений, т.е. будем находить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями или с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

1) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и.

2) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью.

Решаем систему уравнений

–

это уравнение эллипса с полуосями

и .

3) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

– это уравнение эллипса с полуосями и.

Эллипсоид – это замкнутая овальная поверхность. ,,– полуоси эллипсоида. Если, то эллипсоид превращается в сферу.

2. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и.

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и.

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений - это уравнение гиперболы, где– действительная полуось, а- мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы.

- действительная полуось, а – мнимая полуось.

Однополостный гиперболоид – это бесконечная труба, которая бесконечно расширяется по мере удаления от плоскости .,,– это полуоси гиперболоида. Полуосьувидим, если построим основной прямоугольник какой-либо из гипербол.

3. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение имеет вид

.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений:

– это уравнение мнимого эллипса.

Следовательно, с плоскостью нет общих точек.

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :.

а) Решаем систему уравнений – это уравнение мнимого эллипса, так как.

б) Решаем систему уравнений

.

Получим точки и.

в) Решаем систему уравнений

;

– это уравнение эллипса, с полуосями и.

2) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений .

Это уравнение гиперболы, где -действительная полуось, а- мнимая полуось.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы,

где - действительная полуось, а– мнимая полуось.

Двуполостный гиперболоид – это две чаши с вершинами в точках и, которые бесконечно расширяются по мере удаления от плоскости.,и- полуоси гиперболы. Полуосииувидим, если построим основные прямоугольники обеих гипербол.

4. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

,

где иэто параметры параболоида,;,

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение точки .

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными

плоскости . Решаем систему уравнений:

–это уравнение эллипса с полуосями и. Приполучим уравнение мнимого эллипса.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение параболы симметричной относительно оси .

4) Аналогично найдем линию пересечения с плоскостью . Это будет параболасимметричная относительно оси. Если, то получаемпараболоид вращения.

5. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение имеет вид

,

где и– это параметры параболоида,;,

Строим методом сечений. 1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение параболы, симметричной относительно оси .

2)Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение параболы, симметричной относительно оси .

3) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости .

а) Решаем систему уравнений

–это уравнение гиперболы, у которой - действительная полуось, а- мнимая полуось.

б) Решаем систему уравнений

( знак левой части изменился, так как по условию) – это уравнение гиперболы, у которой– действительная полуось, а– мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

–это уравнение двух прямых, проходящих через точку .

Гиперболический параболоид – это поверхность, имеющая вид седла.

6. Конус второго порядка. Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение точки .

2) Находим линии пересечения с плоскостями параллельными . Решаем систему уравнений

–это уравнение эллипса с полуосями и.

3) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

4) Находим линию пересечения с плоскостью . Решаем систему уравнений

–это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

7. Цилиндрические поверхности. Задаются уравнениями:

; образующая параллельна оси ;

; образующая параллельна оси ;

; образующая параллельна оси ;

1. Эллиптический цилиндр

направляющая – эллипс,

образующая параллельна оси

2. Параболический цилиндр

направляющая – парабола,

образующая параллельна оси

3. Гиперболический цилиндр

направляющая – гипербола, образующая параллельна оси .

Типовой пример. Построить поверхность заданную .

►Из уравнения следует, что . Возведем обе части уравнения в квадратполусфера,, с центром в точке.◄

Типовой пример. Построить тело, ограниченное поверхностями

.

►Определим вид поверхностей.

–параболический цилиндр ;

–плоскость;

–координатные плоскости. ◄

59