Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

век. алгебр.1- правка.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.05.2015

Размер:

4.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

§ 6. Линии второго порядка на плоскости

1.Эллипс. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и, называемыхфокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусыи, за осьпримем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка.,,и- точки пересечения эллипса с осями симметрии (координатными осями) называютсявершинами эллипса. Отрезки иназываютсяосями эллипса, причем –большая ось, а -малая ось, так как . Параметры и, входящие в каноническое уравнение, называютсяполуосями эллипса, а называетсяфокусным расстоянием эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что. Прямыеназываютсядиректрисами эллипса .

Пусть точка – произвольная точка эллипса. Длины отрезковиназываютсяфокальными радиусами .

Если фокусы эллипса лежат на оси, то большей осью будет отрезок, а малой осью отрезок. Тогда, а директрисамиявляются прямые. Если, то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

Уравнение определяетвырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку. Уравнениеопределяетмнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид:

Типовой пример. Построить кривую .

► Выделяем полные квадраты.

, ,

, .

Это эллипс. ;,.◄

2. Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где.

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках ,, называемыхвершинами гиперболы. Отрезок –действительная ось, –мнимая ось. Параметры и, входящие в каноническое уравнение, называютсяполуосями гиперболы, а называетсяфокусным расстоянием гиперболы. Прямоугольник со сторонами иназываетсяосновным прямоугольником гиперболы. Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот имеют вид:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной полуоси . Очевидно, что. Прямыеназываютсядиректрисами гиперболы .

Пусть точка – произвольная точка гиперболы.

Длины отрезков иназываютсяфокальными радиусами .и

Если гипербола расположена так, что ее фокусы лежат на оси , то действительной осью будет отрезок, а мнимой осью – отрезоки уравнение ее имеет вид.Тогдаи директрисамиявляются прямые, а асимптоты будут те же , что и у гиперболы(1).

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными. Если , то гипербола называетсяравносторонней.

Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:

, .

Если центр гиперболы находится в точке и оси параллельны осям координат, то уравнение ее имеет вид:

или .

3. Парабола. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемойфокусом, и данной прямой , называемойдиректрисой.

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называетсяпараметром параболы.

Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнения параболы будут иметь вид:

Пусть вершина параболы находится в точке , тогда ее уравнения имеют вид: если ось параболы параллельна оси, то; если ось параболы параллельна оси, то.

Типовой пример.Построить параболу . Записать координаты фокуса и уравнения директрисы.

►Из канонического уравнения параболы определим: 1) .

2) Ось параболы -, вершина – точка, фокус –, директриса – прямая.

3) Из определения параболы следует, что параболе принадлежат точки, которые лежат на прямой, параллельной директрисе, на расстоянии от фокуса. ◄

4. Общее уравнение линии второго порядка. Общее уравнение имеет вид

Коэффициенты ,иодновременно в нуль не обращаются. С помощью преобразования системы координат общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к каноническому виду.

Пусть . Получимобщее уравнение линии второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат.

Оно приводится к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат. При приведении общего уравнения к каноническому виду удобно использовать метод выделения полных квадратов.

По коэффициентам уравнения можно определить вид кривой:

если , то это уравнение окружности;

если , то это уравнение эллипса;

если , то это уравнение гиперболы;

если или, то это уравнение параболы.

Типовые примеры.

1) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

►По условию ,уравнение эллипса. Выделим полные квадраты относительнои относительно.

–уравнение эллипса с центром в точке и с полуосями,.◄

2) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

►По условию ,уравнение гиперболы. Выделим полные квадраты относительнои относительно.

–уравнение гиперболы с центром в точке , действительная полуось, мнимая полуось.◄

3) Привести общее уравнение к каноническому виду и построить кривую.

► По условию уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна.

Выделим полный квадрат относительно .– уравнение параболы с вершиной в точке, параметр, ветви направлены влево. ◄

Типовой пример. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси ОХ, если прямая проходит через левый фокус гиперболы и перпендикулярна ее асимптоте с отрицательным угловым коэффициентом.

►Из условия задачи следует, что каноническое уравнение искомой гиперболы имеет вид:

уравнения асимптот , а фокусы.

Так как заданная прямая проходит через левый фокус , то коэффициенты точкидолжны принадлежать уравнению прямой, т. е.

и, следовательно,.

Для гиперболы . Подставив найденное значение, получим первое уравнение относительно неизвестныхи:

Второе уравнение мы найдем если запишем условие перпендикулярности заданной прямой в асимптоте с отрицательным угловым коэффициентом.

Пусть – угловой коэффициент заданной прямой,– угловой коэффициент асимптоты, тогда. Из уравнения прямой следует, что

или – условие перпендикулярности заданной прямой и асимптоты. Таким образом, для отыскания неизвестных величинимы имеем:

Решив эту систему, получим: . Следовательно, искомое уравнение гиперболы имеет вид

.◄

Пример. Два предприятия и, расстояние между которыми равно 200 км, производят некоторое изделие, заводская ценакоторого одна и та же для обоих предприятий. Транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятиядо потребителясоставляют 9 руб/км, а от предприятия– 3 руб/км. Как следует разделить рынок сбыта, чтобы расходы потребителей были одинаковыми. Какому потребителю изделия какого предприятия выгоднее покупать?

►Выберем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в середине отрезка и направив оси координат по лучуи перпендикуляру к нему (рис.3). Определим геометрическое место точек, в которых расходы потребителей на приобретение продукции предприятийибудут одинаковыми. Пусть потребитель находится в точке. Обозначим расстояния:(км),(км).

P(x,y)

S₁ S₂

C A 0 В x

Тогда расходы на приобретение единицы изделия предприятия составят, а предприятия. Так как расходы потребителей должны быть одинаковы, тоили. (*)

Используя координаты точек и, вычислим значенияи подставим их в равенство (*), тогда:

Отсюда получаем уравнение:

или .

Преобразуем это уравнение, разделив сначала обе части его на число 8, и затем выделив полные квадраты в левой части, тогда

или .

Последнее уравнение является уравнением окружности, с центром в точке и радиусом.

Для потребителей, находящихся на этой окружности, , следовательно,, поэтому расходы на приобретение изделия как одного, так и другого предприятия, одинаковы. Для потребителей, находящихся внутри ограниченного этой окружностью круга, следовательно,, поэтому расходы на приобретение изделий предприятияниже. Аналогично можно установить, что для потребителей, находящихся вне этого круга, ниже расходы на приобретение изделий предприятия.

Следовательно, рынок сбыта можно выгодно (экономично) поделить так: а) потребителям, находящимся на окружности, безразлично, изделия какого предприятия (или) покупать; б) потребители, находящиеся внутри указанного круга, покупают изделия предприятия; в) потребители, находящиеся вне круга, покупают изделия предприятия.◄

Пример. Кооператив, объединяющий х работников–исполнителей заказов и одного заведующего, имеет в месяц 3 000 рублей фонда заработной платы. Записать формулу для размера заработной платы каждого сотрудника кооператива, если ее размер одинаков и для каждого работника, и для заведующего. Каков размер заработной платы, если в кооперативе 9 работников – исполнителей заказов?

►Чтобы подсчитать размер заработной платы, следует фонд 3 000 рублей разделить на числосотрудников, поэтому– искомая формула. Эта формула имеет вид (2), следовательно, ей соответствует гипербола, горизонтальной асимптотой которой является ось ОХ, а вертикальной – прямая.

При имеем(руб).◄

Пример. В условиях предыдущего примера предполагается, что кооператив решил производить отчисления по 50 руб. в месяц с каждого сотрудника в фонд дальнейшего развития своего предприятия. Как запишется при этом формула для заработной платы сотрудника?

►Так как теперь каждый сотрудник будет получать на 50 рублей меньше, чем в условиях примера 2, то – искомая формула. Значит ей соответствует гипербола, горизонтальной асмптотой которой является прямая, а вертикальной – прямая.◄

– 1 x

– 50

Пример. Пусть в момент началось производство определенного типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объема выпуска их составляет 5 млн. рублей, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость всех машин этого типа на конец-го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

►Стоимость всех машин указанного типа в –ом году без учета износа составляет 5 · 10⁶ · (руб.). Однако вследствие износа фактическая стоимость их будет значительно меньше. Среди всех действующих к моментумашин имеются такие, которые поступили в начале интервала времени, а также такие, которые поступили только что. Поскольку поступление машин происходило равномерно, то средний возраст всех машин можно считать равным . Амортизация на каждую действующую машину накапливается равномерно. Ввиду 10-летнего срока эксплуатации в данном примере ежегодное накопление составляет 10% (одну десятую часть) стоимости машины. Ежегодные амортизационные накопления на все машины, действующие к моменту , составляют 10% от их стоимости, или . А так как средний возраст всех машин равен лет, то амортизационные отчисления на все машины, действующие к моменту , составят (руб). Вычитая эту сумму из стоимости без учета износа, получим фактическую стоимость всех машин на конец t – го года, т.е. искомая стоимость составляет: (руб.). Это целая рациональная функция второго порядка (квадратичная функция) вида с коэффициентами: ; ; .