- •Глава 4 векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •§1. Векторная алгебра
- •§ 2. Системы координат на плоскости
- •§ 3. Прямая на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.
- •3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой
- •4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5. Каноническое уравнение прямой
- •6. Параметрическое уравнение
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)
- •0 1 2 3 4 5
- •§ 3. Плоскость
- •2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5. Пучок плоскостей
- •6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •1. Общие уравнения прямой
- •3. Параметрические уравнения прямой
- •4. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •5. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- •§5. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости
- •§ 6. Линии второго порядка на плоскости
- •§7. Поверхности второго порядка
§ 3. Прямая на плоскости
1. Общее уравнение прямой на плоскости
Пусть в системе координат задана прямая, проходящая через точку, и задан ненулевой вектор, перпендикулярный прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямойтогда и только тогда, когда,. Из условия перпендикулярности векторов следует, что
(1) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. |
Преобразуем уравнение (1):
(2) – общее уравнение прямой. |
Вектор называетсянормальным вектором прямой .
2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.
Уравнение в отрезках на осях.
Пусть прямая задана общим уравнением.
Если , то прямая проходит через начало координат;
, то ;
, то ;
Если , то– это ось;
, то – это ось;
Если .
можно преобразовать к виду ,
, обозначим
Получим |
(3) – уравнение прямой в отрезках на осях, |
где и– точки пересечения с осями координат. Уравнение (3) используется при построении прямой в системе координат.
Типовой пример. Построить прямую .
►Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях:
. ◄
Типовой пример. Построить прямую .
►Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях
, ,. ◄
3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой
а) Пусть прямая задана общим уравнением, а прямаяпараллельна прямойи проходит через точку. Составим уравнение прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямой, если,. Из условия перпендикулярности векторов получим уравнение прямой.
(4) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой. |
б) Пусть прямая задана общим уравнением, а прямаяперпендикулярна прямойи проходит через точку. Составим уравнение прямой. Произвольная точкабудет принадлежать прямой, если,. Из условия коллинеарности векторов получаем уравнение прямой.
(5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой |
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть точки илежат на прямой. Произвольная точкабудет лежать на прямойтогда и только тогда, когда,,.
Из условия коллинеарности векторов получим уравнение.
(6) – уравнение прямой, проходящей через две точки |
5. Каноническое уравнение прямой
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.
Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор.
Очевидно, точка лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторыи коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:
. (7)
Уравнение (7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют каноническим уравнением прямой.
Заметим, что в каноническом уравнении (7) один из знаменателей илиможет оказаться равным нулю (оба числаиравняться нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Всякую пропорцию мы договоримся понимать как равенство,обращение в нуль одного из знаменателей в (7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если, например, , то, поскольку, из равенствазаключаем, что.