- •Математика в mathcad Лабораторный практикум
- •Введение
- •Лабораторная работа № 1 операции над матрицами в mathcad
- •1. Цель работы
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Теоретическая часть
- •4. Образец выполнения
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 3
- •4. Образец выполнения
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Лабораторная работа № 6
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Лабораторная работа № 8
- •4. Образец выполнения
- •4. Образец выполнения
- •4. Образец выполнения
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Лабораторная работа № 15
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 16
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 18
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 19
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 20
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 21
- •4. Образец выполнения
- •Решение:
- •5. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 22
- •Лабораторная работа № 23
- •4. Образец выполнения
- •5. Варианты заданий
- •Список литературы
- •Содержание
- •Дмитриева Татьяна Владимировна Игошкина Наталия Геннадьевна Максимова Алина Петровна
- •428024, Г. Чебоксары, пр. Тракторостроителей, 101, корпус 30
Лабораторная работа № 23
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Сформировать у студентов знания, умения и навыки решения уравнений численными методами в математическом пакете MathСad.
2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Изучите теоретическую часть. Выполните задание, соответствующее номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте его преподавателю.
2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
титульный лист (Рис. 2);
исходные данные варианта;
последовательность действий для решения задачи;
результаты решения задачи.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Найти корни уравнения точно можно только в сравнительно несложных случаях. Некоторые уравнения содержат коэффициенты, известные лишь приближенно, для них сама задача точного определения корней теряет смысл. Чаще всего приходится говорить лишь о приближенном нахождении корней уравнения и оценке их точности.
Приближенное нахождение изолированных корней уравнения состоит из двух этапов:
отделение корней, т.е. установление конечных или бесконечных интервалов на области определения функции, содержащих только один корень уравнения;
уточнение корней, т.е. доведение их до заданной точности.
4. Образец выполнения
Пример 1. Решить уравнение методом хорд с точностью
Решение.
Построим график функции и найдем точки пересечения его с осью Ox.
Получили два интервала [–3;–2], [1,5;2,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень – [1,5;2,5].
Уточняем корни. Находим первую производную функции f(x)=:
Определяем знаки функции f(x) на отрезке [1,5;2,5].
На данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения.
Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд
Начиная с n=8, значения xn удовлетворяют критерию достижения заданной точности, значит, x8=1,927 является решением данного уравнения.
Пример 2. Вычислить методом касательных корень уравнения на отрезке [1,5;2,5] с точностью
Решение.
Отделяем корни уравнения.
Определяем неподвижную точку. Для этого определяем знаки функции и второй производной на отделенном интервале [1,5; 2,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки
Тогда подвижной точкой будет точка a=1,5.
Вычисляем значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных
Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет значение x4=1,927 при n=4, т.к. 2,36710-5<0,001.
Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд).
Проверяем полученные результаты.
Пример 3. Решить уравнение методом простой итерации с точностью
Решение:
Отделяем корни уравнения.
Приводим исходное уравнение к виду x=f(x). Заменим уравнение уравнением видаf(x)=x-mF(x). Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции f(x) выполнялись условия теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса. Производная на отрезке [1,5;2,5] отрицательна, следовательно, функцияF(x) на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения представлены
Тогда значения функции f(x) будут равны: и.
Поскольку производная на концах интервала [1,5;2,5] положительна () и монотонно возрастает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка.
Найдем производную преобразованной функции и ее значения на концах отрезка [1,5;2,5].
3. Вычисляем значения итерационной последовательности xn=f(xn-1). В качестве начального приближения возьмем, например, начало отрезка, точку x0=1,5.
Критерием достижения заданной точности при решении уравнения методом простой итерации является величина A, равная
4. Строим итерационную последовательность.
Для 24 приближения получили, что |x23–x24|<1,39810-5<A. Отсюда следует, что x23=1,92718 является приближенным решением нашего уравнения.