Zolotaryuk_lectures
.pdf
.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА |
|
81 |
||
5. |
iвняння С |
е ект Джозе сона |
|
|
експериментально це було пiдтверджено 1963-64 .) настуïíi àêò : |
|
|||
 1962 |
роцi Британський iзик Б. Джозе сон тео етично |
÷ â (a |
||
•Перший(напркати надпровiдний.надпровiдник/дiелектрик/надпровiдник)(стацiонарний)струм. e eкт Джозе сонаконтакт.Черезередбаможтунельнийïðîòi
•Другийревищупадiннямiнювання¹ певне(нестапруги.критичнеацiонарний)вiн генерузначення,¹eвисокочастотнеeктнаДжозеконтактiелектромагнiтнесонaз'явля¹ться.Якщо ненстрóвипрльовемпе-
111000 |
(a) |
111000 |
(b) |
S |
|
111000 |
|
||||
111000 |
111000 |
|
|||
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
N |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
S |
111000 |
|
|
|
111000 |
S |
|
|
||
111000 |
111000 |
|
|
||
S I |
|
S N |
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
(c) |
|
|
111000 |
|
111000 |
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
111000 |
|
|
|
|
|
1100 |
|
1100 |
|
|
|
2 nm |
|
1 µ m |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
ξ |
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 |
(e) |
- |
|
|
S |
|
|
||
íаийисðдпровiдникиса);.ìåò5.1:алру(d)Типипорядку-намiсток-äiелектрикпровiднточкнадпровiдно¨Да¹ма,кх- ;контактiввигляд() плiвкплiвкидник;згори;аДжозеNS(b)спричиня¹e)е сендвiчсона:мiстокектбли(a)надпрлокçмiнно¨ь тунельостiальневiдаботовщиниíèпригнiченнямiстокйзвичайонтактНо |
|||||
òï |
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
здовжнiй перер з. |
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.1 Стацiонарний е еêò Джозе сона |
|
|
|||
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
20 nm |
|
|
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
||
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
||
|
|
1111111111111111111111100000000000000000000000 |
|
|
|
|
|
11111111111111111111110000000000000000000000 |
|
|
|
|
(d) |
|
|
|
|
EволюцiярiвняннямконтактуШредiнгера:Джозе сона як квантовомеханiчно¨ системи опису¹ться
|
|
|
∂Ψ |
ˆ |
|
(5.9) |
Хвильова ункцiя запису¹ться iÿê~ ëiíiéíà= HΨêîìáiíàöiÿ äâîõ ñòàíiâ: |
||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
X |
Ck (t)ψk |
|
|
Пiдставляючи рiвн. (5.9) у |
Ψ(t) = |
|
|
|||
|
|
|
рiвн. (5.10) отриму¹мо |
(5.10) |
||
|
|
|
k |
|
|
|
i~ dtk = |
n |
HmnCn(t) , Hmn = Z |
ψmHψˆ ndV |
(5.11) |
||
|
dC |
X |
|
|
|
|
82 ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С
Òóò Hnn - енергiя системи в станi ψn, елементи матрицi Hmn характе-
ризують ймовiрнiстьис.5.2:Eнергперехтичнасистемаодухема джозе сонiвського переходу.
eV 
eV
1
2
ги:ймовiрнiстьПрипустимо,знахщодженнянаконтактi ма¹в цьомумiсцевiдмiннестанi. вiд нуля падiння напру2 - |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
→ |
n. Cn - амплiтуда стану ψn, |Cn| |
2) |
||||||
√ns exp(iθ1,2). оздiляючи дiйсну та уявну частини,отриму¹мо |
|
|||||||||||||||||||
ðiâåíüV 6= 0. Це двохрiвнева |
|
|
|
|
- пару Купера займають або рiвень 1 àáî |
|||||||||||||||
|
iвняння, |
Шредiнгера тодi можна записати. як |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 H11 |
= eV, H22 = −eV, H12 = H21 ≡ K |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i~ |
dC1 |
= eV C1(t) + KC2(t) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dC2 |
= |
|
KC1(t) − eV C2(t). |
|
|
|
||||||||
Обидва |
надпров дни~ dt |
|
|
|
i того ж матерiалу:(5.13 |
|||||||||||||||
|
|
êîâi зр зки зробленонадпровiддногоз |
||||||||||||||||||
|C1|2 = |C2|2 = ns, ns - густина носi¨в |
|
|
струму, тому C1,2 |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dns |
= |
|
2Kns |
sin φ , |
|
|
|
|
4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dθ1 |
|
− |
K |
cos φ − |
eV |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
~ |
~ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dθ2 |
|
− |
K |
|
|
eV |
|
|
|
||||
Òóò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos φ + |
|
. |
|
(5.16 |
|||||
|
− θ1 |
|
|
dt |
|
|
~ |
~ |
|
|||||||||||
|
|
φ = θ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Оскiльки надпровiдний. |
струм через контакт задовольня¹ |
|
|
||||||||||||||||
отже вiн запису¹ться наступним чином: |
|
|
Is dns/dt, |
|||||||||||||||||
сона.тематичнеВеличина ормулювання |
першого (стацiонапного) е екритичнимаДж(5озе.17) |
|||||||||||||||||||
струмомЦе |
|
|
|
|
|
|
|
Is = Ic sin φ . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
óíêöié íàä |
φ = Θ2 |
− Θ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
âèõ |
|
|
|
ровiдникiв що утворюють¹рiзницеюконтактаз макроск.Cталаопiчних |
хвиль |
|||||||||||||||
сонаМ тематичне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ic |
|
|
||||
|
|
ма¹Джозенаступнийсона,ормувигляд:вiнзлежитьдругоговiдвластивостей(нестацiонапн нтактаго)е ¹екта. Дж |
- |
|||||||||||||||||
2eV = ~ |
∂φ |
. |
(5.18) |
|
|||
|
∂t |
|
|
5.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА |
83 |
виразомТут V ¹ падiнням напруги на контактi. Середн¹ падiння напруги да¹ться
äå |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
(5.19) |
|
|
|
|
|
2eV = ~ω , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
зашунтованаКiрõãîiòíì àдельго випромiнюваДжозесонiвськняогоконтактконтакту. (RSJ): |
|||||||||||
ωЗгiдноезистивно- частотправиломелектромаг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Solving |
|
|
above |
|
yields |
|
~ |
∂φ |
|
|
|
|
(5.20) |
|
|
|
|
|
2eR ∂t . |
|
|
|
|||||||
|
the |
|
ODE |
IB = Ic sin φ + |
|
|
|
|
||||||
|
|
ïàäiííÿVнапруги(t) = R IB + I−c cos ωt , ω = |
~ RqIB − Ic . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
I2 |
I2 |
|
2e |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
B |
c |
|
|
|
|
|
|
||
Середн¹ |
|
|
|
на контактi: |
|
|
|
|
|
|
|
(5.21) |
||
¯
нийконденсатора,КонтактувиглядiДжпаралельноозеякта с браженопiдпiд'¹днанвпливом2eV =ñõ.çîâí~резистора,5ω.3... струмунадпровiдногоможебутипредставлеелемента(5.22)-
IB
|
|
|
|
IR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Is |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нямис. ¹мностi5.3:Еквiвалентра.хгос емаа,точковогоC |
|
контакта ДжVонтзе сона з урахуван- |
||||||||||||||
Згiдно законiв Кiр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
провний струм |
через к |
|
àêò äîðiâíþ¹: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQ |
dV |
|
||||
Переписавши |
|
вираз iз врахуванням заêîíó Îìà |
(5.23) |
|||||||||||||
|
öåé |
IB = IQ + IR |
+ IS , IQ = dt |
= C dt . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = RIRрiзницiтаормулаз |
||
(5.17)-(5.18), отрима¹мо рiвняння що опису¹ часову еволюцiю |
||||||||||||||||
φ(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C~ |
¨ |
|
~ |
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввiвши безрозмiрнi змiííi |
|
|
|
чином |
|
|
|
|
(5.24) |
|||||||
|
|
2e |
φíàñò+ óïíèìφ + Ic sin φ = IB , |
|
||||||||||||
|
|
|
2eR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rr
t → tωJ , ωJ = |
2eIc |
, α = |
~ |
, γ = IB /Ic . |
(5.25) |
C~ |
2eIcR2C |
84 |
ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С |
|||
ï |
|
рiвняння |
динамiку рiзницi аз (рiвняння Джозе сона) в |
|
áåзрозмiрн |
виглядi: |
|
|
|
|
репишемоданому проаналiзуватидисипацi¨ |
|
||
нянняТепер.намВ |
трiбнозаписi |
˙ |
режими даного(5рiв.26)- |
|
φ + αφ +можливisin φ = γдинамiчнi. |
||||
|
озмiрногостемаКонтрiвнянняактоеiцi¹нтДж(5.26)озегра¹можнарольсонапереписатибезрозмiрного.як нелiнiйнав наступномузовнiшньогодинамiчнавиглядi:струмусиа - |
|||
Безрозмiрне5без.2.2 |
γ |
|
α |
|
|
¨ |
˙ |
|
∂U (φ) |
|
|
|
ìîïîñòiéжливихгязчноюàстинкпiданичастотою,вплèввомстеми:потенцiалiпостiйноготипумоментупральна(5обер.до27)- |
|||||
танняшкаЗвiдсиабо.очевидноюОчевидмаятφ + αφ = − |
∂φ |
, U (φ) = 1 |
− cos φ − γφ . |
|||
|
|
исипацi¹юанал |
|
|
||
|
|
äâà |
|
|
|
|
|
íèмаятникмистза¹ |
|
|
|
|
|
• |
обертання |
|
ç |
|
|
˙ |
на контактi; |
|
|
|
|
φ 6= 0 - ¹ падiння напруги |
|
параметрiвНа • исстацiонарний.5.4зображенст |
дiаграмаφ = arcsinγiснуваннянадпровiднийрезистивнийвищезгаданих.станiв а площинi |
|||||
|
(α, γ). ßêùî γ > 1 òî òiëüêè |
(обертанíя маятни- |
||||
|
α |
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
NO LIMIT CYCLE |
|
|
|
|
d φ/ dt |
|
|
|
|
φ |
|
|
|
−π |
π |
dφ/dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
φ |
ñòèíièñ. |
5(н.4:дДiаграмакривою) |
можливихiсну¹лише атракторiвдинстiйкийсистеми−π ан - (5положен.26). В |
πяверхнiйiвновагича- |
|
|
|
LIMIT CYCLE |
γ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
âiäïîâiäêà)(5φ =.27)можливийarcsinγпевномувж๠оберт.ма¹Пiд.Цеаннюмiнiмумiвкривоюнескладномаятiсну¹.икаЯкщопомiтити,щезстiйндинбостiйкийюзачастако¨тоюанумови-. граничпотенцiалíий циклзрiвнщо.
вiднийпри ста переходить резистивний0 < γчерез< 1, тобiприуркацiюiксованомутипусiдлоα надпро-вузол-
γc = γc(α). Äëÿ α < 0.2 певним наближенням γc 4α/π.
.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА |
85 |
|||||||||
5.2.3 |
онтакт Джозе сона |
|
|
|
|
|
|
|||
ямкуДовгийвидзначнооб'¹ктвженийперевищунапр¹ямiрозмосi ядкудовгимнапрямкуонтакт(обтосi його розмiр в цьо- |
||||||||||
муозгляненапр |
|
|
|
X |
йогоактомопису¹),Джозеяк(рiзницяпоказаносона. Ненааз |
|||||
|
ïîð , ùî îíò |
Y |
||||||||
хвильовихскларис. 5но.5. Данийздогадатисяункцiй надпровiдщобудемопараметрикiв)азивати |
|
|||||||||
îîðäèíàò |
|
|
|
φ áóäå óíêöi¹þ íå ëèøå ÷àñó, àëå é |
||||||
|
x, y. озглянемо довгий контакт як полоскову лiнiю передачi. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IB 
+Φ0
− Φ0
IB
проникненнязоб аженняпущ ння:довгого контактa Джозе сона. |
|
Вiзьмемоис. 5до.5:увагиСхематичненаступнi |
INSULATOR |
SUPERCONDUCTOR |
|
d |
|
SUPERCONDUCTOR |
|
• Товщинаглибиннадпровiдниковських х("берегiв"набагато бiльша ¨хнiх Лондонiв-
|
|
|
|
λ1,2); |
|
|
|
• |
|
граничними е ектами; |
|
|
|||
|
|
знехтувати е ектами дисипацi¨ т |
зовнiшнiми струмами. |
||||
|
Можнаiндуктивнiсть |
|
|
|
|||
Введемо |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L тa ¹мнiсть C на одиницю довжини: |
|
||||
|
|
µ0 |
|
ǫǫ0d1 |
|
|
|
äå |
|
L = |
|
(d + λ1 + λ2) , C = |
|
, |
(5.28) |
|
d1 |
d |
|||||
d1 - овщинанапрзалежнiстюямкуонтактв напрямку Yдiелектрична(внабагато менша вiд довжини хтy¹мо так ж X), ðiçíèöiǫ - вiдноснааз вiд оорди атисприйнятливiсть. Зне-
контактонтиведенняакомуу.випарiвнянняку довгийСконтактчереземою,використжна розрiзати"перпендикуання еквiвалентно¨- внаслiдоклярногеометрi¨схемисi |
||
 |
|
y |
на тоненькi полоси товщиною |
|
X |
|
|
îâèì |
онтсх акт жнумозобржнаякихженоюпредставитиможнаPисвважатияк.5.лiнiю6.точкпередачi |
||
щок опису¹тьсяактом.Тäеквiвалентноювесьдовгийк |
x |
|
86 |
Í ñòóï |
ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С |
|||||||
|
ì êð êîì áóäå |
ти рiвняння Кiрхго а для гу |
ñòðó |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
àконусонaелектромагнiтно¨.Отрима¹монаступнуiндукцi¨стинсистемуамате |
||||
ìiватичниходиíèв цюразiвдîвжинизаконадля i(x,записt)Джозе, |
|
||||||||
|
|
|
|
Ldx |
Ldx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(x,t)
Cdx
ча¹ис.¹мнiсть,5.6:Еквiвалентнаiндуктивнiстьхемат
V |
Cdx |
надпровiднийдовгогоконтактуI dx елементДжозе.Зовнiшнiсона. Схемаструмивклю- |
|
|
c |
dx
рiвнянь:опори поки iгноруються. |
|
|
|
|
IB òà |
||||||
|
|
рiвнянь: |
|
|
∂V (x, t) |
|
|
|
|||
|
i(x, t) − |
(x + x, t) = C x |
∂t |
|
+ Ic |
x sin φ(x, t) , |
29) |
||||
|
|
V ≡ V (x + x) − V (x) = −L x |
∂i(x, t) |
, |
0 |
||||||
|
|
|
∂t |
||||||||
ступнуТ |
|
∂φ(x, t) |
= |
2e |
V (x, t) . |
|
|
|
|
(5.31) |
|
|
|
∂t |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Ic |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
жини, a- густина критичного Джозе сонiвського струму на точкдиницю дов |
|||||||||||||||||||||||||||
мувавшиV (x, t), V (x + |
x, t) - ïà |
iння напруги у вiдповiдн х |
àõ. Ñïðÿ |
||||||||||||||||||||||||
системуx → 0 замiнивши вiäïîâiäíi ðiçí öi |
õiäíèìè, отриму¹мо на- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂i |
= |
−C |
∂V |
|
− Ic sin φ |
2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂t |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂V |
= |
−L |
∂i |
, |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂φ |
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.3àìíÿ4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5í |
рiвняннядляПiдставившиописаннясинусрiвнянняелектроордон:дин(5.33)àìiêèò =(5â.ê34)îнтактахVâ .(5.32)Джозе2 отрима¹мосона -основневжвiдомерiвня |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂2φ |
|
1 ∂2φ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
íкахнямрiвняннiвикористовормул (5iã.ó33)ðóваласьют(5нü .наступнi34):àñòóïíà âëастивiсть,iзично важливiяк отриму¹тьсяпараметри:послiдов(5.36)- |
|||||||||||||||||||||||||||
íèì2Âзастосуварозрахуданому |
|
|
|
|
∂x2 − c¯2 ∂t2 |
= |
|
λJ2 |
sin φ . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂2V |
|
|
|
|
~ ∂2φ |
|
||||||||
|
∂ ∂i |
|
|
|
∂ ∂i |
|
|
= − |
∂ |
|
|||||||||||||||||
|
∂t ∂x |
= ∂x ∂t |
= −L ∂x2 |
∂t „ |
2eL ∂x2 « |
(5.35) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА |
|
|
|
|
87 |
||||||||||||||||||||
• Джозе сонiвська глибина проникнення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ0 |
|
|
|
|
|
|
|
d1Φ0 |
|
|
|
|
|
||
я¹евсобоюнапрямкупросторовèé ìàсштаб глибини, на яку проника¹ |
ìàãíiòíå |
||||||||||||||||||||||||
ïîÿâë |
λJ = r 2eLIc |
= r |
2πLIc |
= s |
2πµ0Ic(d + λ1 + λ2) , |
|
|||||||||||||||||||
бини проникненняXмають. В ойзнч ченняяктиповi значення Лондонiвсько¨ |
ëè- |
||||||||||||||||||||||||
λJ 0.1mm. |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1,2 5 × 10−6m, òî äëÿ λJ ìà¹ìî |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• Квантсисеìагнiтноговеличин потоку:СI: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в системi величин С€ΦÑ =: |
π~ |
= 2.064−15sec |
× |
Volt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Φ0 = |
|
π~c |
= 2.064−7Gauss × sm2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• Швидкiсть Свiхарта (Swihart) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
аболямаксимальнатиповихпaрaметрiвшвидкiсть електромагнiтних хвиль в контактi. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
c¯ = 1/√LC = cs ǫ(d + λ1 |
+ λ2) , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
порядка 5 вiдсоткiв |
|
ǫ îñòi4,ñâiòëàd = 2. |
× |
10−7 ìà¹ìî c¯ |
≈ |
0.05c, тобто |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• Джозе сонiвська плазменн частота: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πIc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íèì чином |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
рдинатуамплiтуднаступих хвиль. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ВвiвшимiнiмальнабезрозмiрнiчастотaтамалкоîωJ = c/λ¯ J = r CΦ0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x
няОбговоримо5одержу¹мо.довiльному2.4довгомузеЕлектромагнiтнiб взрозмiрнесонапостiйномуконактiць. роздiлiДжозерiвняннямагнiтx →детальнозбудженняíîонаСму., (3tполi,озглянемо→.1)ìîtωжливiущовже, .направленодовгомувiдомiйелеконтакт,ромагнiтнiнамщовздовжконактiормiзнахзбуджен.îдитьсясi(5Джо.37)- -
λJ
J
Запишемо узагальнений iмпульс пари Купера: |
OY . |
~ θ = 2mvs + 2eA, |
(5.38) |
88 |
ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С |
|||||||
m |
vs - |
|
|
|
A |
|
|
|
деДане -рiвняння¨¨маса, отриму¹ться з |
|
- векторнийдлянадпровiдногопотенцiалстумумагнiтного поля. |
||||||
|
|
швидкiсть,виразу |
|
|
||||
вздовжякий повиненнадпровiдниконтурбó |
|
Js |
|
|
eρ |
|
|
|
|
= 2eρvs = m (~ θ − 2eA), |
|
|
|||||
|
,тизображгрдi¹нтноеного-наступi вiддаленiрiантним.5íèé.7. Заув3 Проiнтегруж мо, що¹моточкирiвняння (5.38) |
|||||||
ле,атьтобто |
|
|
ах поза межами областей, куди проника¹ магнiтне1 − 4 ïîëå- |
|||||
1 |
2 (òàê |
3 |
4) |
|
дна на дну на вiдстань порядку |
|||
d + λ1 + λ2. Iнтегрування |
|
|
резуль ат: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
d+λ + λ |
|
ис. 5.7: Джозе сонiвський перехiд бiля краю, сiримпроникольором1 2 |
заштрихполе- |
|||||||
I
H |
2 |
4 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x+dx |
|
|
|
|
надпровiднийде було взято дострум,увагитобтоте,що iнтегрóâàí |
я велося по областi, äå |
iäñóò(5.39)ié |
||||||||||||
d + λ1 |
+ λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
íåþ, перех |
๠ìàãíiòíå |
. |
||
вано дiлянки надпровiдникзображтовщини iзоляторав якi. |
||||||||||||||
Блакитним ольором |
|
|
|
åíî øàð λ1 2 |
|
|
|
|||||||
Z1 |
θdl + Z2 |
θdl = ~ Z1 |
Adl + Z2 |
Adl |
|
|
||||||||
3 |
|
4 |
|
|
|
|
2e |
3 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величину |
|
|
|
|
vs ≡ 0, a поблизу бар'¹ру vs dl. Ââажаючи |
|||||||||
ближено¨ ормули: |
малою, i нехтуючи |
|
|
димо до наступно¨ í - |
||||||||||
|
òå,~ |
I |
Adl ≡ ~ dΦ = θ3 |
− θ1 + θ2 − θ4 , |
|
|
||||||||
Беручи до уваги |
2eùî |
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
(5.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
θ3 − θ4 = φ(x + dx) òà θ1 − θ2 = φ(x), отриму¹мо |
|||||||||||
|
|
|
|
dφ |
|
2e dΦ |
2π dΦ |
|
|
|
||||
Таким чином встановле о |
çâ'ÿç= îê ìiæ= |
ïîò |
îêîì. магнiтного поля |
|
(5.41) |
|||||||||
|
|
|
|
dx |
|
~ dx |
Φ0 |
dx |
|
|
|
|||
магтаiтногорiзницеюполя азìàãíiòграницяхоюiндукцi¹юонтакта. Беручи до уваги зв'язокчерезпо- |
||||||||||||||
òêîкунтур |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
3Toбто е змiнюватися при замi |
i векторного ( |
B та напруженiстю магнiтного |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A) та скалярного (U ) потенцiалiв: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A → A + χ, U → U − χt . |
|
|
|
||||||||
5.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА |
|
|
89 |
||||||||||||||||||
z-компоненти та скорист |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.32)-(5.34), одержимо |
||||||||||||
зп кляплощинимiж: рiзницеюконтакту:аз та компонентою магнiтного поля,можперпендикумо зап сатилярноюзв'я- |
|||||||||||||||||||||
äî |
H dΦ = By (λ1 +λ2 |
+d)dx = µ0Hy (λ1 +λ2 |
+d)dx |
|
|
|
|||||||||||||||
магнiтнеЦей |
Hy (x, t) = 2e(λ1 |
|
~ |
|
|
|
|
∂φ x, t |
. |
|
|
||||||||||
+ λ2 + d)µ0 |
∂x |
|
|
||||||||||||||||||
виразполе¹наслiдком |
iвнянь |
Максвеларiвняннямвст |
ановлюи |
¹ закон, згiдно (5якого.42) |
|||||||||||||||||
äëÿ |
|
|
|
H(x, t) проникавшись¹онтакт. озписавши рiвняння Максвела |
|||||||||||||||||
|
|
|
∂D |
∂Hy |
|
∂Dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂V |
|
C~ ∂2φ |
|||
|
|
|
використано |
ñïiââiäíошення для |
|
|
|
|
|
= jc sin φ+ |
(5.43) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
rotHTyò áóëî= ∂t +j = ∂x |
= |
∂t |
+jz |
= jc sin φ+C/d1 ∂t |
2ed1 |
∂t2 . |
|||||||||||||||
щення (iнду |
öi¨) |
|
|
|
|
|
|
|
z-компоненти електричного змi- |
||||||||||||
густиБеручиа дострумуувагинауважиморiвняннядиницю(5площi,.41),одержимо те саме рiвнян я С |
(5.36), äå |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Dz = ǫǫ0Ez = ǫǫ0V /d = CV /d1 . |
|
||||||||||||||||
ÿê |
|
= jcd1 |
|
|
|
|
|
|
jc, та на одиницю довжини, Ic, ïîâ'ÿç íi |
||||||||||||
Ic |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лi еаризуючиФерелла. За рiвн-Пранджа.(5.36)щонавколо(диврiвняння.[4). |
(5.36) ¹, по сутi залежним |
÷àñ |
|||||||||||||||||||
ðiâíÿííÿ äëÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = 0, отрима¹мо наступний вигляд |
||||||||||||
|
|
|
|
φ(x, t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нЯкщоасум.вiдсутня)магнiтнiозв'язуючиполяотримуданедосить¹морiвωJ φtt − λJ φxx + φ = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
наступнуяннямалi,тостацiонарномунаближенняпоедiнку (5випадку.44)¹ цiлком(залежнiстьсвiдвиправда(5.44) |
||||||||||||||
÷èть про те що магнiтне поле проника¹ в |
онтактφ íàexp(глибину−x/λJ ), ùî |
|
|||||||||||||||||||
плазмонiв)шика¹ще йконтзалежнiстьактузадовiльняютьвиглядiвiдчасумалоамплi(5.44), |
áà÷ |
|
|
|
|
|
λJ |
ïîëå ïðî |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д ихмохвильщозмiнне(т.зв.магнiтнеозе.сонiвськихВрахував |
|||||||||
ню:всього |
êîíòφ(x, t), H( , t) |
|
|
наступ омущодисперсiйномурозповсюäæуютьсяспiввiдношенвздовж- |
|||||||||||||||||
|
|
exp i qx |
− ωt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
СЦешисьвжконтактiОчормою€ |
|
|
|
ω(q) = ±q |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ωJ |
+ c¯ q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
стивост3.1наступнетриормулi(абоа¹моповнетiнульовемагнiтнихпадiння(3ж.вже11)плазмони,рiвняннясередн¹длявiдомiнапруги:полiв)безрозмiрногоСале€падiнаближення(5кно¨дальнiiз.36)нявидозмi.напругиСкориставрiвíхвилi(5еноюяння.44)на-. |
||||||||||||||
å)по.виднонеВонирезультатамисво¨мдi¹.(дивДлящобудутьiми. такiiзичнимбiльшиxявнийповиннiстворюватихвилiроздiвиразaмплiтурозв'язуватидаватимуть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− |
2π |
c¯ |
(v/c¯)2 |
|
1 |
n |
" λJ |
−(v/c¯)2 1 |
|
# |
|||
|
|
; k |
|||||||||||
ннящо ПривмагнiтнепiсляперевищеннiусередненняполеV = ïроникзовндастьiшнiма¹ контактоймагнiсамий |
|
|
|
− |
|
, |
|||||||
|
Φ0ωJ |
|
2vk |
|
|
|
x |
|
vt |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
− |
|
|
||
|
|
p |
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
нимувиглядiнульполем. |
Джозепевного |
сонiвськихкритичноговихорiвзначе(5.45)- |
||||||
|
|
|
|
ò |
|
||||||||
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
що ¹ по сутi солiтонами рiвняння С€: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
татиабо ланцюжкамироздiлу3.1)φ.(x,вихорiв,Падiнняt) = 4 arctan "exp |
|
|
± |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
!# . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
λJ |
|
1 |
|
|
|
|
v/c¯)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(íåã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
кванттисолiтсутiвж |
2kp1 − (v/c¯) K(k)/ωJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
vt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
створенеi спiральнимиспiральноюхвилямихвилею(див,дорiвню¹.резуль(5.46)- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щонапруги,¹посу |
|
|
|
|
|
|
(антисолiтонiâ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
2π |
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
" λJ |
−1 |
|
|
|
−v/c¯ 2 ; k# |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v/c¯)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
рiопредстдомавл |
|
|
|
|
|
Φ0ωJ |
|
|
|
|
2v/c¯ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
vt |
|
x0 |
|
|
|
|
iмпульсiв(5з.47)пе- |
||||||||||||||||||||||||
|
¹ собою ïîñëiдовнiсть позитивних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
декiнулуконтактiяьк.(5.Середн¹.Спiральнi41),хсолiтонiвнескладнонесепадiнняточнохвилiзнайтинапругидинскiнченномудодатнiйщотакомудин.солiтонконтактi(вiд'¹мний)випадку(анпо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
магнiтногорисн)ланцюжковуючиескiнченномупотокy:яорвiд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вiдрiзнятиметьс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Викбудуть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вглiйськперех |
|
|
|
|
|
|
Φ = Z−∞ |
dΦ = ±2e (φ(+∞) − φ(−∞)) = ±Φ0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îuxконтактув-вiльно¨потiк),актiенаДжозеспiральнiåðгi¨озе сонадиницюхвилiназиваютьдовжини,люксоннимилюксономяказапаса¹тьсяхвилями(вiдан.- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЗапишемоEнергiяЧерезогодi:цесловадсолiтвгоггустину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
wJ = |
|
Z0 |
P (t′)dt′ |
= Z0 |
|
|
I(t′)V (t′)dt′ |
= Z0 |
|
Ic sin φ + d1 ∂t′ |
V dt′ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ∂V |
|
|
|
||||||
= |
|
2e |
|
|
Z0 |
sin φ ∂t′ dt′ |
+ d1 |
|
2e |
Z0 |
φ(t′) ∂t′ dt′ |
= d1 |
|
2e |
|
2t + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ic~ |
t |
|
|
|
∂φ |
|
|
|
|
C |
|
~ |
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
∂φ |
|
|
|
|
C |
|
~ |
|
|
2 |
φ2 |
|||||||||||||||
Енергiя,+ |
jc~ |
(1 − cos φ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ùî запаса¹ться в магнiтному полi, запису¹ться наступним чином:(5.48) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПовнаwH = |
|
|
|
2 |
|
= |
2 |
|
|
|
|
2edz µ0 |
φx , |
|
dz = d + λ1 + λ2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
µ0H2dz |
|
|
|
µ0dz |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
густина |
âiëüíî¨ åíåðãi¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.49) |
|||||||||||||||||||
wçàïà= 4µ0e2dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
w = wJ + wH ма¹ наступний вигляд: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ |
4e2d1 |
2e (1−cos φ) = |
|
2e |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
+ 1 − cos φ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
~2 |
|
|
|
|
φx2 |
|
C |
~2 φt2 |
|
|
jc |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jc~ |
|
|
λJ2 |
φx2 |
|
ωJ2 φt2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ââiâøèñà¹òüñÿбезрвîçìêîíiðíiòàêòiчасдовжта координатуèíîþ |
çãiäíî |
(5.37) çàïèøåìо енергiю,(5.50)що |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2e J |
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W = |
|
|
|
x |
|
2 |
t + 1 − cos φ dx = jc2e J |
W¯ |
. |
|
|
(5.51) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j ~λ |
|
L/λJ |
|
φ2 |
+ φ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~λ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||