Zolotaryuk_lectures

102

ÎÇÄIË 6. ÒÅÎ Iß ÇÁÓ ÅÍÜ

X

α=0.005

4

3

β=0

µ=0.5

2

0.005

1

0.0035

0.004

0.0075

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

−1

u

−2

Fixing

−3

points

−4

−5

γ=0.002

−6

0.0032

−7

ис. 6.2: Траекторi¨ ру у люксона на азовiй площинi при α = 0.005,

õ значеньнамiкрозак. оротку дорiвню¹

βeíeðãiÿ= 0, µñîëiòîíà= 0.5 длящорiзниналiта¹

γ

2

E(v) − E(0), äe

Тодi максимальна повнаeнeргiя,енерпоãiялинутсолiтона,мiкрозакороткоюaйого енергiя спокою.

√

E(v) = 8/ 1 − v

E(0) = 8

2µ, òîìó

Пiдставляючи E(v) − E(0) ≡ 8

1/ 1 − v2

− 1 = 2µ.

p

v = v∞ у вищевказане рiвняння отрима¹мо:

α

γc =

π p8µ + µ2.

(6.56)

îçäië 7

Нелiнiйне рiвняння

Шредiнгера

Нелiнiйне рiвняння Шредiнгера (Н Ш) ма¹ наступний вигляд:

Шукатимемо

у виглядi

2

= 0 ,

1)

ðîçâ'ÿçîêiψt + ψxx

+ 2ψ|ψ|

ψ(x, t) = ρ(x − vt)eiθ(x,t) ≡ ρ(z)eiθ(x,t).

2)

ψt

= (−vρ′ + iθtρ)eiθ ,

3)

ψx

= (ρ′ + iθxρ)eiθ ,

4

ψxx

= [ρ′′ − θx2 ρ + i(θxxρ + 2θxρ′)]eiθ

5

ρ′′ − (θt + θx2 )ρ + 2ρ3 = 0,

6)

Найпростiшим виразом для(2θ азовогоv)ρ′ =автоматичноθмножникρ . ¹ наступний

(7.7

x

−

xx

Toдi друге рiвняння задовiльня¹ться

для будь-якогоθ = qx−ωt.

якого

ρ(z) y

ρ′, ρ′′ = 0 для усiх z умови v = 2q. Перше рiвняння набува¹ вигляду

6

ρ′′ + (ω

−

2

)ρ + 2ρ

3

= 0 .

q

аним розв'язкневiдомiцього рiвняння буде

ункцiяНескладновиглядупомiтити, що локалiзо

3

ρ(z) = ρ0 cosh−1(µz). Беручи до уваги що ρ′′ = ρ0µ2[cosh−1(µz)−

2 cosh−

(µz)], одержу¹мо наступнi рiвняння на

êîå iöi¹íòè ρ0 òà

µ:

Можна

2

2

Ø:

записати односолiтоннийµ = q

−ðîçâ'ÿçîêω , µ =Í ρ0 .

орма якого залежитьψ(x, t) =

ρ0

ei[qx−(q

2

2

(7.8)

вiд двох параметрiв

−ρ0 )t] ,

cosh[ρ0(x

− 2qt − x0)]

103

ρ0 òà q.

104

ОЗДIЛ 7. НЕЛIНIЙНЕ IВНЯННЯ Ш ЕДIН Е А

Додаток A. Eлiптичнi yнкцi¨

Eлiптичний iнтeграл

Z φ

Amïëiòyäà

F (φ; k) =

dθ

≡ ζ , k2 < 1 .

(7.9)

p

0

− k

2

2

1

sin θ

Z0

(ζ; k) = sin φ , n(ζ; k) = cos φ ,

0)

K(k) =

p1 − k2 sin2 θ = Z0

√1 − x2

√1 − k2x2 .

(7.11)

π/2

dθ

1

dx

φ

dθ

=

a+k =

2b/(a + b) ,

√

2

F (φ/2, k) , a > b > 0

b

F (ψ, 1/k), sin ψ =

−

, b > a > 0.

Z0

√

p

a + b cos θ

a+b

1 cos x

2)

2

q b

|

|

2

a−b cos x

φ

dθ

1

arcsin(p sin φ);

1

,

Z0

=

F

p

p

1

p2 sin2 θ

3)

φ

p

−dθ

=

1

φ;

p

Z

0 1 + p2 cos2 θ

1 + p2 F

1 + p2 ! ,

4)

p

1p

φ

pp

sin φ!

# .(7.15)

dθ

2

1

Z0

=sn

F "arcsin

;

ppp

−

p

p2 cos2 θ

−

1

p2

−

1

p

p

sn

(ku, 1/k) = ksn(u, k)

ζ3

(ζ; k) = ζ − (1 + k2)

+ O(ζ5) ,

6)

3!

ζ2

ζ4

(ζ; k)

=

1 −

+ (1 + 4k2)

+ O(ζ6 ) .

(7.17

2!

4!

d

sn(ζ; k) = n(ζ; k)dn(ζ; k) ,

8)

dζ

d

(ζ; k)

= −sn(ζ; k)dn(ζ; k) .

(7.19

dζ

106

ОЗДIЛ 7. НЕЛIНIЙНЕ IВНЯННЯ Ш ЕДIН Е А