Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zolotaryuk_lectures

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

955.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ

та елементамиТакимчиом,дискретногоiсну¹вз¹мноспектру-однозначна вiдповiд

iстьзанумерумiжлями a(k)

данихíÿ

ìî â ïî-

ядку зростання

(ñïàäàííÿ

L. Âë ñíi çía÷å

(2Власнi2

λn

κn

). Сукупнiсть

¹рiвнянняданими

r(k) κn

ðозсiяння..486).510: Залежнiстьункцi¨.КМеволюцiонують. данихв часiрозсiяннязгiдно iз залежнiстювiд часу(див. .iвняння

φt + φxxx − 3k2φx = 4ik3φ .

(2.117)

• Континуальнийозглянемовласнуспектрункцiю.

φ(x, t, λ) з наступними асимпториками:

Пiдставивши

T (k, t)e−

+ o(1) ,

x → −∞

(2.118)

φ(x, t, λ) =

e−ikx + R(k, t)eikx + o(1) ,

→

∞

ikx

розклад на

x → +∞ i зiбравши члени з eikx, отриму¹мо:

dR(k, t)

ïî

= 8ik3R(k, t) = R(k, t) = R(k, 0)e8ik

t .

(2.119)

x âiä −∞ äî +∞ двiчi по частинам, одержимо

+∞ d2φ′

+∞

′ d2φ

dφ′

′ dφ

+∞

− n

κ x

→

∞

«˛−∞ .

(2.115

Z−∞ φ dx2 dx =

„φ dx − φ dx

+ Z−∞

dx2 dx ,

Залиша¹ться акурàòíî пiдставити межi у вираз для

асимптотики для власно¨ ункцi¨. Зокрема це вираз (2.113). Длята

вартоспiв˛ âикористатиiдношення:

наступнiцього ˛

dφ(x, k)

→x→+∞ [a′(k) − ixa(k)]e−ikx + [b′(k) + ixb(k)]eikx .

dφ(x, k)

→x→−∞→ −ixe−ikx .

′

(x, iκn) →

a′(iκ

)eκn x

+ [b′(iκn) xbn]e−κn x, x

→

∞

−ixeκn x, −x → −∞,

dφ(x, iκn)

→

b κne−κn x, x

(2.113)

κne

, x → −ïåðø∞, ìó

доданку

íå

складно

здогадатися,n ùî

äëÿ

âèð çi

äëÿ

dφ′(x, iκn)/dx нас цiкавитиме на межi +

∞

÷ëåí, ùî поводить себе

ê eκnx. Aнаступнамежi

−∞ член, що поводить себе як e−κnx íà

ìåæi,

асимтотика:

öié

вiдс тнiй. Тому нам корисна

у виразiВикористовуючидля

dφ′(x, iκn)

′

κn x

, що перший та другий доданки

вищезазначенi ормули отриму¹м

âñi

→x→+∞

κna (iκn )e

, x → +∞.

дають bnκna′(iκn ) òà −bnκn a′(iκn ), âiäïîвiдно. Звiдси отриму¹мо

+∞

ОтжЕквiвалентним||φ(x, iκn)||2 ≡ ||φ(n)(x)||2 = Z−∞

φ2(x, iκn)dx = ibna′(iκn ).

(2.116)

′

, отжоператорнулi

a (iκn ) 6= 0

ïiäõ äîì iκ¹ nвикористанняпростi. оператора

äå ïðè

A (2.91) з представлення Лакса,

x → ±∞

öåé

ма¹ вигляд

/∂x

+ 4ik

A = 4∂

32 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

Пiдставивши асимптотику на x → −∞, oтриму¹мо

dT (k, t)

чиномрiiв янняа-Краскала(2.119)-Мiури)-(2.120). називаються= 0 = a(k,рiвняннямиt) = const . КМ ( арднера(2.120)-

• Для дискретного. спектру рiвняння КМ отримуються аналогiчним

( óíêöi¨

a(iκn) = 0, at(iκn) = 0,

потенцiаломМетою2.4.6 даногоiвнянняпiдроздiлаbåëüóiκ¹n, t) ≡ bn(t) = bn(0)e

8κ3 t

встановленняанда-Левiтаназв'язку-nМарченкмiж д нимиарозсiяння та

æíiñòü âiä ÷àñóu(x, t)

задачi на власнiмаютьзчення. Слiд з значити, що зале-

спрощеннята)

записiвприсутнянаступнi. алепредставлення:явноувiдповiдних

виразахБазиснiне вказу¹тьсяункцi¨t даних розсiянняметоюЙост u(x, t)

й гоДомножимопо на e

/[2πa(k)] рiвнянняiндексу(2.102) (прив iвнянняхy < x)хнiй(2проiнтегру¹мо.121)-(2. .

ψ(x, ±ik)

e±ikx

+ Zx+∞ K(x, y)e±iky dy, K(x, y) = 0, x > y,

Çíàê "φ(x, ±ik)

e±ikx + Z−∞ M (x, y)e±iky dy, M (x, y) = 0, x < y. (2.122)

iäïâiäà¹ iiky

2, à çíàê "−

дексу

площинидеякогота контурунемiстить, якийвсерединiзнаходитьсжодних

Oòpèìà¹ìî:мплекснвздовж¨

нулiввер ункцi¨пiвплощинi

a(k).

1			I	φ(x, k)			1
					eiky dk =
	2π			a(k)				2π
1						ik(x+y)
Беручи		до уваги визначення
+ 2π I R(k)e							dk +


		+∞ 1
I eik(x−y)dk + Zx				K(x, z) I eik(y−z)dkdz +
I eik(x−y)dk + Zx			2π	K(x, z) I eik(y−z)dkdz +
2π	I Zx	R(k)eik(z+y)K(x, z)dzdk .
1		+∞

δ- óíêöi¨ Äiðàêà

та ввiвши позначення

одержимо

δ(x) =	1	I eikxdk,

	2π
F (x) = 2π I R(k)eikxdk,			(2.123)
1

2π I		a(k)	eiky + δ(x −y) + K(x, y) + F (x + y) + Zx	K(x, z)F (z + y)dz = 0.
1		φ(x, k)		+∞

2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ				33
Згiдно iз теоре ою Кошi перший оданок у вищенаведеному рiвняннi
ðiâíþ¹ íóëþ,	óíêöiÿ ïiä знаком iнтеграла аналiтична на всьî
омплекоскiлькисно¨ площини, оточено¨ контуром		. Îñêiëüêè		,
тому сегментiМарченк			y > x

Ëåâiòàíàδ(x −-y) = 0. Та:дi отриму¹мо кiнцевий вираз для рiвняння ель анда-

äà¹ìîÂ

îìóKðiâí(x, yííi) + F (óíêöiÿx + y) + Zx+∞ K(x, z)F (z + y)dz = 0 .

(2.124)

óíêöiÿ

F (x) цiлком визнача¹ться данимми розсiяння,

я вста¹ невiдомоюовитизв'яз.

ìiæ

ядром

ЗалишилосK(x, y)

допомiжнi у кцi¨

а потенцiалом u. Çãà

ikx

χ±(x, k), введенi у пiдроздiлi 122).4.4. Згдавши, що

îсяпопредставленнямчастинам:

(2.

проiнтегру-

ψ(x,пiдiнтегральнийk) = e χ (x, k)вираз,скористдина¹мраз

−

K(x, y)eik(x−y)dy = 1 − ik Zx

K(x, y)d eik(x−y) =

χ−(x, k) = 1 + Zx

+∞

(2 126)

моПроi

χ−(x, k) = 1 +

виплива¹

+ O k2

1 +

+ ik

Ky (x, y)e

−

dy.

отрима¹мо

K(x, x)

+∞

ik(x

O k− ),

(2 110)

жнатегрувавшипоказати,ùîïî ÷àñòèíàì пiдiнтегральний вираз в останнiй ормулi,(2.125)

миВажливим2.4iнтегральних.7 3адачаетапомпредставленьОЗурси¹uвстановлен(x, t) = −2 dx K(x, x; t) .

(2 127)

(ik)−1 Rx ∞ Ky(x, y)eik x−y dy =

−Ky(x, x)/k2 + O k−3

Прирiвнявши в цiй ормулi та у виразi

доданки порядку .

Çâiäñè

наступна ормула.

K(x, x)

óíêöiéíÿ Йостаункцiон льного зв'язку мiж ядра.

алом прямо¨ задачi розсiяння

K(x, y) таперетворенняM (x, y) а потенцi-

з . Марченком):

u(x). Введемо оперàòîð

(çãiäíî

äðùîiнгеравнянняперетворю¹озглянемоXfз потенцiалом(x) =бiльшрозв'язок(I + Kзагальну.)fвiльного(x) = f (x) + Zx

K(x, y)f (y)dy ,

+∞

ситуацiюрiвняння. НехайШредiдаíгераодвауоператорирозв'язок(2цьогоШре.128)-

i нехай

L1 = −

dx2

+ u1(x) ,

−

dx2

+ u2(x) ,

(2.129)

f1,2(x, k) ¹ вiдповiдними власними ункцiями:

= k

f1 ,

= k

f2 .

(2.130)

L1f1

L2f2

34 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

Якщо викону¹ться переплiтаюче спiввiдношення

ˆ ˆ

(2.132)

то оператор

L1X = XL2

(2.131)

ˆ переводить дин розв'язок рiвнянь (2.129) в другий: ˆ

Xf =

ðiâíÿ-

ння. Наслiдкомна переплiтаючîйогоспiввiдношення буде ди еренцiальне

K(x, y). Встановимо

y=x −

Lˆ1Xfˆ (x) = −f ′′(x) + dx [K(x, x)f (x)] + f (x)

∂x

∂K(x, y)

+∞

∂2K(x, y)

− Zx

f (y)

− K(x, y)u1(x) dy + u1(x)f (x) ,

∂x2

Xˆ Lˆ2f (x) = −f ′′(x) − Zx+∞ K(x, y)f ′′(y)dy + u2(x)f (x) +

+ Zx+∞ K(x, y)u2(y)dy =

y=x −

= −f ′′(x) + f ′(x)K(x, x) − f (x) ∂K∂y

(x, y)

+∞

∂2K(x, y)

ристовуалисяВ процесi обрахункуспiввiдношеннядруго¨ при iнтегруваннi по

−

f (y)

∂y2

− K(x, y)u2

(y) dy + u2(x)f (x) ,

iншого,

частинам ормули(2вико.133)-

∂K(x, y)

якi напряму випливаютьlim Kç(x,локалiзованостiy) = 0 lim

∂y

= 0 ,

(2.134)

y→+∞

íî¨ ïîõiäíî¨

u(x). Враховуючи вираз для пов-

ношеннята вiднiмаючинасту dx K(x, x) =

∂x

∂y

y=x

∂K(x, y)

äíåïíомуз рiвигняньлядi:вiд

îтриму¹мо переплiтаюче спiввiд-

[u1(x) − u2(x)]f (x) + 2f (x)

dK(x, x)

−

− Zx

f (y) ∂x2

− ∂y2 − [u1(x) − u2(y)] K(x, y)dy = 0 .

+∞

∂2

щинiДля виконання

iâíîñòi необхiдно незалежна рiвнiсть нулю виразiввипадокпло-

óðñàà(Goursat)

- ранцузькийu(x) = −2 dx K(x, x) .

лянутияння носять

назву задачiтпотенцiаломгóðñèаничних11. Безумоввтратипризагальностi. Oтримамож

(x, y)

x = y

вираз,дварозгрiв

u1(x) ≡ìiæu(x)

2(x) ≡ 0

що встановлю¹

çâ'ÿçîê

та.Toядромотриму¹мопредставлення:кiнцевий

11Едуард

ìàтематик

(2.135)

2.5 Солiтоннi розв'язки рiвняння КдФ.

.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ.

Виведеннямзастосування методуормулиОЗ(2.135). було завершено останнiй етап, необхiдний для

	Lψ = k2ψ
u(x,0)	s(0):[r(k),κn,\|b n\|]

ис. 2.3: Загальна схема ОЗ для розв'язання задачi Кошi методом ОЗ

2.5.1 Невiдбиваючiu(x,t) потенцiалиK(x,y), F(x) . Детермiнантнаs(t) : îðìó-

[r(k,t),κn(t),|b n(t)|]

наозглянемо1складовi: ункцiюпонапiвколуF (x) зрадiусу(2.123). Iнтегрування по контуру розiб'¹мо


2	вздовж лiнi¨ вiд		R ;
3		вздовж розрiзiв,−\|Rпаралельних\| + iǫ äî \|R\| +óÿâíiéiǫ; îñi, âiä
4. Iнтегралиназад;		по замкнутим колам радiусу		0 äî iκ òà
Спрямувавши				ρ навколо iκn.

по великому напiвколуR → ∞пр,ямуватимеǫ → 0, ρ →æèìî:äî0, держимо що внесок вiд iнтегралу

сують один одного. В резуль атi одер							0, iнтеграли по розрiзам скомпен-
Tyò res	F (x) = 2π		Z−∞		R(k)eikxdk − i n=1			R(k)eikx	.	(2.136)
	1			+∞			N res
							X
12Лишок[...] -ункцi¨лишок ункцi¨12.

		f (z) â		iзольовнiй точцi		z0 визнача¹тьсдитьякя
		f (z) â			res	z0 визнача¹тьсдитьякя
де контур					[f (z0)] =	1	IC f (z)dz,

						2πi
êè.	C ¹ достатьно малим колом навколо z0 i îáõî							проти годинниково¨ стрiл-

2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

ОЗДIЛозглянемо клас невiдбиваючих потенцiалiв u(x), тобто таких, для яких

R(k) ≡ 0. Т дi одержимо

res

b(k)

ikx

κnx

, βn =

> 0 .

F (x) =

рiвняння eËÌ=

βne−

Таким чином,

набува¹ наступного вигляду:

(2.137)

n=1

ia(k)

n=1

ia′(iκn)

He кладноK(x, y) + n=1 e−

βne−

138),

dz = 0 .

+ Zx

K(x, z)e−

κn y

κnx

+∞

κnz

(2.138)

ïîìiòèòè, ùî ÿäðî

íîì:

K(x, y) розклада¹ться в ряд наступним чи-

κ y

останн¹ рiвняння

Пiдстмаричнiйавившиу цейормi:розкладK(âx,рiвнянняy) = K(2n.(x e−отриму¹моn .

n=1

βne−(κn+κm )x

A(x) K

= b, Amn(x) = δmn +

κn + κm

, m, n = 1, 2, . . . , N,

(x)

озв'язкомK = цьогоK (x),лiнiйного. . . , K (xрiвняння) , b = áóäåb (x), . . . , b

−

e− n

{

}

{

}

ˆ(n)

(x)

Kn(x) =

det A

Tyт матриця

det A(x)

ˆ(n)

(x)

отриму¹ться пiдстановкою в матрицi

A(x) вектора

b íà ìiñöi n-oго стовпчика.

уваги ˆ

p(m1,m2,...,mN )

Amk ,k

Беручи до

det A =

(−1)

k =1X

k=1

,N,k=1,N

чника.

dAmn/dx = −βne−(κn+κm )x, розрахову¹мо похiдну визна-

det Aˆ

( 1)p(m1,...,mN )

e−κm1 x)A

e−κ1x+

(

mk =1

−

m2 ,2

· · ·

mN ,N

+Am1,1(−βm2 e−κm2 x)Am3 ,3 · · ·AmN ,N e−κ2x + . . . +

ßêùî+A óíêöiÿA

(

e−κmN x)e−κN x

,1 m2

,2 · · ·

1,N −1

−

n=1

f (z) представля¹ться у виглядi частки двох аналiтичних в z0 óíêöié

f (z) = Φ(z)/Ψ(z) i Ψ′(z0) 6= 0, òî

res

Φ(z0)

[f (z0)] =

Ψ′(z0)

2.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ.

Таким чином

êiíöå(2.139)

детермiнантно¨èй розв'язокормули.

e−

K(x, x) = n=1 Kn(x)e−

= n=1

det Aˆ(x)

dx ln hdet A(x) .

ˆ(n)

κn x

det A

(x)

κn x

залежнiстьBикориставшиданих ðîåçсiювультàнняти зада÷i óðñè (2.135) òà ïiдставившиˆ ÷àñî

ормулу

βn(t) = βn(0) exp (8κn3 t), одержимо

âó

Нехай2яка.5.носить2 Односолiтоннназвуu(x, t) = − dx K(x, x; t) = −2

ln[det A(x)] ,

dx2

детермiнантну ормулу (2.139), де

≡ −κ

2. Застосовуючи

N = 1. Ò äi ìà¹ìî

дне власне число λ1 = −κ1

ïîìiòèòè,

β1(0) ≡ β, oтрима¹мо

(2 34),(2

u(x, t) = −2

ln[1 + f ],

f =

e−2κx+8κ

t = e−2κx+8κ

t+φ0

dx2

2κ

−

2κe−

2κx+8κ3t+φ0

= äà¹:2κf .

(2.140)

Подальше ñ

−

прощення цього виразу

u(x, t) = 4κ dx 1 + f = −2κ2

√f +21/√f

= −cosh2[κ(x − x0 − vt)] ,

2κ

розглянемоДвогохсолiтоннийрозв'язкувипадокщо .данийрозв'язоквираз спiвпада¹ з ормулами

.141).65

Тепер2дляНе.5складно.солiтоннv3= 4κ

= φ0/(2κ) .

числа

N = 2альностi.Вак

у випадку ма¹мо два власних

λ1,2 = −κ12,2. Без втрати заг

ìожна покласти κ1 > κ2.

1 + f1

β2

e−(κ1+κ2)x+8κ23t

det A = det

β1

κ1+κ2

e−(κ1+κ2)x+8κ1t

1 + f2

κ1+κ2

= 1 + f1 + f2 + f1f2 −

4κ1κ2

f1f2 = 1 + f1 + f2

+ f1f2e

12 ,

(2.142)

(κ1 + κ2)2

1,2

2κ1,2

κ1

+ κ

β1,2

f = e−2κ1,2x+8κ1,2t+φ1,2 ,

= ln

κ1 − (2.143).

(0)

2κ1(x

4κ1

)

2κ2(x

4κ2

)

u(x, t)

−2 dx2 ln h2

(0)−

−

(0)

−

1 + e

+ e

e−2κ1(x

4κ1

)

e−2κ2(x−4κ2−x2 )+Δ12

(2.144)

(0)

−

x1,2

= φ1,2/(2κ1,2) .

38 ÎÇÄIË 2. ÎÁÅ ÍÅНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

раниця

. Ïðè

(0) другий

а четвертий доданки у

•

першийx

4κ2t+x(0)

òðетiй та четвертий додàíêè íàáагато перевищують

→ −∞

виразi в квадратнихt

дужкахx 4κâ tðiâí.+ x (2.144) прямують до нуля, тому

(0)

Ïðè

u(x, t) −dx2 [1 + f2] = −2κ22 cosh−2[κ2(x − v2t − x2 )] .

раниця

. Ïðè

(0)

äðóãèé та четвертий доданки

òà 1другий1 (якi ¹ порядку

O(1)), òîìó

(2.145)

u(x, t) −

dx2

[f2 + f1f2e

12 ] = 2

1 + f e

= −8κ12

(1 + e 12 f1)2

= −2κ12 cosh−2

κ1

x − v1t − x1 −

2κ1

(0)

• значно

→ ∞

перевищуt + ють першийx 4κòàt

òðåòié+ x

(

O(1)):

12 f2

u(x, t) −

[f2 + f1f2e 12 ] = −8κ22 (1 + e 12 f2)2

dx2

Ïðè

= 2κ22 cosh−2

κ2

x − v2t − x2 − 2κ2

(2.146)

(0)

x 4κ12t + x1(0)

(0)

u(x, t) −

[1 + f1] = −2κ12 cosh−2[κ1(x − v1t − x1 )] .

dx2

t		x=4 κ22 t + x 2(0)+ − 12
		x=4 κ22 t + x 2(0)+ − 12
		2κ2
			x=4 κ	2 t + x (0)
				1	1
					x
		x=4 κ 2	t + x (0)
		2	2
2	(0)	12
У вищенаведенихx=4 κ t +èñxормулах. +2−.4: Двохсолiтонна вза¹модiя
1	1	κ1

v1,2 = 4κ1,2. На часах t = ±∞ óíêöiÿ u(x, t) вигляда¹ як два солiтони, що знаходяться на безмежнiй вiдстанi.

2.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ.

При цьому бiльш

видкий солiòîí ïiñëÿ çiòêнення отриму¹ азовий зсув

вперед, а повiльнiший - назад. Величèíа азового зсуву

δ = 1 ln

β (0)

κ1

− κ2

κ2

− κ1

пактномуВираз длявиглядi:двохсолiтонного=

розв'язку можна записати у наступному ком-

çîê äëÿ äNвиразльoëiòîíо¨ормулаiлькостiвiдповiда¹íi

u(x, t) =

2(κ2

κ2)

κ1 sinh−2[κ1x − 4κ13 + δ1] + κ1 sinh−2[κ2x − 4κ3 + δ2]

Äåòермiнантнà

− 2

κ1

otanh[κ1x

4κ3 + δ1] + κ2 tanh[κ2x

4κ3

+ δ2]

−

Прикладозглянемо. початкову умо у

< κN −1

.147)

ñîëiòîí,

κ1 + κ2

κk

κN

< · · · < κk <

2κ

2.5.4

u(x, 0) = −6 cosh−2(x). 13

розв'язкиможливiстьсолiтонiв. побудувати явнозсувiвлiтоннийрахунок

çâ'ÿ-

èð

якийподроб

ць дивзначенню.книжку. Зокрема[1) дляз цi¹¨азî

гомулисуву,моякийжна

àòèó¹

(ùîäî

· · · κ1

îãî,

якi отриму¹ за

âçà¹-

модi¨.iзВiн склада¹тьс

iз суми зсувiв вперед,

отримавNiç−k солiтонам

, ùî ïîâiëüíiøi çà íü

à iç

назад, якi вiн

k − 1 швившèми солiтонами:

− n=1

κk + κn

k − k

2κk

"n=k+1

κk + κn

κk

κn

k−1

κk

κn

пчника.1325Дляϕ.

ϕ−

−

УмовоюКвантоваяцьогослiдпроквантовомехзгадатианикпотенцiалурезультати.Hepeçîðîñòi ÿтивистскзадач 5ая(парагратeoря , Л23)

.Д.тЛанда4(пурагратЕ.M25). Ли(2з пiдру.149)шиц,-

−2

якстомусовнопокладеноруху

задля простотианiчно¨

опису¹ться

рiвнянням

Шредiнгера

(â

u(x) = частинки,−U0 cosh ùîx, U0 > 0,

~2/2m = 1)

¹ наступне спiввiдношення:

»−

+ u(x)– ψ = λψ,

dx2

óíêöiÿ

. Oòæå,

скада¹тьсяs > n, aç äâîõF - гiпергеометричнарiвнiвз

ìà¹ìî s = 2 äëÿ U0 = 6, спектр

Очевидно, що

n = 0, 1,

= n(n + 1) ,

1−tanh x

4U0 + 1 = (2n + 1)2 = U0

n = 0, 1, . . . .

Дискретний nспектр= 2 äëÿ U0 = 6.

λn та власнi ункцi¨ задаються наступними спiввiдношеннями:

λn

1 + 4U0

−4 h−(1 + 2n) +

n = 0, 1, 2 . . .

(2.148)

tanh x

– ,

√1 + 4U

ψäån

(1 − tanh2 x)(s−n)/2F »−n, 2s − n + 1, s − n + 1, 1 −

s =

−

òîäi

“

”

n, 5

n, 3 n,

1−tanh x

„−

−

tanh x

F 0, 5, 3,

= 1, n = 0

1, 4, 2,

”

= tanh x, n = 1,

“

40 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

Важливим наслiдком цi¹¨ ормули ¹ те, що

âçà¹ìîäiþòü ëèøå ïî

парно, тобто три- (i бiльше) солiтоннi вза¹модi¨ вiдсутнi.

çñóâ ìiæ

Якщо2сивнiшедвома.5.5 почсолiтонамивза¹модiютьВпливткова умкпропорцiйнийонтинувасолiтониальногоiз ln[1/(κ1 − κ2)]

близькимиспектрусолiтонишвидкостям, . очевO.днокiлькищонайiнтен-

ядрозначно складню¹тьснееволюцiяневiдбиваючимвнаслiдпотенцiалонаслiдктогощомнемо,торозв'яжливо-

çàакторизуватиíÿ çàä ÷i Êîøi

u(x, 0)

нтинутковогоального(д набспектрурозв'язок¹ рiвнянiте,що ЛМ. Основнимпочтк

во¨ умоом призведесутностiд

ä ä

èчнульовогоякцугудинамiкурнiшеплоскихрiвнянняцизначаютõвильможнахивль. Вся.отримаiзакомувла

дкудопомогоюада¹мо,важливимдискретногощоперетворення¹держатиспетру)солiтонiв,лiнiйногоФур'¹:асимптотутворенняякi,хв

Íàã

стивостейпза

äåf (x, t) = Z−∞

g(k)e−iω(k)t+ikxdk ,

g(k) = 2π

Z−∞

f (x, 0)e−iω(k)t+ (2dx,.150)

+∞

ikx

поведiнк

, ξ2 = −x/12t,

(2.151)

виведеннямu(x, t) = −2√t hϕ(ξ)e− 16ξ ttiα(ξ)

+ k.c.i

ãî ðîçâ'ÿçîêω(k) - законпридисперсi¨. Якщо система диспергуюча (ω′′(k) = 0), òî éî-

t → ∞ áóäå ìàéæ

x, t â

ϕ(ξ) α(ξ)

складнi

àçè äëÿ x = vt

знахоколiдимоx/t = v = O(1). Скориставшись мето

äå

f (x, t)

g(k, v e [k(v)x−ω[k(v)]t],

kÄëÿ(v) -рiвнянняорi ь рiвнянняКдФасимтотичнаkv = ω′(k)

а зада¹ться ормулою

2амiльтонова..66.1 , Piвнянняамiльдано¨структурадостатньтоновармулиКдФу . азовомуякструктуравиразигамiльтоновапросторiякiнаведенорiвняннясистемав книзiКдФ[1 разом iз

¹ться дужкою Пуассон :

M парно¨ розмiрностi N çäà-

(2.152)

{f, g} =

ωij (ξ)

∂f

∂g

Ò ò

∂ξi

∂ξj

i,j=1

íêöiÿì

- координати точки в

. Дужка Пуассона спiвставля¹ двом

ó (ξ1, ..., ξN )

1. Boíàf,антисиметрg : Mососиметричнiсть→ R чнатретiй h : M → R ма¹ наступнi властивостi:

що означа¹ к

{f, g}матрицi= −{g, f },

ω: ωij (ξ) = −ωji(ξ);

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2015509.99 Кб9Zhan_Bodryyar_-_Simuklyary_i_simulyatsii.pdf
#
19.03.2015101.85 Кб6Zhurnalisti_-_RNP.docx
#
13.09.20191.42 Mб22zhurn_etika_ot_sikilindy.doc
#
23.08.2019343.02 Кб1Zivotne_poistenie-new.docx
#
30.08.2019110.08 Кб1Zmist_osnovnikh_polozhen_derzhavnog1.doc
#
19.03.2015955.18 Кб9Zolotaryuk_lectures.pdf
#
19.03.20151.49 Mб15ZP-bilety-rezat9.pdf
#
22.11.2018132.61 Кб2Zrazok_roboti.doc
#
31.07.2019100.35 Кб1ZUNR.doc
#
13.08.2019111.1 Кб1Zvit.doc
#
11.11.201965.54 Кб2zvit.doc