Zolotaryuk_lectures

îçäië 2

Оберне а задача розсiяння

для рiвняння

Koртевега-де

Ôðiçà òà éîãî ðîçâ'ÿçêè

2.1 Хвилi на водi, рiвняння КдФ

озгля емо ух пл ских хвиль на поверхнi рiдини. Покладемо iснуван я

ìàêí ñòóï

a h l

h

a

симальнаèõ ïðосторамлiтудаîвих збуреннамасштабiв:та

,

äå

глибина каналу,

-

ввести два малi ïараметри:

l - його довжина. Таким чином можíà

ух рiдини буде описуватисьǫ = a/hполем,δ =швидкостейh/l .

~

V (x, y, t) = ~exu(x, y, t) +

~ey v(x, y, t) т вважатиметься

•

безв хровим, тобто rot~

V = 0;

раничнiдном,густ томупоклнамдднiàють¹тьсянаступнийалою, харак

åð:. çí

зу рiдина обмежена твер

äèì•

ρ = const

îâ õ ÿ

φy (x, y = 0, t) = 0; верхньою гр ницею ¹ вiльна

ïåðåð îñòi

. Наслiдком сталостi густини ¹ те, що рiвняння не-

зведетьс y = h + η(x, t)

∂ρ

~

1)

я до рiвняння Лаплаñà + div(ρV ) = 0

∂t

Для вiльно¨ поверхнi

φ = 0 ,

~

V = φ .

(2.2)

приналежнiсть

y = yh = h + η(x, t)

h

до вiльно¨ поверхнi) можемо(тутзаписатиiнадалi iндекс

означатиме

що перепису¹ться як

dyh

=

∂η

+

∂η

dx

,

3)

∂t

dt

∂x dt

dyh

= vh =

∂φh

= vh =

∂η

+

∂η

uh ,

dt

∂y

∂t

∂x

4)

dxh

∂φh

=11

∂φh

∂η

∂η ∂φh

= uh =

=

+

,

(2.5

dt

∂x

∂y

∂t

∂x

∂x

~

~

~ ~

1

dV

∂V

O êiëüêè

=

+ (V · )V = −

p − g~ey ,

(2.6)

dt

∂t

ρ

~

2

)/2 = rot(

rot~

~

~

i внаслiдок безвихровостi (rot~

(V

V ) + (V · )V

V =

φ(x, y, t). Îäåð

∂φ

1

2

p

íà

âåðõíié ïîâåðхнi, покладаючи

(2.7)

Oбчислюючи цей вираз

∂t

+ 2 ( φ)

+

ρ + gy = 0 .

ðåíöiþþ÷è ïî

pn = 0 òà äè å-

x, отрима¹мо д угу граничну умову:

∂uh

∂uh

∂vh

∂η

îçâ'ÿçîê

апласа

äëÿ ìàëèõ

(2.8)

+ g ∂x = 0

рiвняннÿ∂tË + uh ∂x

+ vh

∂x

виглядi розкладу яд:

y, y h l можна шукати у

∞

n

X

рiвняння

(2y

.2), одержу¹мо рекурентне спiввiд(2.9)-

ношенняПiдставляючи цей розкладφ(x,â y, t) =

φn(x, t) .

n=0

∂2φn

= −(n + 1)(n + 2)φn+2 .

ранична умова на днi

∂x2

(2.10)

рекуренцi¨ (2.10),

φy (x, y = 0) = 0 ä๠φ1(x, t) = 0, oтже внаслiдок

φ2k+1(x, t) = 0, k = 0, 1, 2, .... Taким чином отриму¹мо

1

2 ∂2φ0

1

4 ∂4φ0

6

Kомпонентиφшвидкостей(x, y, t) = φ0(запишуx, t) − 2 y

+

y

+ O(y

) .

(2.11)

∂x2

24

∂x4

òüñÿ ÿê

13), âiäïîâiäíî,

2 ∂2f

∂φh

= f −

1

∂φ0

uh =

yh

+ . . . , f = ∂x

∂x

2

∂x

∂φh

= −yh

∂f

3 ∂3f

vh =

+

yh

. .

2)

∂y

∂x

6

∂x3

(2êâà.13-

спiввiдношендратичЯкщо лiнеаризуватичлея:и,одержимограничнiзрiвняньумови, (2поклавши.12)т (2y.h = h та опустившинаступнi

Aналогiчно лiнеаризу¹мо uh = f ,

vh

∂f

(2. .4)

(2.14)

= −h ∂x

граничнi умови рiвн.

òà(2.8):

vh =

∂η

∂uh

−g

∂η

,

=

.

(2.15)

∂t

∂t

∂x

2.1. ХВИЛI НА ВОДI, IВНЯННЯ КДФ

13

ω = c0k. Поверхнева швидкiсть вздовж осi x äîðiâíþ¹

хвильПос iдовнооверiвняннявиразивши vh

ta

uh

через f , отриму¹мо лiнiйне гiперболiчне

(??), äîðiâíþ¹

∂t2

ǫc0

. Поверхнева øâèäêiñòü вздовж осi y, згiдно

− c0

∂x2 = 0 , c0 = pgh .

∂2η

2

∂2η

(2.16)

Toбто поверхня може бóòè íîñi¹ì íедиспергуючих хвиль

з частотою

η = Ae (kx−ωt) +c.c.

чином uh = −g Zt0

∂x dt′ = g ω h η = ǫc0[e

−

+ c.c.],

t

∂η

k h

(kx ωt)

таким

ма¹ порядок

a

a h

),çáåaðегтиiвняннявищi(2.похiднi,12)-(2.13)тонабудмибудемотьнаступногпраюватиî âзигляду:тими ж рiвнян-

нямиЯкщо(??vh

= ∂η/∂t = −iωη =

−ic0kη; c0ka c0 l

= c0 h l = c0

ǫδ .

uh

= f −

h2 ∂2f

∂f h3 ∂3f

2 ∂x2

, vh = −h ∂x

+

6 ∂x3 .

Виразившизмiннiвищевк занèõ ðiâíÿíü

vh òà uh отрима¹мо наступну систему

рiвнянь на

η òà f :

−h

∂f

1

h3

∂3f

∂η

+

=

,

7)

∂x

6

∂x3

∂t

ди еренцiювання−ïåh

∂f

−

1

2

∂3f

∂η

Ïiñëÿ

∂t

2 h

∂x2∂t

+ g

= 0 .

(2.18

∂x

çìiøàðøîãîíó íèõ ïî

жному рi няннi видiлити

похiднуотриматиx, другого - по t можна в ко-

çìiííi:

∂2η/∂x∂tлiнiйне, тарiвнянняпiдставити одне

рiвняння

iнше. B peзультатi можна

∂2f

2 ∂2f

1

2

2 ∂4f

1

2

∂4f

му¹тьсяДане лiнiйнепiдстанрiв∂t2

− c0 ∂x2 +

6

c0h

∂x4 −

2 h

∂t2∂x2

= 0 .

овкняноюня ¹ диспергуючèì, îñêiльки закон дисперсi¨ (що (2отри.19)-

c0k(1Введемо− (kh)2безрозмiрнi/6).

exp[ (kx−

c0kp

ωt)]) ма¹ вигляд ω(q)

1 − (kh) /3

f

Одержимо безрозмiрнi вирази для поля швидкостей на вiльнiй поверхнi:(2.20)

x = lX, t = lτ /c0, η = aη,¯ uh

= ǫc0u¯h, vh

= ǫδc0v¯h,

yh

= h(1 + ǫη¯).

¯

1

2 ¯

2 ∂ f

u¯h

= f

−

δ

,

1)

2

∂X2

¯

1

3

¯

v¯h

= −(1 + ǫη¯)

∂f

δ2

∂ f

+

.

(2.22

∂X

6

∂X3

14 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

Також одержимо безрозмiрíi ãраничíi óìîâè:

. Ñëiä ò -

∂η¯

∂η¯

ǫδ

v¯h =

+ ǫu¯h ∂X

,

3)

∂τ

∂u¯h

∂u¯h

∂η¯

äå â ði

яннях

знехтувано

членом порядку

(2.24

(2.21)-(2.24) áóëî+ ǫu¯h

∂X

+

∂X

= 0 ,

∂τ

22)

2

24)

í чити,вищенаведенiщочлвиразипорядкувграничнi умови. взагалiОдержимонезустдварiвнянняiчались.

Пiдсткож зазавимо

O(ǫ )

O(ǫδ)

∂τ

+ ∂X

+ ǫ f¯∂X + η¯∂X

− 6 ∂X3 = 0 ,

5)

∂η¯

¯

∂η¯

¯

δ

2

3 ¯

∂f

∂f

∂ f

¯

∂η¯

¯

δ

2

3

¯

26

∂f

+

¯ ∂f

∂

f

= 0 ,

членамидругеперше-зпiсляякихпорядкупiдсотр∂τ

∂X + ǫf

∂X

−

2 ∂τ ∂ X

èìòàновкиу¹тüñÿöèõïiñëÿðiâíÿпi стань íîâêè(2. ðiâ. Зазнаня ьчимо,(2.21)-що(2. знехтувавши(2.(223),.àëi,

незалежнèìè,

глядi розкладу

ǫ òà δ ¹

то f можна представити у ви-

iз рiвнянь (2.25)-(2ǫ,.26)δ

äåð

(2

¯

¯

¯

= 0. Âçàã

можнавищими,зробитижимо,висновок,щоf що= η¯ fX

+ fτ

¯

¯

∂η¯

∂η¯

∂f

∂f

O(ǫ, δ

2

2

òðè

)

∂τ

+

).

O êiëüêè ï ðàìå∂τ

+ ∂X

∂X O(ǫ, δ

(2.27)

¯

¯

рiвняння¯

¯

.25), oдержимо

(2.28)

2

f

2

) .

Вiднявши рiвняння (2.26)f âiäη¯ + ǫf1 + δ

+ o(ǫ, δ

30

йогоТакимв

∂X −

∂τ

=

2 ∂X

2

3 ∂X

−

∂τ

=

f =

3 ∂X

2 .

∂τ

∂X

−

∂τ

(f

− η¯) + ǫ η¯∂X

+ f

∂X (η¯ − f ) −

2 ∂2X

3 ∂X

−

= .

∂

∂

¯

∂

δ

2

∂

¯

¯

∂f

1 ∂f

∂f

Çáåðåìî ÷ëåíè¯áiëÿ

¯

¯

ðiâí,

ÿííÿ

ǫ òà δ2, i враху¹мо, що внаслiдок (2.27) можна замiнити

¯

¯

∂τ fi = 0 = 1, 2

íà −∂X fi: