Zolotaryuk_lectures
.pdf2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ |
|
41 |
||||||||||||||||
2. Ma¹ мiсце тотожнiсть Якобi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сторiДужквалгебруПуасонаЛi.Якщоперетво{{f, îág}, h} + {{h, f }, g} + {{g, h}, f } = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вiдображатию¹ лiнiйункцiюийрiвнянняпрост ункцiй на азовому про |
||||||||||||
тона, то можна |
держати |
|
|
|
|
å íÿ öi¹¨h(ξ)алгебриназвати¨¨себе,ункцi¹ю амiль- |
||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ξ) → f (ξ, t |
f (ξ) = f (ξ, t = 0)) за допомогою ди . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Зокрема, обравши |
|
|
|
|
df |
= {f, h} , |
|
|
|
|
(2.153) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
f y виглядi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
||
Oтриму¹мо |
|
|
|
|
амiльтона: |
; t) = |
δ[ξi − ξi(t)], |
|
|
|
||||||||
|
рiвнянняf (ξ1, ξ2 |
, . . . , ξn |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||
глядуБудь-яка кососиметрична |
|
dξi |
= |
X |
ωij |
∂h |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
áóòè, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ìàòðèöÿ ìîæå |
∂ξj |
|
приведена до блочного(2.154)ви- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||
,андартнiй |
|
0 J 0 |
|
·· ·· ·· |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
J |
0 |
0 |
|
· · · |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
0· |
0· |
0· |
|
· · · |
J· |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ω = |
|
|
|
, J = |
|
|
. |
|
||||||||||
|
0 0 J |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
Вводячи координати та iмпульси у звичному виглядi: |
|
|
(2.155) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рiвняннÿ |
|
ãî, |
çà |
ìiíþ¹ìî |
âiä |
|
ií |
новимiрного |
|||||||||||
íàòó14азовогоПерейдеÂàðiàöiéíàx, íàáiðпрмооспохзмторутеперiннихднаäîâiääî(íåñêií÷p , q ) наенн ÊäÔu(.xПерехо) õiäíóячномеи âàðiàöiéíóð çìñê íî¨÷å |
|
(2.157 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 −1 |
= p , |
|
ξ2i = |
|||
qñòi |
= 1, 2, ...,ормi:N/2, oдержимо рiвняння амiльтона та дужку Пуассона в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
óíêöi¨ H(u, ux, uxx, . . .) ì๠|
|
|
вигляд |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂h |
|
|
|
|
∂h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p˙ = −∂qi |
|
|
q˙i |
= ∂pi |
, |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
∂f |
∂g |
|
∂f |
∂g |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
{f, g} = |
|
|
|
∂q |
∂pi − |
∂p |
∂q . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ðiâíiñòü |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîëå |
|
|
, ïî |
наступний |
|
|
похiднунакоорди14-. |
|||||||||
δH |
∞ |
d |
« |
n ∂ (u, ux, uxx, . . . , u(n), . . .) |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
||||||||||||||
δu |
= n=0 |
„−dx |
|
H |
|
|
∂u(n) |
|
|
|
|
|
, H[u] = Z−∞ H(u, ux, uxx, . . . , u |
|
, . . .)dx , |
|||||||||
òîáто повинна задовiльнятися |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ǫ→0 |
|
H[u + ǫη] |
− |
H[u] |
+∞ δH |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ǫ |
|
|
|
Z−∞ |
|
δu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ηdx , |
|
|
|
|
|
|
|
42 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
ТакимКдФ: чèíом, не складно поìiòèòи можливiсть настóïного запису рiвняння
|
∂ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ δH[u] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
u2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Maþ÷è íà óâàçi, ùî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z−∞ |
|
+ u dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ut = |
∂x |
(3u |
|
− uxx) = ∂x δu(x) , |
H[u] = |
2 |
(2.158) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δH[u] |
|
|
|
|
∂ |
δH[u] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
робимоцьомувисновокпiдсукупнiстьоорPольдинатамите,щознаписукцi¨рiâíÿííÿ ÊäÔ ( |
2.158) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ïðè |
|
|
|
|
|
− Z−∞ |
δ′(x |
− x′) δu(x′) dx′ |
= ∂x δu(x |
|
ìà¹, |
|
игляд (2(2.154).159). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
слiд розумiти |
|
|
|
|
|
¨¨ |
|
÷åíü |
òî÷êu (яках ¹прточкоюямо¨ в азоâому просторi) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
iндексiв |
(2.154). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ункцiяграють роль |
|||||||||||||||
|
|
кососиметрично¨ мат ицi xðà¹, x ò |
x′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−δ′(x − x′). Дужка Пуассона матиме наступний виãëÿä: |
|
|
|
|
ω(x, x′ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
+∞ |
|
|
δS |
|
|
|
|
|
|
|
|
δR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
{S, R} = Z−∞ |
Z−∞ |
|
|
|
ω(x, x′) |
|
|
|
dxdx′ = |Iнт. по частинам| = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
δu(x) |
δu(x′) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
δS |
|
|
|
∂ δR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì๠ÿê ìiíiìóì(2.160)òðè |
||||||||||||||||||
iнтеграли1Зазначимо,Функцiярухó:ùîàìiëüòбудонаü-ÿêå рiвняння вигляду (2.159) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= Z−∞ |
δu(x) ∂x δu(x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. Пов'язаний з структуроюH; дужки Пуассона заряд (маса): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Взявши до уваги те, що Q = Z−∞ u(x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пуассона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δQ/δu = 1, pозраху¹мо вiдповiдну дужку |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
δH |
|
∂ δQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якогооскiлькив пëèâ๠|
iç |
òðàíсляцiйно¨ iнварiантностi(2.161) |
||||||||||||||||||||||||||||
3. гамiльтIмпульс,нiаназбереження.Дiйсно,{H, Q} = |
Z−∞ |
δu(x) ∂x δu(x) dx = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
кладемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H[u(x + a)] −H[u(x)] = 0, u(x), a, ðîç- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H[u(x + a)] â ðÿä ïðè a → 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H[u(x+a)]−H[u(x)] = Z−∞ [H(u(x+a), ux(x+a), ...)−H(u(x), ux(x), ...]dx , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ ∞ |
|
∂ |
|
|
u(n+1)dx = ( ) |
|||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
(H[u(x + a)] |
|
|
H[u(x)]) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∂uH(n) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a→0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z−∞ n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂H |
u |
|
|
dx = |
|
+∞ d |
|
|
∂H |
|
u |
|
dx, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Z−∞ dx |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z−∞ ∂ux |
|
xx |
∞ |
∂ux x |
|
||||||||||||||||||||||
( ) = |
|
|
|
+∞ |
d |
|
∂H |
|
u |
dx = |
· · · |
= |
|
+∞( 1)n |
dn |
|
∂H |
u |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn ∂u(n) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− n=0 Z−∞ dx ∂u(n) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
n=0 Z−∞ |
− |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ |
43 |
||||
Bикористовуючи |
Z−∞ |
виразè, |
|
|
|
ñèëó (2.153) ˙ |
{P, H} = 0, à îòæå, â |
||||
Введемо iмпульс як |
δu(x) ∂x dx = 0. |
|
|||
|
+∞ |
|
δH ∂u |
|
|
P = |
Z−∞ u dx |
u(x) = δu(x) . |
|
||
|
+∞ |
|
|
δP |
|
Використовуючи останнi три 2 |
|
отрима¹мо |
(2.162) |
2.6Якграливiдомо,.2 маютьЯвнийрiвнянняполiномiальнийPзапис=ÊäÔ0. ма¹iнетегралiввигляд:нескiнченнийрухунабiррiвнянняiнтегралiв рухуКдФ. Цi iнте-
|
+∞ |
|
|
|
|
å |
In = Z−∞ Tn(u, ux, uxx, . . . , u(k), . . .)dx , |
(2.163) |
|||
äля кожпоогоiноми ункцi¨ |
днознат ¨¨ похiдних. Функцiя |
, |
|
, |
|
Tn |
|
u(x) |
a(k) 0 < k < +∞ |
|
кцiюЗарiванаянняогi¹юШредiнгераявля¹квазiкласичногособою наближечнoвиз аченийня,представимоу кцiоналвласнувiд. ун- |
||||||||||||||||||||||
|
ë |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(x, k) äëÿ |k| 1 в наступному виглядi: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частинки:зробити, побудувавши розв'язок за допомо(2.164)- |
|||||||||||||
гоюТаке спостереженняункцi¨рiнаφâiëüíî¨(x,íåkскладно) = exp −ikx + Z−∞ χ(x′, k)dx′ . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(x, k) = e |
|
ikx |
− Z−∞ |
G(x, x , k)u(x )φ(x , k)dx |
|
= |
(2.165) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
′ |
′ |
|
|
|||
|
= G(x, x′, k) = |
sin k(x−x ) |
, x′ < x |
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 , x′ > x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ikx |
|
|
|
|
|
|
2ik(x x′) |
|
|
ikx′ |
|
|
|
||||||
|
e |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x′)φ(x′, k)dx′ = |
|||||
|
− |
|
2ik Z−∞ |
|
|
|
− − 1 e |
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
ßêùî = e−ikx |
− |
|
Z−∞ u(x′)dx′ + O |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2ik |
k2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
ïðè |
k > 0, òî ïðè x → +∞ отрима¹мо φ(x)eikx = a(k). З iншого боку, |
|||||||||||||||||||||
|
k → ∞ ìà¹ìî a(k) → 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шредiнгера |
|
|
|
|
(2.166) |
||||||
Пiдставивши (2. |
|
|
в рiвнянняln a(k) = |
Z−∞ |
χ(x, k)dx . |
|
|
|
||||||||||||||
рiвняння типу 164)iêêàòi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−φxx + uφ = k2φ, одержимо |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
χx + χ2 − u(x) − 2ikχ = 0 . |
|
|
(2.167) |
44 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
цiлоюЦя ункцiяверхнiйдопуска¹пiвплощинi:розклад в ряд Лорана по ступеням 1/k, îñêiëüêè ¹
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
χn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.168) |
|
|
|||||||
Пiдставивши розклад (2.168)χ(x,â (2k).167),= |
îдержу¹ìî:. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(2ik)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
χ′ |
(x) |
|
|
|
χn(x) |
|
|
|
|
∞ χn(x)χn′ (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одногî ï ðÿäêó ïî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n′=1 |
|
|
(2ik)n+n′ |
# |
= 0 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Збираючи−uчлени(x) + n=1 |
" (2ik)n |
− (2ik)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
спiввiдношення для невiдомих |
ое iцi¹нтiв, отриму¹мо наступнi рекурентнi |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ïîäâiéíó ñóìó ÿê: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χn(x). Зокрема, перепису¹мо |
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
χn(x)χn′ (x) |
|
|
|
χ2 |
|
|
2χ1χ2 |
|
χ2 |
+ 2χ1χ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
n−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
peçóльтатi отриìó¹ìî1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|||||||||
|
|
(2ik)3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+· · · = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χn−n |
|
|||||||||||||||||||||||
B ′ |
=1 |
(2ik)n+n′ |
|
= |
(2ik)2 + |
|
|
|
(2ik)4 |
n=2 |
(2ik)n |
′ |
χn |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
n,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
=1 |
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
χ |
(x) |
= |
− |
u(x) , χ |
(x) = χ′ |
= |
− |
u′(x) , |
|
|
|
69) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Випишемо явноχäåêiëüêà(x) =êîåχ′iöi¹íòiâ:(x) + |
|
|
χ |
n |
′ (x)χ |
n−n |
′ (x) . |
|
|
|
|
(2.170 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n′=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
χ2(x) = −ux |
χ3(x) = −uxx + u2, χ4(x) = −uxxx + 2(u2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
χ5(x) = −uxxxx + (u2)xx + ux2 + 2uxxu − 2u3 = uuxx = (uux)x − ux2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.171) |
|
|
|||
He складно= [ uxxx + 2u |
|
+ùî2uux]x |
|
|
ux |
|
|
2u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ùî |
це справедли o |
|
|
я будь-якогота |
|
(x) |
¹ повними похiдними. Покажемо, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ2(x) |
|
|
χ4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ2n(x). Використавши представлення |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ÿâíî¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.167), випишемо |
|
|
|||||||||||||
рiвняння для у |
|
|
iддiлившичастини.дiйснуОдержимотауявнунаступне: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
χ = χR + iχïîìiòèòè,I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частини |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
dχI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dχI |
|
|
|
1 d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ïîзначимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
− 2kχR = 0 χR = −2(χI − k) dx |
|
|
= −2 dx ln(χI − k) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
+ 2χRχI |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вирази |
|
2In−1 = Z−∞ χ2n+1(x)dx , n = 0 1, . . . . |
|
|
|
|
(2.173) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
In[u] ¹ iнтегралами руху. Випишемо декiлька перших з них: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2I−1 = − Z−∞ u(x)dx , 2I0 = Z−∞ u2(x)dx 2I1 = − Z−∞ (ux2 + 2u3)dx , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дньомуОчевидно,роздiлi,що першiзокрематри ¹ законами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2I2 = Z−∞ |
(uxx |
− |
5u uxx + 5u )dx збереж. åííÿ, âèç |
ченими в попере(2.-174) |
|
H = −I1 ¹ ункцi¹ю амiльтона.
.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ |
45 |
|||||
2.6.3 Зв'язок iнтегралiв руху та даних розсiяння. |
|
|||||
Дослiдимодискретного спектраункцiю (k) детальнiше. Оскiльки вона ма¹ N нулiв в точках |
||||||
|
k = iκn, то введемо ункцiю |
|
||||
|
N |
k + iκn |
|
|
||
Дана ункцiя ма¹ наступнi властивостi: |
. |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
1(k) = a(k) |
|
− |
iκn |
|
|
|
n=1 k |
|
|
|||
|
Y |
|
|
|
|
|
• Залиша¹тьсячином |
аналiтичною при k > 0, але вже нема¹ там нулiв, таким |
|||||
ln a1(k) aналiтична у верхiнй пiвплощинi; |
|
•ln a1(k) → 0 ïðè |k| → +∞, îñêiëüêè a(k) → 1 ïðè |k| → +∞;
•|a1(k)| = |a(k)| ïðè k = 0.
•|a(−k)| = |a(k)| ïðè k = 0.
•наступне− спiввiдношення:| |2. Дiйсно, згiдно з ормулoю (2.98) справедливе
a( k)a(k) = a(k)
φ1(x, −k) = a(−k)ψ1(x, −k) + b(−k)ψ2(x, −k) = φ2(x, k) =
|
|
|
|
= a (k)ψ2(x, k) + b (k)ψ1(x, k), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
звiдки елементарно виплива¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Çãiäíî |
ормулою Кошi |
|
|
|
|
a( k) = a (k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a1(k) = |
|
2πi |
Z−∞ |
|
k′ |
− k |
dk′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ ln a1(k′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замiнюючи |
|
|
0 |
= |
|
2πi |
Z−∞ |
|
k′ |
+ k |
dk′ |
, |
k > 0 . |
|
|
|
|
|
(2.176 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ ln a1(k′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
iншого |
|
ориста¹моврiвнiстьостанньому рiвняннi, вiднiмемо одне рiвняння вiд |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
âèêk′ → −k′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1(−k)a1(k) = a(−k)a(k) = |a(k)| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln a1 |
(k) = 2πi |
Z−∞ |
|
|
|
|
|
k′ |
− k |
|
− |
|
|
dk′ = |
|
πi Z−∞ |
|
|
(2 168) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k|′ − k |dk′ , |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
+∞ ln a1(k′) + ln a1( k′) |
|
|
1 |
|
+∞ ln a k′ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тепер нескладíî вiдновити й вигляд |
ln a(k): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
"n=1 k + iκn # |
n=1 |
|
k + iκn |
|
|
iπ |
Z−∞ |
|
k|′ |
|
|
k | |
|||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
k iκn |
|
N |
|
|
k iκn |
|
|
1 |
|
+∞ ln a(k′) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Y |
− |
|
|
|
X |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||||
lníèìèaВзявши(k)похiдними= ln aäî(kуваги)+ln(à |
|
|
|
|
= |
|
ln |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2¹.ïîâ177)dk-′ . |
|||||||||
|
|
|
|
вiдповiднотойàêò,¨õщоiхвсiвнесокпарнiвчлени ðîçêëàäó |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
переписати (2.166) наступним чином: |
|
|
|
ln a(k) рiвний нулю), можемо |
|||||||||||||||||||||||||||
ln a(k) = i ∞ |
(−1)j |
|
|
+∞ |
χ |
|
(x)dx = i |
∞ |
(−1)j+1 |
2I |
|
[u] . |
|
(2.178) |
|||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
Z−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− j=0 |
(2k)2j+1 |
|
2j+1 |
|
|
|
|
|
j=0 (2k)2j+1 |
|
j−1 |
|
|
|
|
|
|
46 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
мо15Виразиможендоданкiв:теперк In безпосередньо через a(k). У виразi (2.177) розбере-
ln |
k − iκn |
= ln |
1 − i(κn/k) |
= |
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(iκn)2m−1 |
= |
|
|
|
|
|
(2.179) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
k + iκn |
|
|
|
|
1 + i(κn/k) |
|
|
|
− |
X |
|
k2m−1 |
2m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.180) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2i |
∞ |
1 |
|
|
(−1)j+1κn2j+1 |
|
, |
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k2j+1 |
|
2j + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z−∞ |
j=0 |
|
|
k′ |dk′ = k Z−∞ |
|
|
k′/k| |
|
|
′ 1|dk′ = |
(1 − x)−1 = n=0 xn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k|′ |
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
∞ ln a(k ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
∞ ln a(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2j |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
− m=0 km+1 |
Z−∞ |
|
k |
|
|
ln a(k) dk = |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
ln |
| |
|
|
| |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
j=0 k2j+1 Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В результатi оäåðæó¹ìî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(k) dk , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=0 k2j+1 " |
|
2j + 1 |
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
π Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
# |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2i |
|
|
|
( 1)j+1 |
|
N |
|
2j+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
+∞ 2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
ln a(k) dk |
, |
|||||||||||||||||||
Теперlnможнаa(k) =âèðàçèòè ií |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теграли руху через äàнi розсiювання: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22(j+1) |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2I |
|
[u] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ2j+1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2j + 1 n=1 |
n |
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вирахувати+ |
22(j+1) |
( 1)(j+1) |
|
|
+∞ |
|
ln a(k) dk . |
|
|
|
|
(2.181) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2j |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Зокрема, можна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амiльтонiан: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
H = −I1 = − 5 n=1 κn + π Z0 |
|
|
|
k ln |a(k)|dk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
X |
|
5 |
|
|
32 |
|
|
|
+∞ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÊäÔ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.182) |
||||||||||||||||||||
Для2.6.4скi ченновимiрПовна iнтего¨ сисðîвнiстьеми розмрiвнянняiðíîñòi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òîíiàíà, |
|
|
|
|
|
|||||||
iснування |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N повна iнтегровнiсть означа¹ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N незалежних |
|
|
|
|
егралiнволюцi¨рухуIn(p1, p2, . . . , pN/2; q1 |
q2, . . . , qN/2), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знахкàтам:нонiчнедяться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
nпоМиЗмiннiсона=всiмхочемо1. , 2,новимдiя. . . ,здiйснити-Nкут, якiоордин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перетворенняподовiдношеннюгамiль до дужкициклiчногоПуас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15Tyò(p використано, p , . . . , p пiввiдношення; q , q , . . . , q |
|
|
|
|
) |
→ |
(p′ |
, p′ , . . . , p′ |
|
|
; θ |
, θ |
2 |
, . . . , θ |
N/2 |
). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
N/2 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
N/2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
N/2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln „ |
1 + x |
« |
|
|
|
|
∞ x2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 n=1 |
|
|
|
|
, |x| < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
x |
2n |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ |
|
|
|
|
|
47 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
залежатьOк лькивiд новийчасуякгамiльтонiан залежат |
ìå ëèøå âiä |
p′ |
|
, òî íîâi çìiííi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ n} |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Íîâi |
àíîíi÷íi çìiííiθn =задаватимутьсяωnt + θn . Boíèрiвнянням,маютьвигляд коливань. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
pn |
= |
|
∂G |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂qn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Äå |
|
|
|
θn |
= |
|
∂G |
|
, |
G = G(q1, q2, . . . , q |
; p′ |
, p′ , . . . , p′ |
|
) |
(2.184 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂pn′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N/2 |
1 |
2 |
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, . . . , pN/′ |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
G(q1, q2, . . . , qN/2; p1′ |
, p2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
твiрна ункцiя допуска¹ сепарабельнiсть:¹ твiрною ункцi¹ю перетворення. Якщо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
новi iмульси |
|
|
|
G = |
X |
Gn(qn |
; p′ |
, p′ , . . чином:. , p′ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
визначатимуться наступним |
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.185) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
∂qn dqn = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
грувалоситиде к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jn |
= I |
pndqn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Gn |
|
|
|
конкретною си |
омуацi¹ю. Пiсля(2тонiан.186)те |
|||||||||||||||||||
|
|
íтурняста¹iнтегруочеâанидpiвнянняим,визначщо à¹òüñÿ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jn = Jn(p1′ , . . . , pN/′ 2) |
|
|
Jn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набувають, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
новими iмпулсьсами. Беручи до уваги те, що новий вигамiльможна ого- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(p, q) = |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.189) |
|||||||||
H(J1, J2, . . . , JN/2), |
|
|
|
|
|
|
руху в нових змiнних |
|
|
|
|
|
|
|
|
ëÿäó: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J˙n |
|
|
= − |
∂H |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2.188 |
||||||||
|
озглянемо прикладθ =÷àñòèíêè= âωпараболiчному(J , J , . . . , J потенцiалi) , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H ∂q , q = E |
|
n |
∂q |
|
|
+ |
|
2 |
n |
|
1 |
2 |
|
|
|
N/2 |
|
q2E − q(2ω.0190)dq , |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
= E |
|
G(E, q) = Z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Jn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
ω02q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Cкориста¹мося рiвнянням амiльтона-2ßêîái:2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂G |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂G |
2 |
|
ω02q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = I |
|
∂q dq = I q2E − q2ω02dq == 4 Z0 |
|
|
q2E − q2ω02dq = ω0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2E/ω0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙∂H
θ= ∂J = ω0
θ = ∂J |
= ∂J |
|
2E − q2ω02dq = |
|
|
2J ω0 |
|
q2ω02 dq = arccos |
r |
2J q |
|||||||||
|
|
|
Z |
q |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂G |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
ω0dq |
|
|
|
|
ω0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = r |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos θ , |
p = p2J ω0 sin θ . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
Змiннi дiя-кут для лiнiйного рiвнянíÿ ÊäÔ
озглянемо лiнiйне рiвняння КдФ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ut |
= −uxxx = |
∂ δHL |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
δu , |
|
1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
HL |
=Ôóð2'¹Z−∞ uxdx . |
|
|
|
|
|||||||||
Змiннi дiя-кут отримуються |
|
1 |
|
+∞ |
2 |
|
|
|
|
(2.192 |
||||||||||||
|
|
-подiбним перетворенням: |
||||||||||||||||||||
c(p) |
= |
√2πp Z−∞ |
u(x)e−ipxdx , |
|
p > 0 , |
c(−p) = −ic (p) , |
(2.193) |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u(x) |
= |
√2π |
Z−∞ |
√pc(p)eipxdp = √2π |
Z0 |
|
√p |
c(p)eipx + c (p)e−ipx dp = |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
|
|
|
|
|||
|
= |
√2π |
+ |
|
√pc(p)e |
|
|
dp . |
|
|
|
|
||||||||||
|
Z0 |
∞ |
ipx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Не складно |
îá |
рахувати й |
|
вираз для похiдно¨: |
|
|
|
(2.194) |
||||||||||||||
|
|
|
|
ux = √2π |
Z0 |
|
розрахуватиp c(p)e |
− c (p)e− |
|
|
dp = −√2π Z0 |
|||
i |
|
+∞ |
3/2 |
|
ipx |
|
ipx |
2 |
||
Тепер ìî |
æíà |
|
|
|
вирази для дужок Пуаññîíà: |
+∞ |
hp |
3/2 |
c(p(2)e |
i dp , |
|
|
ipx |
||
|
|
|
.195) |
{c(p) c (p′)} |
= |
|
|
|
|
|
δu ∂x δu dx = |
|
δc |
|
|
= eipx |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ δc ∂ δc |
|
|
|
|
δc |
|
|
e−ipx |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z−∞ |
|
|
|
+∞ |
i(p |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|||||||||||
|
|
|
= |
|
2π s p Z−∞ |
e |
|
|
|
− |
|
dx = iδ(p − p′) , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
p′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином,{c(p), c(p′)} |
= |
−is |
|
|
|
δ(p + p′) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
p′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.197) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òîíiàí |
c(p) та c (p) - канонiчно спряженi змiннi. Виразимо амiль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
HL через цi змiннi: |
Z0 |
|
|
|
Z0 |
|
(pp′)3/2 |
|
c(p)c(p′)ei(p+p )x + c.c.− |
|||||||||||||||||||||||
|
HL = −4π Z−∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
+∞ |
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||
|
здiйснено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
чити,знищення, çìiííà n(p) = c (p)c(p) явля¹ собою аналог |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ðóõó−c(p)âc(p′) e |
− |
|
|
− c.c |
dpdp′dx = |
|
Z0 |
|
p |
|c(p)| dp . |
|
|
|||||||||||||||||||
iвняння |
|
|
(p p′)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
нових змiнних одержуються за допомогою дужок Пуассона:(2.198) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
c˙(p) |
= {c(p) HL} = |
Z−∞ |
δu ∂x |
δuL dx = − Z−∞ |
√2πp uxxxdx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
δc |
|
∂ δH |
|
|
|
|
|
+∞ e−ipx |
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ip3 t |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.199) |
||
ТутЦiкавотричi=зазбулоipà c(p) |
ùî=змiннiтегруваc(p, t) = c(ÿp,ïî0)eчастинам. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
рiв народження а |
|
|
|
a c(p), c (p) ¹ класичними аналогами операто- |
2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ |
49 |
числа заповн ння станiвзмiннихiмпу сом p. Перейд мо до ново¨ пари змiнних, са(nì(pеiльтонiан),ëèøåθ(p)),вiддевдiй:nнових(p) гратиме розалежëü дi¨,атимеазалишеθ(p)âiä= половиниarg[c(p)] -змiннних,ролькутаа.
Z ∞
3
КанонiчнiстьНескладно.новихпомiтити,змiннихщоПуассона H побачимо,= p nêîëè(p)dpобраху¹мо. вiдповiднi (2дужки.200)
L
0
|
|
|
δn |
= c |
δc |
+ c |
δc |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z−∞ |
c(p) |
δu |
δu |
|
|
δu |
∂x c(p′) |
|
|
|
dx = |
|||
{n(p), n(p′)} = |
δu |
+ c (p) δu |
δu |
+ c (p′) δu |
|||||||||||
|
+∞ |
|
δc (p) |
|
|
δc(p) |
|
∂ |
δc (p′) |
|
δc(p′) |
|
шень:Аналогiчно=доводитьсяiδ(p p′)[c (p)c(p′) |
c (p′)c(p)] = 0 |
|
− |
|
− |
|
справедливiсть решти комутацiйних спiввiдно- |
{θ(p), θ(p′)} = 0,
iвняння руху тодi матимутьn(p) θгамiльтонiвську(p′) = δ p p′ îðìó:. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Пуассона вiд |
ðîçñiювання, |
можнаln |a(k)|встановити,. Обчислившищовсi |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
} |
− |
− |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
íуня(2.КдФ182), несклад о здога(2атися.201) |
||||||||
щоУвВведеннязмiннiжнорозглядi¨змiмусятьданихувшизалежатидiявигляд-nêóò˙ (p) =длявiдамiльтонiа0 , ðiâíÿθ(p) = p |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
змiннiможливi äóæêè |
|||
|
|
|
2k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.202) |
|||
|
канонiчним перестановочнимargспiввiдношенням: |
|||||||||||||||||||
задовiльняютьn(k) = π |
ln |a(k)| |
, θ(k) = |
[b(k)] , |
k > 0 , |
(2.204) |
|||||||||||||||
ñповiднiтупнакеретногоВзагальномуn(âàk), n(k′) = |
|
|
|
δκ2 = |
−∞ |
|
|
n(k), θ(k′) = δ(k |
|
k′) . |
||||||||||
{ |
} |
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
} |
|
− |
|
- |
||
|
ормуiацiйнiспектрула: випадкупохiднi.Для обчислення.доЗ теорi¨данихзбуреньрозсiяннядужоклiнiйнихПутàссонакж операторiввхнеобдятьхiдноелементивiдомазнати(2.203)вiддина |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
−власно¨R |
|
|
∞ fn(x)dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
δu(x)f 2 |
(x)dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R−∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
мо:Враховуючи нормування |
|
n |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
óíêöi¨2оператора Шредiнгера, отрима¹- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
δκn2 |
|
|
φ2(x, iκn) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
, |
|
|
|
|
(2.205) |
||||||
|
|
|
|
|
|
δu(x) |
ia′(iκn)bn |
|
|
|
|
50 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
Íîâi çìiííi
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.206) |
|
задовiльняють перестановочним спiввiдношенням: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nm |
= κm |
, Θm |
= |
−2 ln |
|
|bm| |
, bm |
= b(iκm) , m = 1, 2, . . . , N . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
повний{Nl, Nm} = {Θl, Θm} = 0 , |
|
{Nl |
, Θm} = −δlm . |
|
|
|
(2.207) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином |
|
|
|
набiр змiнних дiя-кут ма¹ вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[n(k), θ(k), Nm, Θm; m = |
|||||||||
1, 2, . . . , N ], âií ïîâíiñòþ çàä๠äàíi ðîçñiÿííÿ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |r(k)|ei(argb(k)−arga(k)) = s |
|
|
|
|
|
|
ei(argb(k)−arga k)) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r(k) = |
|
|
|
|
1 − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a(k) |
|a(k)|2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
|
e− 2k |
exp |
iθ(k) + ik |
|
|
|
|
∞ n(k′)dk′ |
1 |
|
|
|
k + i |
Nk |
(2.208) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= s |
1 − |a(k)|2 |
exp [iθ(k) − iarg[a(k)] ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= q1 − e− 2k |
exp iθ(k) + 4 |
Z−∞ |
k′(k′ |
− |
k) dk′ m=1 k |
− |
i√Nk = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+ |
∞ |
|
n(k′) |
|
|
|
|
|
N |
k + i |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
πn(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|||||||
|
|
q − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Z0 |
|
|
k′(k′ |
|
|
k ) |
m=1 k |
|
i√Nk |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
πn(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
Y |
|
− |
√ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||||
|
амiльтонiан ма¹ наступний вигляд: |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
нього нескладноHзаписа= − 5 m=1 Nm |
|
|
+ 8 Z0 |
|
|
k n(k)dk . |
|
|
|
|
|
(2.209) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
X |
|
5/2 |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òè гамiльтонiвськi рiвняння руху: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n˙ = − |
|
δH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
|
= − |
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
δθ(x) |
|
|
= 0 , |
|
|
|
Nm |
∂Θm |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
0) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
˙ |
δH |
= 8k |
3 |
, |
|
|
|
|
|
˙ |
|
|
|
∂H |
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
кутВищiмаютьрiвняннянаступний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.21äiÿ1- |
||||||||||||||||||
ÊäÔ, |
|
|
|
|
Θm |
= ∂Nm = −16Nm |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
θ = |
δn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигляд:i¹рархiя |
КдФ. Iнтеграли руху в нових змiнних |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2Ij−1[u] = 2j + 1 m=1 Nm |
|
|
+ 2 (−1) |
|
|
Z0 |
|
|
|
k − n(k)dk . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22(j+1) |
X |
|
|
2j+1 |
|
|
|
2j |
|
|
|
(j+1) |
|
+∞ |
2j 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Îñêëiëüêè âñi çìiííi äi¨ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.212) |
|||||||||||||||||||||||
Пуассона дорiвнюють |
|
n(k) |
|
|
Nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вигсi ¨хнiлядудужки |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íóëþ. |
,Moжна, комутуютьрозглянутимiж ункцiоналсобою,то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
новимлоситигамiльтонiаном,йогоамiльтонiаномможна.одержатиТодi розглянувшинове рiвнянíÿння.Наприклад,вигляду(2(2взяв..213)158)- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
øèçi îã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H[u] = |
j=1 |
cj Ij [u] , M < +∞ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
H = I2 |
= 2 Z−∞ |
|
uxx2 − 5u2uxx + 5u4 dx , |
|
|
|
|
|
(2.214) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|