Zolotaryuk_lectures

22 ÎÇÄIË 2. ÎБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

Зауваження. Обернена задача розсiяння ¹ нелiнiйним узагаль енням перетво-

рення Фур'¹. Якщо розглянути задачу Кошi для лiнiйного

рiвняння КдФ

í¨ ìîæóíакцi¨розв'язатима¹вигляд:заuдопомогоюt + uxxx = 0перетворення, u(x, t = 0)Ôóð'¹= u0(.xНехай) ,

Фур'¹-образ шука-

+∞

iλx

вигляд

Toдi Фур'¹-образи похiднихu¯(λ,маютьt) = Z−∞

e u(x, t dx .

ˆ

ˆ

,

ˆ

F[ux ] = −iλF[u] = −iλu¯

F[uxxx] =

−iλ3u¯. В результатi початкове рiвняння набува¹ вигляду

озв'язок цього (вже звичайного u¯t − iλ3u¯ = 0 .

рiвняння знайти не складно:

ди еренцiального)

−iλ3t

+∞

iλx

вiдновлю¹ться шукана ункцiя:

За допомогоюu¯(λ,оберненогоt) = c(λ)e перетворенняc(λ) =Ôóð'¹u¯(λ, 0) =

Z−∞

e

u0

(x)dx .

1

+∞

−iλ(1+λ2)t

1

+∞

−iλ(1+λ2)t

+∞

iλt

-

чення,. встпоказаное¨ановленнiрухурольлiнiйоберненогопррiвняямогочаспрiдiбноюво¨- нянняперетворенняоберненаеволюцiсхмííя КдФемоютодомзадачаФур'¹опису¹тьсФур'¹Фур'¹-образувстановленнягра¹полягтоберненаспектральнаоберненомуалопотенцiалув прямомузадачапеза

ðå.ретвореннiчад4.них1начиновласнiрозсiянняIнтеграли.протеЯкФур'¹,розв'язаннябудедляì,

2π Z−∞ e

Z−∞ u0(x)e dx .

2iздаTaкимозсiяння,п u(x, t) = 2π

Z−∞ e

c(λ)dλ =

äàëi,

алiзованими,у овамитобто

для рiвняння

КдФ,Обмежимосяякi¹просторовоакимипочатковими-лок

u(x, t = 0) = u(x)

рiвняння (2.55) у наступному виглядi:

u(x → ±∞) → 0. Перепишемо

∂T

+

∂X

= 0 ,

0)

∂t

∂x

T = u ,

X = −3u

2

+ uxx .

рiвняння неперервностi

ВелЗапèсчина(2.70) ма¹ вигляд закону збереження, а саме

(2.71.

Z−∞

T ∂t

− Z−∞

∂x

X −∞ − X ∞

+∞

∂I

+∞

∂

шине залежить(2.55) нa вiд часу. Iнший

åííя можна отримати, домножив-

I = I[u] =

dx =

çàêîí= збереж

X dx =

( )

(+

) = 0,

u:

u2

X = −2u

3

+ uuxx −

ux2

Ще один закон

збереженT = 2

,

.

(2.72)

2

íÿ отримав У¨зем:

u3

u4

T =

− ux2

, X =

+ u2uxx − 2uux2 − 2uxuxxx + uxx2

.

(2.73)

3

4

2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ

23

До 1966 року було встановлено 9 законiв збереження, а 1966 роцi Мiура

встановив 10-ий, що мiстить 45 доданкiв. Всi з кони збереження

àçèâ òè

стиною,

(Miura)редставляються у виглядi запису (2.70), дe T будемодоведено,

òî

wt − 6w2wx + wxxx = 0 ,

(2.74)

u(x, t), задане ормулою

u(x, t) = w2(x, t) + wx(x, t)

(2êiëüêiñòüçà.ä55),îюв льня¹жодерпiнтегралiвжу¹мооцедурою,рiвнянню5 вираз:руху,якКдФiпершiдля(2.55)рiвняндекiлька.iвнянняíÿ КдФiнтегралiвМКдФ. Äiéñíî,такомопiдставившижнама¹побудуватинескiнченну(2(2.75).75)зав

∂

2

.75) ¹ рiвнянням

iêêàòi, i çàìiíîþ

(2.76)

iвняння (2ut − 6uux + uxxx

= 2w + ∂x

(wt − 6w wx + wxxx) .

тьс до вигляду:

w = ψx/ψ воно лiнеаризу¹-

Враховуючи алiле¨вську

iнварiантнтiсть рiвняння КдФ, до

(2.77)

−ψxx + u(x, t)ψ = 0 .

додати довiльну сталу:

u(x, t) можна

Отже,яння КдФiсну¹ асоцiйована

задача на власнi

(2.78),

äå

ðîçâ'ÿçîê(2âëàð.78)

−ψxx + u(x, t)ψ значення= λψ .

Äîñëiäèìîu(x, t)властивостi. власних значень

5

λ. Для цього пiдставимо u(x, t)

ut

=

(ψtxx + λtψ)ψ − ψtψxx

= λt +

(ψtxψ − ψtψx)x

,

79)

ψ2

ψ2

ux

=

ψxxxψ − ψxψxx

=

ψxxx − ψx(u − λ)

,

(2.80

ψ2

ψ

6uux

=

6

(ψxx + λψ)[ψxxx − ψx(u − λ)] =

6u

[ψxxx − ψx(u − λ)] ,

ψ2

ψ

uxx

=

ψxxxx − 2uxψx − ψxx(u − λ)

,

1)

ψ

ψ(V )

(u λ)ψxxx

3uxψxx

3uxxψx

.82-

Пiдставляючивiдношення: обрахованi похiднi в рiвняння КдФ, отриму¹мо наступне(2ñïiâ

uxxx

=

−

−

−

−

.

ψ

λtψ2 + (ψtxψ − ψtψx)x

+

ψ{ψ(V ) − 3uxψxx − 3uxxψx − (u − λ)ψxxx −

пнимВиразчином:убiля iгурних

дужок−

може бути в подальшому спрощений насту(2.83)-

6u[ψxxx − ψx

(u

− λ)]}

= 0 .

ψ{· · ·}

=

ψ{ψ(V ) − 3uxxψx − 6uxψxx + 3uxψxx − 3uψxxx + 2uψxxx −

−

3λψxxx + 4λψxxx − 6u[ψxxx − ψx(u − λ)]} =

= ψ[ψ(V ) − 3uxxψx − 6uxψxx − 3(u + λ)ψxxx + 3uxψxx + 2uψxxx +

+ 4λψxxx − 6uψxxx + 6uψx(u − λ)] =

= ψ[ψxxx − 3(u + λ)ψx]xx + 3uxψψxx − 4(u − λ)ψψxxx +

−

(u

−

λ)ψ = ψxx

− ψx(u

− λ),

+

6uψψx(u

λ) =

ψux

= ψxxx

=

=

−

−

4ψ ψ

+

ψ[ψxxx

)ψ ]

3(u + λ

x xx

xx

xxx

+

3ψxx[ψxxx − (u − λ)ψx

] + 6uψxψxx = ψ[ψxxx − 3(u + λ)ψx]xx −

−

висновок,

λt = 0, îñêiëüêè âåë

÷èíà

ψxxψxxx + 3(u + λ)ψxψxx

=

В результатi отриму¹мо наступне рiвняння:

= ψ[ψxxx

−

3(u + λ)ψx]xx

−

ψxx[ψxxx − 3(u + λ)ψx] .

λtψ2 + (Qxψ − Qψx)x = 0

= ψt + ψxxx − 3ψx 2λ + ψ .

(2.84)

рiвнянняQ(2= ψt + ψxxx

− 3(u + λ)ψx

Ç

.84) ìîæ

зробити

ùî

ψxx

R

ψx,dx

ïî 2 отрима¹мо:скiнченною. Аíàлiзуючи це рiвняння далi, та проiнтегрувавшè éîãî

ψQx − ψxQ = A(t), = ψ(x, t) = A(t) Za ψ2(x′, t) + B(t) .

Q(x, t)

x

dx′

Це можна переписати у розгорнутому виглядi:

(2.85)

ψt + ψxxx − 3(u + λ)ψx = B(t)ψ + A(t)ψ Za

ψ2(x′′, t) .

(2.86)

x

dx

2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ

25

рактеромIснуванняспектруункцiйзадачiA(t) òíàBвласнi(t) пов'язанезначенняз граничними(2.78).

умовамидискретномуаiз ха

• ктру,Якщо розглянути влас

óíêöi¨, ùî

iдповiдають

ñïå

íà

ψn, то в ни повин

бути локалiзоâаними

просторi, тобто ψn(x) →

0 ïðè x

. Данi власнi

мають асимптотику ψ

c

(t)e−κn x

| | → ∞

2

n

n

зводить, äå òîãî, ùî

рi ня.Умованi(2.86)локалiзацi¨необхiдновласно¨покластиункцi¨ при-

+∞

−κn

= λn

< 0

A(t) ≡ 0.

Функцiю

B(t) ìîæå áóòè âèç

чено з рiвняння

пр iнтегрувавшиψψtÿêå+ ψψïîxxx − 3ψx(2λψ + ψxx) = B(t)ψ2,

умовами

актом езалx вiджностi−∞параметризудонорми+∞ вiдскчасуористдерависьжимограничними

•

B(t) = 0.

k2.

частина спåêòðó

¹ться па аметром k, λ =

Континуальна

ψ a(k, t)e−ikx, x → −∞

O êiëüêè ëiâà

at + 4ik3a = B(t)a +

a

Z0

e2ikx dx′

частина ¹ ункцi¹ю лèøåA(t)

x

′

t, òî A(t) = 0.

íà

3

a = B(t)a.

озглянемо асимптотику at + 4ik

x = +∞:

i пiдставимо цей

ψ e−

ikx

+ b(k, t)e

ikx

, x → +∞

розклад в

iвняння для

експонентах, одержу¹мо, зокðåìà

a(t). Збираючи члени при

тiв часунановок.заналiзу.Спектрспектрурiвянняпочаткво¨КдФумовижебути визначений, тобто цедлясталавсiхвеличимомен-

Âè

B(t) = 4ik3

Â2.19684.3

авлення6 встановив,Лаксащо якщо

.

роцiПредст. Лакс

u0(x) = u(x, t)

ння КдФ (2.55), то спектр оператора

u(x, t) еволюцiону¹ згiдно рiвня-

ˆ

2

(R)

L(t), ùî äi¹ 7

L