Примеры решения задач
1. Длина маятника, демонстрирующего вращение Земли в Исаакиевском соборе в Ленинграде, равна 98 м. Определите период его свободных колебаний.
Дано: ℓ = 98 м; g = 9,8 м/с2; |
Решение: Так как амплитуда колебаний маятника и размеры тела на подвесе малы по сравнению с длиной подвеса, его колебания можно считать гармоническими и для описания колебаний применить формулу периода колебаний математического маятника: |
T – ? |
с.
Ответ: T = 20 с.
2. При подвешивании груза массой 1 кг стальная пружина в положении равновесия удлинилась на 1 см. С каким периодом будет совершать колебания этот груз на пружине после смещения его по вертикали из положения равновесия?
Дано: m = 1 кг; x = 1 см; g = 9,8 м/с2; |
Решение: Под действием силы упругости пружины тело массой m совершает гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле , |
T – ? |
здесь k – жесткость пружины.
Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой m. По закону Гука
.
Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство
,
следовательно,
.
Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:
.
Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.
Ответ: T = 0,2 с.
3. Шарик, подвешенный на пружине, отвели из положения равновесия вертикально вниз на 3 см и сообщили ему начальную скорость 1 м/с, после чего шарик стал совершать вертикальные гармонические колебания с циклической частотой 25 рад/с. Найдите амплитуду этих колебаний.
Дано: x = 3 см; υ = 1 м/с; ω = 25 рад/с; |
Решение: Запишем для шарика закон сохранения энергии
здесь слева записана кинетическая энергия и потенциальная |
A – ? |
,энергии для заданных первоначальных условий, справа записана максимальная потенциальная энергия для наибольшего смещения шарика, k – жесткость пружины, m – масса шарика.
Отсюда получаем
м.
Ответ: A = 5 см.
4. На поверхности воды плавает в вертикальном положении цилиндр массой 120 г с площадью основания 75 см2. С какой циклической частотой будут происходить вертикальные гармонические колебания цилиндра, если его слегка сместить из положения равновесия?
Дано: m = 0,12 кг; S = 75 см2; g = 9,8 м/с2; ρ = 1000 кг/м3; |
Решение: В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. При вертикальном смещении цилиндра на x возникает возвращающая сила, равная изменению силы Архимеда
|
ω – ? |
,здесь ΔV – изменение объема подводной части цилиндра, ρ – плотность воды.
Согласно дифференциальному уравнению гармонических колебаний ,
возвращающая сила пропорциональна смещению, коэффициент пропорциональности (эффективная жесткость колебательной системы) равен kэф = ρgS. Циклическая частота колебаний равна
рад/с.
Ответ: ω = 25 рад/с.
5. На концах тонкого стержня длиной ℓ = 1 м и массой m3 = 400 г укреплены шарики малых размеров массами m1 = 200 г и m2 = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период колебаний, совершаемых стержнем.
Дано: m1 = 200 г; m2 = 300 г; m3 = 400 г; ℓ = 1 см; g = 9,8 м/с2; |
Решение: Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением
здесь I – момент инерции маятника относительно оси колебаний, k – его масса, ℓC –расстояние от центра масс маятника до оси. |
T – ? |
,
Ж
есткость
пружины можно найти по ее удлинению под
действием силы тяжести груза массой m.
По закону Гука
.
Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство
,
следовательно,
.
Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:
.
Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.
Ответ: T = 0,2 с.
ёё
6. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениям . 1) Определить начальные фазы составляющих колебаний. 2) Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Дано:
m = 1 кг; x = 1 см; g = 9,8 м/с2; |
Решение: гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле , |
T – ? |
здесь k – жесткость пружины.
Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой m. По закону Гука
.
Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство
,
следовательно,
.
Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:
.
Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.
Ответ: T = 0,2 с.
ёё
7. надо на эффект Доплера.
Дано:
m = 1 кг; x = 1 см; g = 9,8 м/с2; |
Решение: гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле , |
T – ? |
здесь k – жесткость пружины.
Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой m. По закону Гука
.
Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство
,
следовательно,
.
Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:
.
Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.
Ответ: T = 0,2 с.
ёё