1.04. Закон сохранения энергии формулы

_{Работа силы F:}

,

здесь S – перемещение, α – угол между вектором силы F и вектором перемещения S;

Мощность:

,

здесь N_дв – мощность двигателя, A_дв – работа двигателя, совершённая за время t, F_т – сила тяги двигателя, υ – скорость движения;

Кинетическая энергия:

,

здесь m – масса тела, υ – скорость тела, p – импульс тела;

Потенциальная энергия относительно поверхности Земли:

,

здесь m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над поверхностью Земли;

Работа и изменение энергии:

, ; ,

здесь ΔE_к – изменение кинетической энергии в результате совершения над телом работы A, ΔE_п – изменение потенциальной энергии в результате совершения над телом работы A, ΔE_упр – изменение потенциальной энергии упругой деформации в результате совершения над телом работы A;

Закон сохранения механической энергии:

,

здесь E_к1,2 – суммарная кинетическая энергия системы, E_п1,2 – суммарная потенциальной энергия системы;

Коэффициент полезного действия;

,

здесь E_п – полезная энергия, выработанная энергетической машиной, E_з – затраченная энергия.

Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела:

,

здесь ℓ – начальная длина тела, x – величина растяжения или сжатия;

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы:

,

здесь tgγ – относительный сдвиг, Δs – абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга, h – расстояние между слоями, γ – угол сдвига;

Напряжение нормальное:

,

здесь F_упр – упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела, S – площадь этого сечения;

Напряжение тангенциальное:

,

здесь F_упр – упругая сила, действующая вдоль слоя тела, S – площадь этого сечения;

Закон Гука для продольного растяжения или сжатия:

,

здесь k – коэффициент упругости (жесткость пружины), E – модуль Юнга;

Закон Гука для сдвига:

,

здесь Δs – сдвиг верхнего края относительно основания, h –высота тела, G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига);

Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стержень:

,

здесь C – постоянная кручения;

Потенциальная энергия деформированной пружины (стержня):

,

здесь k – жесткость пружины, x – величина растяжения или сжатия пружины, E – модуль Юнга, V – объем стержня.

Примеры решения задач

1. Человек массой 60 кг спускается по лестнице длиной 15 м, расположенной под углом 30º к горизонтальной плоскости. Найдите работу силы тяжести.

Дано: m = 60 кг; s = 15 м/с; α = 30º; g = 9,8 м/с2;	Решение: Работа силы тяжести равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и косинус угла α между вектором силы и вектором перемещения . Угол α нужно брать 30º, поэтому работа равна Дж.
A – ?

Ответ: A = 4410 Дж.

2. Вычислите работу силы упругости при изменении деформации пружины жесткостью 300 Н/м от x_l = 4 см до x₂ = 8 см.

Дано: k = 300 Н/м; x1 = 4 м/с; x2 = 8 м/с;	Решение: По закону Гука проекция вектора силы упругости ось ОХ, направленную по вектору перемещения конца пружины при ее деформации, равна . Так как сила упругости изменяется пропорционально
A – ?

деформации, то для вычисления работы можно найти среднее значение ее проекции при изменении деформации пружины от 4 см до 8 см

;

Н.

Работа силы упругости равна произведению модуля среднего значения силы на модуль перемещения и косинус угла между этими векторами

а.

При растяжении пружины вектор силы упругости направлен противоположно вектору перемещения, поэтому угол α между ними равен 180º, а cos α = –1. Тогда работа силы упругости будет равна

Дж.

Работа силы упругости может быть найдена и по изменению потенциальной энергии пружины

.

Дж.

Ответ: A = – 0,72 Дж.

3. Кран поднимает груз массой 1,5 т на высоту 36 м за 4 мин. Найдите механическую мощность. Силами трения пренебречь.

Дано: m = 1500 кг; h = 36 м; t = 240 с;	Решение: Механическая мощность равна , Механическая работа A внешних сил при подъеме груза равна изменению его потенциальной энергии (примем начальный уровень h1 = 0)
N – ?

Поэтому механическая мощность равна

;

Вт.

Ответ: N = 2205 Вт.

4. Самолет Ил-62 имеет четыре двигателя, сила тяги каждого 110 кН. Какова полезная мощность двигателей при полете самолета со скоростью 936 км/ч?

Дано: ʋ = 260 м/с; F = 110000 Н;	Решение: Полезная мощность N двигателей равна отношению механической работы А ко времени t ,
N – ?

Механическая работа при совпадении направлений вектора силы и перемещения равна

.

Отсюда для механической мощности имеем

.

Так как при равномерном прямолинейном движении

, то ;

Вт.

Ответ: N = 28,6·10⁶ Вт = 28,6 МВт.

5. На высоте 2,5 м от поверхности Земли мяч имел скорость 24 м/с. С какой скоростью будет двигаться мяч у поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с².

Дано: ʋ1 = 24 м/с; h1 = 2,5 м; h2 = 0 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Хотя в условии задачи не указаны направление вектора скорости мяча и масса мяча, задача имеет однозначное решение. Так как на мяч действует только сила тяготения со стороны Земли, к замкнутой системе «Земля – мяч» применим закон сохранения механической энергии.
ʋ2 – ?

Согласно этому закону полная механическая энергия системы «Земля – мяч» остается неизменной, а изменение кинетической энергии мяча равно изменению его потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

.

Обозначим массу мяча m, получим

.

Разделим обе части равенства на m и умножим на 2

.

Отсюда скорость ʋ₂ мяча у поверхности Земли равна

;

;

Ответ: ʋ₂ = 25 м/с.

6. Крупнейшая в мире Саяно-Шушеиская гидроэлектростанция будет вырабатывать 23,5 млрд. кВт·ч электроэнергии в год. Сколько воды должно проходить за год через гидротурбины станции? Высота плотины – 222 м. Считать, что потенциальная энергия воды полностью превращается в электрическую энергию.

Дано: E = 2,35·1010 кВт·ч; ρ = 103 кг/м3; h1 = 222 м; h2 = 0 м; g = 9,8 м/с2;

Решение: По закону сохранения энергии электроэнергия, вырабатываемая гидроэлектростанцией, получается за счет превращения кинетической энергии движущейся воды в энергию электрического тока. Кинетическая энергия воды, в свою очередь, получается в результате превращения потенциальной энергии воды у вершины плотины в кинетическую у основания плотины. Если не учитывать потери, то вся выработанная гидроэлектростанцией электроэнергия Е равна изменению

ʋ2 – ?

потенциальной энергии ΔE_p воды, прошедшей через гидроагрегаты станции, взятому с противоположным знаком

.

Массу m воды выразим через ее объем V и плотность ρ

m = ρV.

Из равенств (1) и (2) найдем выражение для объема воды, прошедшей через гидроагрегаты станции

;

м³ = 39 км³.

Ответ: V = 39 км³.

7. Определите минимальное значение тормозного пути автомобиля, начавшего торможение на горизонтальном участке шоссе при скорости движения 63 км/с. Коэффициент трения равен 0,5.

Дано: ʋ0 = 63 км/с; ʋ1 = 0 м/с; μ = 0,5 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Тормозной путь автомобиля будет иметь минимальное значение при максимальном значении силы трения. Модуль максимального значения силы трения равен . Отсюда найдем модуль ускорения торможения .
smin – ?

Вектор силы трения при торможении направлен противоположно векторам скорости и перемещения .

Для определения тормозного пути воспользуемся формулой

.

м.

Ответ: s_min = 31,25 м.

8. Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины неподвижной полусферы радиусом 0,75 м. На какой высоте тело оторвется от поверхности полусферы? Высота отсчитывается от основания полусферы.

Дано: R = 0,75 м;	Решение: В момент отрыва тело перестает давить на поверхность полусферы – обращается в ноль сила реакции и на тело действует только сила тяжести.
h – ?

_{В то же время, в этот момент движение тела можно еще считать происходящим по окружности радиусом R. Оба эти обстоятельства учитывает проекция уравнения движения на ось, проведенную вдоль радиуса от тела к центру полусферы}

,

здесь θ – угол между этим радиусом и вертикалью. Второе уравнение получим, приравняв энергию в момент отрыва к энергии в начальный момент

(высота отсчитывается от поверхности, на которой лежит полусфера). Выражая υ² из первого уравнения и учитывая, что , получим

м.

Ответ: h = 50 см.

9. Шар массой 2 кг, имеющий скоростью 6 м/с, абсолютно упруго сталкивается с неподвижным шаром массой 1 кг. Найдите скорость второго шара после удара, считая его центральным.

Дано: m1 = 2 кг; m2 = 1 кг; υ1 = 6 м/с;	Решение: В случае упругого удара кроме импульса системы сохраняется также ее механическая энергия. Запишем оба закона сохранения ,
u2 – ?

и сгруппируем члены так, чтобы все, что относится к первому телу, было слева от знака равенства

,

.

Если поделить уравнения друг на друга, то получим простое уравнение

,

Которое вместе с законом сохранения импульса образует систему двух линейных уравнение с двумя неизвестными. При делении уравнений мы, с точки зрения математики, отбросили неинтересное для нас решение начальной системы уравнение: u_1x = υ₁, u₂ = 0. Решив эту систему, получим

, .

Отметим, что ответ зависит только от отношения масс шаров и если налетающий шар массивнее (m₁ >> m₂), он после удара продолжает движение вперед, если легче – откатывается назад, если той же массы останавливается. Подставляя численные данные, находим u₂ = 8 м/с.

Ответ: u₂ = 8 м/с.

10. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров шар большей массы покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Во сколько раз масса одного шара больше, чем другого?

Дано: E/E0 = 1/4;	Решение: Запишем законы сохранения энергии и импульса (с учетом знаков) , .
m2/m1 – ?

Сгруппируем члены так, чтобы все, что относится к первому телу, было слева от знака равенства

,

.

Если поделить уравнения друг на друга, то получим простое уравнение, которое вместе с законом сохранения импульса даст следующую систему уравнений

,

.

Если первый шар потерял 3/4 своей энергии, то у него осталось 1/4 часть первоначальной энергии

,

откуда получаем соотношение между скоростями

,

важно, что знак уже учтен и u₁ > 0. Подставив это выражение в систему и приведя подобные члены, получим

,

.

Отсюда находим

.

Ответ: с.