1.03. Закон сохранения импульса тела. Столкновения частиц формулы
Импульс тела:
,
здесь m – масса тела, υ – скорость тела;
Изменение импульса тела:
;
здесь F – сила, действующая на тело, t – время действия силы на тело, (F∙t) – импульс силы;
Закон сохранения импульса:
,
здесь m1, m2 – массы шаров, ʋ10, ʋ20, – скорости шаров до удара, ʋ1, ʋ2, – скорости шаров после удара.
Скорость шаров после центрального абсолютно неупругого удара двух шаров:
;
Скорость шаров после центрального абсолютно упругого удара двух шаров:
;
.
Примеры решения задач
1. Тепловоз массой 110 т приближается со скоростью 2 м/с к неподвижному составу массой 1200 т С какой скоростью будет двигаться состав после сцепления с тепловозом?
Дано: m1 = 110 т; ʋ1 = 1 м/с; ʋ2 = 0 м/с; m2 = 1200 т; |
Решение: По закону сохранения импульса проекции вектора полного импульса системы из тепловоза и состава на ось координат, направленную по вектору скорости, до сцепления и после сцепления одинаковы
Так как состав был неподвижным, векторы скорости , |
ʋ3 – ? |
.тепловоза до сцепления и скорости тепловоза вместе с составом после сцепления параллельны и проекции векторов ʋ1x и ʋ3x можно заменить их модулями
.
отсюда скорость ʋ3 тепловоза и состава после сцепления равна
м/с.
Ответ: ʋ3 = 0,084 м/с.
2. Стальной шарик массой 0,1 кг падает на горизонтальную плоскость с высоты 0,2 м и отскакивает после удара снова до высоты 0,2 м. Найдите среднюю силу давления шарика на плоскость при ударе, если его длительность 0,04 с. g = 10 м/с2.
Дано: m = 0,1 кг; h1 = 0,2 м; h2 = 0,2 м; t = 0,04 с; |
Решение: Среднюю силу, действующую на шарик, можно выразить через изменение импульса
Скорость вычислим с помощью формулы
|
Nср – ? |
.
.В
проекции на ось, направленную вертикально
вверх,
Н.
Мы нашли среднее значение равнодействующей силы, которая складывается из реакции плоскости и силы тяжести: Fср = Nср – mg, откуда
Nср = Fср + mg = 10 + 0,1·10 = 11 Н.
Из 3-го закона Ньютона следует, что сила давления шарика на плоскость равна силе реакции плоскости.
Ответ: Nср = 11 Н.
3. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой M перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.
Дано: L, M, m; |
Решение (1-й способ): Для простоты примем, что человек и лодка двигаются с постоянной скоростью. Перемещение будем вычислять по формуле s = υt, здесь υ – скорость лодки относительно берега, t – время движения человека и лодки. |
s – ? |
Скорость лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса (система замкнута, в начальный момент человек и лодка покоились)
Mυ – mu = 0,
здесь u – скорость человека относительно берега, знаки у скоростей противоположны потому, что направление скоростей противоположное. Отсюда υ = mu/M.
Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке
t = s1/u = (L – s)/u = 0,
здесь s1 – перемещение человека относительно берега.
Подставим полученные выражения для υ и t в формулу для перемещения лодки
,
отсюда
.
Решение (2-й способ):
Р
ассмотрим
систему человек-лодка как замкнутую
систему. В силу закона сохранения
импульса центр массы системы не изменится.
Поместим точку отсчета на том краю
лодки, где находится человек в начальный
момент времени, центр масс лодки находится
точно посередине, человека будем
рассматривать как материальную точку.
Координата центра масс относительно
выбранной точки отсчета будет вычисляться
по формуле (см. рис.)
.
После того как человек прейдет на другой край лодки, лодка сместится на расстояние s, но центр масс системы не изменится (см. рис.)
.
Отсюда находим смещение
.
Ответ: .
4. Снаряд, летящий с некоторой скоростью, распадается на два осколка. Скорость большего осколка по величине равна начальной скорости снаряда и направлена перпендикулярно к ней. Скорость другого осколка по величине в 5 раз больше первоначальной. Найдите отношение масс осколков.
Дано: m1, m2, υ, u2 = 5υ; |
Решение: Запишем закон сохранения импульса в векторной форме
здесь υ – начальная скорость снаряда, u1 – скорость большего осколка, u2 – меньшего. |
m1/m2 – ? |
,Изобразив
это векторное равенство на рисунке,
получим прямоугольный треугольник
,
стороны которого связаны теоремой
Пифагора
.
Подставив сюда u1 = υ и u2 = 5υ, получим уравнение, связывающее между собой массы осколков
.
Разделив
это уравнение на
,
получим квадратное уравнение для искомой
величины
.
Сохраняя только положительный корень, получаем x = 3.
Ответ: m1/m2 = 3.