Примеры решения задач

1. После удара о поверхность Земли мяч движется вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Найдите координату мяча над поверхностью Земли через 2 с и через 3 с после начала движения.

Дано: ʋ0 = 25 м/с; g = 10 м/с2; h0 = 0 м; t1 = 2 с; t2 = 3 с;	Решение: Координата тела при равноускоренном прямолинейном движении определяется по формуле . Координатную ось ОY направим по вертикали вверх, начало отсчета находится на поверхности Земли. Тогда h0 = y0 = 0. Так как направление вектора начальной скорости ʋ0 совпадает с
y1 – ? y2 – ?

направлением оси ОY, а направление вектора g противоположно направлению оси ОY, то проекция начальной скорости ʋ_0y положительна, а ускорения a_y отрицательна

ʋ_0y = ʋ₀, a_y = – g.

Тогда

,

м,

м.

Через 2 с и через 3 с после начала движения мяч находится в одной и той же точке пространства. В момент времени t₁ = 2 с он проходит через эту точку во время движения вверх, в момент времени t₂ = 3 с – во время движения вниз.

Ответ: t₁ = 2 с, t₂ = 3 с.

2. Лодка движется перпендикулярно берегу реки. Ее скорость относительно воды равна 2 м/с. Определите время движения лодки к другому берегу, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 м/с.

Дано: ʋ1 = 1 м/с; ʋ2 = 2 м/с; s = 80 м;	Решение: Для нахождения времени движения лодки через реку необходимо найти скорость лодки относительно берега. Скорость лодки относительно берега равна сумме векторов , (скорости течения воды) и (скорости лодки относительно воды)
t – ?

.

Вектор скорости лодки относительно берега перпендикулярен вектору скорости течения реки. В векторном треугольнике они являются катетами, а вектор – гипотенузой. Модуль вектора из этого треугольника равен

;

м/с.

Время t движения лодки от одного берега к другому равно

с.

Ответ: t = 46 с.

3. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось x) имеет вид x = A + Bt + Ct² + Dt³, где A = 4 м, B = 6 м/с, C = 2 м/с², D = 1 м/с³. Для момента времени t = 3 с определите 1) координату x точки; 2) мгновенную скорость ʋ; 3) мгновенное ускорение a, 4) среднюю скорость ʋ_ср соответствующую интервалу времени t₁ = 1 с, t₂ = 2 с.

Дано: A = 4 м/с; B = 6 м/с2; C = 2 м/с3; D = 1 м/с3; t = 3 с	Решение: 1) Координату найдем, подставив указанное значение момента времени в кинематическое уравнение движения материальной точки x = A + Bt + Ct2 + Dt3 = 4 + 6∙3 + 2∙32 + 1∙33 = 67 м. 2) Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату x по времени ,
x, ʋ, a, ʋср – ?

_{мгновенная скорость в заданный момент равна}

ʋ = B + 2Ct + 3Dt² = 6 + 2∙2∙3 + 3∙1∙3² = 45 м/с.

3) Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты x по времени

,

мгновенное ускорение в заданный момент равно

a = 2C + 6Dt = 2∙2 + 6∙1∙3 = 22 м/с².

4) Среднюю скорость найдем по формуле для средней скорости

,

вычислим координаты x₁ и x₂ для моментов времени, соответственно, t₁ = 1 с, t₂ = 2 с

x₁ = A + Bt₁ + Ct₁² + Dt₁³ = 4 + 6∙1 + 2∙1² + 1∙1³ = 13 м,

x₂ = A + Bt₂ + Ct₂² + Dt₂³ = 4 + 6∙2 + 2∙2² + 1∙2³ = 32 м,

средняя скорость для указанного интервала времени равняется

м/с.

Ответ: x = 67 м, ʋ = 45 м/с, a = 22 м/с², ʋ_ср = 19 м/с.

4. Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 50 см/с, а линейная скорость его точек, находящихся на 3 см ближе к оси вращения, равна 40 см/с. Определите радиус колеса.

Дано: ʋ1 = 0,5 м/с; ʋ2 = 0,4 м/с; ℓ = 0,03 м;	Решение: Выразим скорость каждой точки через расстояние до оси вращения и угловую скорость колеса ʋ1 = ωR, ʋ2 = ω(R – ℓ).
R – ?

_{Решая систему уравнений, найдем радиус колеса}

м.

Ответ: R = 0,15 м = 15 см.