1.08. Первое начало термодинамики формулы

Связь между молярной (C) и удельной (c) теплоемкостями газа:

,

здесь M – молярная масса;

Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, соответственно:

здесь i – число степеней свободы, R – универсальная газовая постоянная;

Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, соответственно:

;

Уравнение Майера:

;

Показатель адиабаты:

;

Внутренняя энергия идеального газа, изменение энергии идеального газа, соответственно:

, ,

здесь, m – масса газа, T – термодинамическая температура, p – давление газа, V – объём газа;

Работа газа при изобарном процессе (p = const):

;

Работа газа при изотермическом процессе (T = const):

;

Работа газа при адиабатном процессе:

;

здесь V₁, V₂ – начальный и конечный объемы газа, соответственно, T₁, T₂ – начальная и конечная температуры газа, соответственно;

Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе):

;

Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процесс:

;

Формула Больцмана:

,

здесь S – энтропия, Ω – статистический вес;

Энтропия и изменение энтропии, соответственно:

,

здесь S₀ – начальное значение энтропии, ν – количество вещества;

Первое начало термодинамики:

,

здесь ΔU – изменение внутренней энергии идеального газа, Q – количество теплоты, A – работа газа;

1) Первое начало термодинамики для изотермического процесса:

, ΔU= 0;

2) Первое начало термодинамики для изобарического процесса:

, где ; ;

3) Первое начало термодинамики для изохорического процесса:

, A = 0;

4) Первое начало термодинамики для адиабатического процесса:

;

Количество теплоты:

1) Теплота сгорания топлива:

;

2) Теплота нагревания:

;

3) Теплота плавления:

;

4) Теплота парообразования:

,

здесь q – удельная теплота сгорания топлива, c – удельная теплоёмкость вещества, λ – удельная теплота плавления, r – удельная теплота парообразования;

Работа тепловой машины:

,

здесь A_т.дв. – работа тепловой машины, Q_н – количество теплоты, полученной тепловой машиной от нагревателя, Q_х – количество теплоты, переданного от тепловой машины холодильнику;

Коэффициент полезного действия реальной тепловой машины:

;

Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины:

,

здесь T_н – температура нагревателя, T_х – температура холодильника.

Добавить смачивание и поверхностное натяжение

Примеры решения задач

1. Вычислите работу, совершаемую одним молем идеального газа при изобарном нагревании на 1 К.

Дано: p1 = p2 = p; ν = 1 моль; ΔT = 1 К;	Решение: При изобарном нагревании идеального газа работа A, совершаемая газом, равна A = pΔV. Так как по условию задачи не даны значения давления р газа и изменения его объема ΔV, выразим эти величины через
A – ?

известное изменение ΔT температуры газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа

, .

Из этих уравнений получаем

, или pΔV = νRΔT.

Отсюда для работы газа при изобарном нагревании будем иметь

A = νRΔT;

А = 1 · 8,31 · 1 = 8,31 Дж.

Таким образом, молярная газовая постоянная R равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при изобарном нагревании 1 К.

Ответ: A = 8,31 Дж.

2. Определите максимальный КПД тепловой машины, если температура нагревателя равна 227 ºС, а температура холодильника равна 27 ºС.

Дано: T1 = 500 К; T2 = 300 К;	Решение: Максимальный КПД тепловой машины определяется выражением ;
ηmax – ?

.

Ответ: η_max = 0,4.

3. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из четырех последовательно происходящих процессов: адиабатного сжатия из состояния А в состояние В, изохорного перехода из состояния В в состояние С в результате нагревания воздуха при сжигании горючей смеси, адиабатного расширения из состояния С в состояние D и изохорного перехода из состояния D в исходное состояние А (см. рис. 117). Вычислите КПД двигателя для случая, если бы воздух был идеальным одноатомным газом при значениях температуры в состояниях А, В, С и D соответственно Т_А = 300 К, Т_B = 524 К, Т_C = 786 К и Т_D = 450 К.

Решение:

Значение КПД теплового двигателя определяется уравнением

где Q₁ – количество теплоты, переданное за цикл рабочему телу от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, полученное за цикл холодильником от рабочего тела.

Во время осуществления адиабатических процессов расширения и сжатия нет теплообмена рабочего тела ни с холодильником, ни с нагревателем. Следовательно, весь процесс теплоотдачи количества теплоты Q₁ от нагревателя осуществляется при переходе газа из состояния В в состояние С, а процесс передачи количества теплоты Q₂ холодильнику – при переходе газа из состояния D в состояние А. При изохорическом переходе газа из состояния В в состояние С работа внешних сил равна нулю: А = 0, так как поршень неподвижен. Из первого закона термодинамики для этого процесса следует

, A = 0, .

Мы получили, что количество теплоты, полученное газом от нагревателя за весь цикл, равно изменению внутренней энергии газа при переходе из состояния В в состояние С:

.

Аналогично количество теплоты Q₂, переданное холодильнику при изохорическом переходе газа из состояния D в состояние А, равно

.

Подставляя полученные выражения для Q₁ и Q₂ в уравнение для определения КПД, получаем

.

Найдем численное значение КПД:

.

Ответ: η = 0,43.

4. В теплоизолированном сосуде находятся вода и лед при температуре 0 ºС. Массы воды и льда соответственно равны 0,5 кг и 60 г. В воду впускается водяной пар массой 10 г при температуре 100 ºС. Какой станет температура воды в сосуде после установления теплового равновесия? Теплоемкость сосуда в расчетах не учитывать.

Дано: m1 = 0,5 кг; m2 = 0,06 кг; m3 = 0,01 кг; T1 = 273 К; T2 = 373 К; r = 2,26·106 Дж/кг; λ = 3,3·105 Дж/кг; c = 4,23·103 Дж/(кг·К);	Решение: Проверим сначала, достаточно ли выделяющегося при конденсации пара количества теплоты Q3 для плавления льда. При конденсации пара выделяется количество теплоты Q3: . Для плавления льда требуется количество теплоты Q2: . Дж. Дж.
T3 – ?

Сравнение количеств теплоты Q₃ и Q₂ показывает, что Q₃ > Q₂. Это означает, что лёд расплавится полностью, но значения количеств теплоты отличаются незначительно, следовательно, пар конденсируется полностью. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид:

.

Теплота выделяется при конденсации пара массой m₃ и остывании сконденсировавшейся воды от температуры Т₂ до некоторого значения T₃, а поглощается при плавлении льда массой m₂ и нагревании воды массой (m₁ + m₂) от температуры Т₁ до равновесного значения T₃. Обозначив T₃ – T₁ = ΔТ, для разности T₂ – T₃ получим

T₂ – T₃ = T₂ – T₁ – ΔТ = 100 – ΔТ.

Уравнение теплового баланса приобретает вид

;

.

Откуда

;

К.

Тогда T₂ = 273 К + 3 К = 276 К.

Ответ: T₂ = 276 К.