Конспект лекций

систему обмежень на витрати матеріальних, трудових ресурсів та електроенергію

(10), а також на випуск продукції (11).

Це завдання було вирішено з допомогою редактора Excel з урахуванням стандартної програми «Пошук рішення» (табл. 7).

Таблиця 7 – Результати вирішення задачі однокритеріальної оптимізації (за

прибутком) виробничої програми підприємства на плановий період

У третьому рядку табл. 7, у відповідних стовпцях показано виробничу програму підприємства на плановий період, яка забезпечує отримання максимального прибутку від реалізації продукції А – F у розмірі 63497040,57 грн. (стовпець Z). Отже, максимізацію даного критерію обумовлює випуск продукції А у розмірі 10000 од., В – 130000 од., С – 2500 од., D – 45000 од., Е – 15000 од., F –

26198,44 од.

Досліджуючи дані табл. 7, можна проаналізувати рівень використання виробничої потужності технологічного обладнання та ресурсів підприємства за умови прийняття даного оптимального плану виробництва. Так, устаткування,

використовуване під час випуску продукції F, потужність якого 100000 од., буде задіяне лише з 17,3 % (див. праву нерівність рядка 11 табл. 7).

41

попередньої, спрямованої на максимізацію бухгалтерського прибутку підприємства.

Для отриманого плану, як і попередньої оптимальної виробничої програми,

можливий аналіз ступеня використання виробничої потужності технологічного устаткування й ресурсів підприємства.

Наприклад, обладнання, що використовується під час випуску продукції Е,

потужність якого 15000 од., взагалі не буде задіяне, оскільки даний вид товару не передбачено планом. А обладнання, призначене для випуску продукції А, буде використано на 57 % (див. праві нерівності рядків 10 та 6 табл. 8).

Крім того, знайдений план також передбачає недовикористання ресурсів підприємства, а саме: витрат із заробітної плати та електроенергії (див. праві нерівності рядків 13 та 14 табл. 8).

Обговорюючи переваги та недоліки класичної моделі оптимізації (8) з

цільовою функцією Z у вигляді бухгалтерського прибутку, слід мати на увазі наступні реалії ринкової економіки.

1. У моделі оптимізації виробничої програми (8), яка розроблялася в епоху централізованого управління в умовах «м'якої» конкуренції у вигляді соціалістичного змагання між товаровиробниками, передбачається, що підприємство зазвичай користується ринковими цінами, що визначають питому прибуток – коефіцієнти цільової функції Z Проте в сучасних ринкових реаліях,

особливо під час фінансово-економічної кризи, коли конкурентна боротьба виявляється в досить жорсткій формі, підприємства часто використовують методи цінової конкуренції. В таких умовах вони можуть встановлювати занижені

(демпінгові) чи завищені (монопольні) ціни на вироблену продукцію (роботи,

послуги).

Очевидно, що використання ринкових цін у принципі можливе, але лише за умови досконалої конкуренції, коли всі підприємства галузі мають невеликі розміри та випускають однорідну продукцію. При цьому кожний з них не може суттєво вплинути на ринкову ціну певного виробу. Тому проблеми цінової політики товаровиробника сьогодні також набувають актуальності поряд із

43

питаннями розробки оптимальної виробничої програми підприємства, оскільки вони суттєво впливають на об'єктивність коефіцієнтів сi цільової функції Z,

зокрема, коли вона виражає бухгалтерський прибуток.

2. Необхідно пам'ятати, що коефіцієнти сi цільової функції Z, що характеризують питомий бухгалтерський прибуток підприємства, відображають дохідність не майбутніх номенклатури та асортименту випуску продукції (робіт,

послуг), а минулих, зафіксованих у передплановому періоді. Тому коефіцієнти цільової функції Z не можна розглядати як постійні: зі зростанням обсягів виробництва Хi фактичні величини сi теж зростають, і зі зменшенням Хi –

знижуються. Це означає, що в умовах економічного підйому, коли виробництво на підприємстві зростає, цільова функція моделі (8) дає дещо занижену оцінку прибутку в оптимальному плані. Причому останній насправді може виявитися не зовсім оптимальним внаслідок змін у структурі питомих постійних і змінних витрат. З аналогічних причин за умов економічної кризи цільова функція моделі

(8) дає дещо завищену оцінку прибутку в кінцевому варіанті, оптимальність якого також викликає певні сумніви.

Пропозиції застосовувати як коефіцієнти цільової функції Z інші, що залежать від величини Хi, як правило, призводять до постановки задачі нелінійного програмування, зокрема динамічного програмування.

3) Поняття багатокритеріальної оптимізації. Критерій Парето. Як було

зазначено вище, однокритеріальна оптимізація виробничої програми підприємства є історично першою та найпопулярнішою в сучасній економічній теорії та практиці. Однак у другій половині ХХ ст. почав активно розвиватися так званий багатокритеріальний підхід у економіко-математичному моделюванні виробничих систем. Теоретичною базою багатокритеріального підходу є основні положення стратегії розвитку підприємства, зокрема, його місія та цільові установки.

Загальновідомо, діяльність будь-якого підприємства об'єктивно дуже різноманітна, тому організація може бути зосереджена лише з єдиної мети, а має

44

визначити кілька найбільш значущих орієнтирів дії. Сьогодні визнаною є соціальна відповідальність бізнесу. Він має благотворно впливати на суспільне життя не тільки вузько у сенсі підвищення можливостей для матеріального зростання, а й широко, відповідаючи загальноприйнятим людським цінностям,

забезпечуючи населення країни якісними товарами та послугами, формуючи сприятливе екологічне середовище, беручи участь у вирішенні гострих соціальних проблем.

У зв'язку з цим виникає таке питання: які цілі можна вважати найважливішими, вирішальними для підприємства? Багаторічна наукова дискусія та опитування, проведені у фірмах, показали приблизно одні й самі результати.

Фахівці з планування дійшли спільної думки, що найбільш значущими є фінансові цілі, а якщо точніше – прибуток, показники прибутковості. Прибуток займає лідируючу позицію в ієрархії цілей економічної організації.

Разом з тим, ключовою для підприємства може стати сукупність кількох,

найчастіше двох-трьох взаємопов'язаних цілей. Так, компанія «Лукойл», виходячи зі своєї місії, визначила як основні стратегічні цілі зростання виробничого потенціалу та комплексну раціоналізацію управління компанією.

Не можна перебільшувати значення прибутку як мету діяльності підприємства. Якщо керівництво не звертатиме уваги на фундаментальні інтереси, крім інтересів акціонерів, то подібна стратегія дасть хороші фінансові результати лише у короткостроковому періоді. А у довгостроковому періоді ігнорування цінностей інших учасників внутрішнього та зовнішнього середовища підприємства може створити серйозні фінансові проблеми. Якщо підприємство байдуже до проблем довкілля й у гонитві за прибутком, порушує норми природокористування під загрозою може бути сама можливість його функціонування.

Недооцінка думки покупців може призвести до зниження якості продукції

(робіт, послуг) і зменшення обсягу продажів. Не менш важливими стратегічними факторами є інтереси працівників підприємства.

45

Всі зазначені положення стали серйозним імпульсом для бурхливого розвитку останніми роками багатокритеріального підходу до оптимізації виробничої програми підприємства, яка інтерпретується як процес одночасної оптимізації двох або більше цільових функцій у заданій галузі визначення. З

позицій цього підходу цільова функція Z моделі задачі лінійного програмування

(8) сприймається як локальний критерій оптимальності.

Слід зазначити, що залежно від цілей, покладених в основу майбутнього плану виробництва продукції (робіт, послуг), локальні критерії оптимальності можуть бути один з одним у таких відносинах:

1.Критерії оптимальності взаємно нейтральні, незалежні. У даній ситуації процес розробки виробничої програми може складатися з окремих частин та здійснюватися відповідно до локальних критеріїв незалежно.

2.Критерії оптимальності взаємопов'язані, кооперовані. У цьому випадку процес планування виробництва вдається розглядати стосовно однієї мети, інші досягаються одночасно.

3.Критерії оптимальності несумісні, тобто. конкурують між собою. І тут одну з цілей виробничої програми можна досягти лише рахунок іншої мети.

Оскільки в реальній економіці всі виробничо-фінансові показники суб'єкта господарювання взаємопов'язані між собою, то характерними є другий і третій випадки процесу розробки виробничої програми підприємства. Причому внаслідок обмеженості виробничих ресурсів часто виникає ситуація, коли окремі цілі та відповідні локальні критерії несумісні, конкурують між собою.

Така несумісність проявляється в тому, що різні цільові функції в однокритеріальних задачах оптимізації генерують різні виробничі програми, які можуть відрізнятися між собою. Наприклад, доведено, що цільові функції бухгалтерського прибутку та рентабельності продукції досягають максимуму при різних планах її реалізації.

Розглянемо докладніше деякі, найвідоміші, методи розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації виробничої програми підприємства.

46

Нехай розробки плану виробництва, з стратегічних цілей розвитку підприємства, визначено набір S локальних критеріїв оптимальності К1, К2, ..., КS,

яким відповідають S цільових функцій Z1, Z2, ..., ZS. Так, у ролі локальних критеріїв у цій задачі можна використовувати:

-максимум чистого доходу від виробленої продукції, частку її ринку, обсягу бухгалтерського, маржинального прибутку, рівня рентабельності та інших;

-мінімум собівартості продукції, витрат фінансових, матеріальних, трудових ресурсів і т.п.

При спробі вирішити багатокритеріальну задачу виробничого планування слід пам'ятати, що її глобальна цільова функція Z при формальної оптимізації математичними методами не скаляром, а вектором і завдання, власне, зводиться до векторної оптимізації номенклатури та асортименту майбутньої виробничої програми.

Доведено, що багатокритеріальні завдання оптимізації не мають універсального та точного способу розв'язання. Можна говорити лише про деяке наближення до оптимального варіанта їх вирішення. Іншими словами, вибір та коректне застосування будь-якого з відомих у літературі способів, що забезпечують отримання наближеного оптимального варіанту рішення,

залишається за суб'єктом управління. Тому основне завдання математичного апарату методів багатокритеріальної оптимізації полягає у забезпеченні особи, яка приймає управлінські рішення, необхідною кількістю науково обґрунтованої інформації у вигляді варіантів дій із зазначенням їх економічної ефективності, на підставі яких і здійснюється вибір майбутнього плану виробництва.

Вперше проблему оптимізації векторного критерію було поставлено представниками математичної гілки лозанської школи маржиналізму наприкінці ХIХ ст. Їхня заслуга полягає в тому, що вони запропонували фундаментальне поняття даного напряму оптимізації – поняття оптимальності (ефективності), яке носить ім'я одного з видатніших представників цієї школи – італійського економіста Вільфредо Парето (1848-1923). Воно є узагальненням поняття точки екстремуму вектора цільових функцій у разі кількох критеріїв.

47

Рішення називається Парето-оптимальним, якщо значення кожного з локальних критеріїв, що входять до вектора оптимізації, можна поліпшити лише за рахунок погіршення значень інших локальних критеріїв.

Безліч Парето-оптимальних рішень є підмножиною допустимої множини рішень задачі векторної оптимізації і має ту властивість, що всі рішення, що належать йому, не можуть бути поліпшені одночасно за всіма локальними критеріями – компонентами вектора ефективності.

Отже, для будь-якого рішення, що відноситься до області Парето-

оптимальних рішень, обов'язково має суперечність хоча б з одним із локальних критеріїв. Це автоматично призводить до необхідності проводити вибір рішення саме у галузі Парето-оптимальних рішень на основі певної схеми компромісу.

Тому безліч Парето-оптимальних рішень іноді називають областю компромісів (рис. 5).

На рис. 5, який ілюструє двокритеріальне завдання пошуку оптимального рішення на максимум, прийняті такі позначення: К1, К2 – локальні критерії оцінки варіантів розв'язання; точки площини, оточені багатокутником АВСНDEFG, –

безліч допустимих варіантів вирішення задачі багатокритеріальної оптимізації

(множина Y).

С

Y

D

G

Н E F

0

К1

Рис. 5 – Область Парето-оптимальних рішень (область компромісів)

48

Область Парето-оптимальних оцінок є «північно-східною» межею множини

Y без тих його частин, які паралельні одній з координатних осей або лежать у

«провалі» СНD.

Для випадку, зображеного на рис. 5 Парето-оптимальні оцінки складаються з точок прямих ВС, DE. Вочевидь, що всіх зазначених точок виконується умова К1

+ К2 = const. Це означає, що підвищити локальний критерій К1 можна лише рахунок зниження локального критерію К2 і навпаки. Для інших варіантів рішень з безлічі Y, наприклад, для точки Н, є можливість збільшити один з локальних критеріїв не знижуючи (а іноді і підвищуючи) інший локальний критерій. Тому вони не належать до галузі Парето-оптимальних рішень (області компромісів).

Таким чином, кінцеве рішення задачі векторної оптимізації слід завжди вибирати з області компромісів незалежно від прийнятого принципу оптимальності, інакше воно може бути покращено і, отже, не буде оптимальним.

Звідси випливає важливий висновок: безліч Парето-оптимальних рішень є областю потенційно оптимальних розв'язків задачі векторної оптимізації.

Вочевидь, що з виборі рішення поставленого завдання можна обмежити пошук оптимального рішення лише областю компромісів, яка, зазвичай, значно вже всієї області допустимих рішень завдання векторної оптимізації Y.

4) Методи вирішення задачі багатокритеріальної оптимізації. У задачах вибору рішення, які формалізовані у вигляді моделі векторної оптимізації,

першим природним кроком слід вважати знаходження області компромісів або рішень, оптимальних за Парето. Одним з найпоширеніших підходів до пошуку області Парето-оптимальних рішень є група методів, які полягають у зведенні багатокритеріального завдання до однокритеріального шляхом згортання векторного критерію в один глобальний критерій. Наведемо кілька найбільш відомих способів такого згортання під час вирішення завдання багатокритеріальної оптимізації виробничої програми підприємства:

1.Адитивний.

2.Мультиплікативні.

49

3. Максиминний (мінімаксний).

При цьому процес вирішення поставленого завдання складається із двох

головних етапів:

1)об'єднання локальних критеріїв на один глобальний критерій;

2)подальший пошук його максимуму (мінімуму) за допомогою методів лінійного (нелінійного) програмування або на основі інших методів.

При використанні глобального адитивного критерію цільова функція Z

формується шляхом зважування окремих локальних критеріїв:

де d 1, d 2, ..., dS – позитивні або негативні вагові коефіцієнти, сума яких дорівнює одиниці.

Позитивні коефіцієнти відповідають тим цільовим функціям, які слід максимізувати, а негативні – тим, що мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів d1, d2, ..., dS відповідають пріоритетності того чи іншого економічного показника.

До переваг способу побудови адитивних глобальних критеріїв відносять можливість взаємної компенсації локальних критеріїв, тобто. зменшення однієї з цільових функцій може бути компенсовано збільшенням іншої та, навпаки. В

результаті, приблизно постійне значення адитивного глобального критерію (13) у

заданому околиці деякого допустимого плану може розглядатися як сигнал виявлення області Парето-оптимальних рішень.

Головним недоліком методу, що обговорюється, вважається певний суб'єктивізм при встановленні вагових коефіцієнтів d1, d2, ..., dS, оскільки апріорний економічний аналіз локальних критеріїв оптимальності часто не дає експертам достатньо обґрунтованої інформації щодо пріоритетів того чи іншого показника ефекту (ефективності) діяльності промислового підприємства.

У разі використання мультиплікативного глобального критерію цільова функція має такий вигляд:

50